薛定谔（Erwin Schrodinger，1887~1961）奥地利物理学家 .

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1 薛定谔（Erwin Schrodinger，1887~1961）奥地利物理学家 .
1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学，并建立了量子力学的近似方法 . 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程 .

2 一 波函数 1 经典的波与波函数 平面机械波 平面电磁波 经典波为实函数

3 0 称为波函数的复振幅 2 量子力学波函数（复函数） 描述微观粒子运动的波函数 或 微观粒子的波粒二象性
2 量子力学波函数（复函数） 描述微观粒子运动的波函数 或 微观粒子的波粒二象性 自由粒子能量 和动量 是确定的，其德布罗意频率和波长均不变，可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长，根据不确定原理，粒子在 x 方向上的位置完全不确定 . 自由粒子平面波函数 0 称为波函数的复振幅 三维空间传播的自由粒子

4 3 波函数的物理意义 1）电子的双缝干涉实验 7个 100个 3000个 70,000个 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 .
3 波函数的物理意义 1）电子的双缝干涉实验 7个 个 个 ,000个 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 . 统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的 .

5 2）波函数的统计意义 概率密度：表示在某处单位体积内粒子出现的概率 . 波函数模平方的物理意义：对应于微观粒子在某处 出现的概率密度w . 即 正实数 玻恩对波函数物理意义的解释 微观粒子某时刻在 xx+dx，yy+dy，zz+dz 对应体积元 中出现的粒子的概率为

6 3）波函数应满足的标准化条件 单值 有限 连续（包括其一阶导数连续） 满足归一化条件 即：某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 归一化条件 （束缚态） 满足标准化条件的波函数称为标准波函数 .

7 例1 设粒子在一维空间运动，其状态用波函数描述为：
其中 A 为任意常数，E 和 b 均为确定的常数 . 求：归一化的波函数和概率密度函数 . 解： 即：

8 概率密度函数为： 如图所示，在区间（b/2, b/2）以外找不到粒子 . 在 x = 0 处找到粒子的概率最大 . b/2 b/2

9 例2 设粒子沿x方向运动，波函数 求：（1）归一化常数 A； （2）粒子的概率密度按坐标的分布； （3）在何处找到粒子的概率最大？ 解：（1）根据归一化条件有 由此得归一化常数为：

10 （2）粒子的密度分布为 （3）显然，由上式知 x = 0 处概率密度最大。此时有

11 二　薛定谔方程（1925 年） 1 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得 低速条件下（非相对论性） 一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程

12 2 在势场中粒子的含时薛定谔方程 若粒子在势能为　 的势场中运动 　一维运动粒子的含时薛定谔方程 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 　三维运动粒子的含时薛定谔方程

13 3 定态（不含时）薛定谔方程 粒子在恒定势场中的运动 通过分离变量法： 在一维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 一维定态波函数

14 在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 拉普拉斯算子 定态薛定谔方程 定态波函数

15 一维定态薛定谔方程 一维定态波函数 定态波函数性质 粒子所在的势场不随时间变化时 定态： 1）定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个 稳定状态； 2）能量 E 不随时间变化； 3）粒子在空间出现的概率密度 不随时间变化 .