第三章 恒定磁场.

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1 第三章 恒定磁场

2 第 3 章 恒定磁场 • 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场（Static Magnetic Field）。 • 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。 • 恒定磁场的知识结构框图。

3 基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律） H 的旋度 基本方程 B 的散度 磁矢位（A） 磁位( )（J=0）
分界面上衔接条件 边值问题 数值法 解析法 有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法 电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算 图 恒定磁场知识结构框图

4 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律,称为安培力定律 (Ampere’s force Law )。
磁感应强度 安培力定律 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律,称为安培力定律 (Ampere’s force Law )。 图3.1.1 两载流回路间的相互作用力 电流 的回路对电流I回路的作用力 F 式中真空中的磁导率 H/m 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度 电流之间相互作用力通过磁场传递。 电荷之间相互作用力通过电场传递。 定义： 磁感应强度 单位 T（wb/m2）特斯拉。 式中

5 毕奥——沙伐定律（Biot — Savart Law )
写成一般表达式，即 毕奥——沙伐定律（Biot — Savart Law ) 1）适用条件：无限大均匀媒质 ，且电流分布在有限区域内。 2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度与旋度）。 3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成 例 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。 图 长直导线的磁场 解采用圆柱坐标系，取电流Idz，则 式中， 当 时，

6 例 3.1.2 真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。
解：元电流 Idl 在其轴线上P点产生的磁感应强度为 图 圆形载流回路 根据圆环磁场对 P 点的对称性， 图 圆形载流回路轴线上的磁场分布

7 例 3.1.3 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 , 求其所产生的磁感应强度。
例 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 , 求其所产生的磁感应强度。 解：在电流片上取宽度为 的一条无限长线电流，它在空间引起的磁感应强度为 由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为 图 无限大电流片及 B 的分布

8 3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律 3.2.1 磁通连续性原理 1. 恒定磁场的散度
3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律 图3.2.1 计算体电流的磁场 磁通连续性原理 可从 Biot-Savart Law 直接导出恒定磁场 B 的散度。 1. 恒定磁场的散度 两边取散度 矢量恒等式 则 所以 表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立） 可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。

9 称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律 (Gauss’s Law for the Magnetic field )。
2. 磁通连续性原理 散度定理 图 磁通连续性原理 这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零， 称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律 (Gauss’s Law for the Magnetic field )。 若要计算 B 穿过一个非闭合面 S 的磁通，则 图 B 的通量 3. 磁力线 仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘，B 线的微分方程 在直角坐标系中

10 B 线的性质： • B 线是闭合的曲线; • B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； • 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系；
图 一载流导线 I 位于无限大铁板上方的磁场分布（B 线） B 线的性质： • B 线是闭合的曲线; • B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； • 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系； • B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。 图 长直螺线管磁场的分布（B 线） 图 一载流导线I位于无限大铁板内的磁场分布（H 线）

11 图 两根异向长直流导线的磁场分布 图 两根相同方向长直流导线的磁场分布 图 两对上下放置传输线的磁场分布 图 两对平行放置传输线的磁场分布

12 强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。
磁通连续性原理 1. 安培环路定律（真空） 以长直导线的磁场为例 （1）安培环路与磁力线重合 （2）安培环路与磁力线不重合 （3）安培环路不交链电流 （4）安培环路与若干根电流交链 图 证明安培环路定律用图 该结论适用于其它任何带电体情况。 强调：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。

13 解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋）
例 试求无限大截流导板产生的磁感应强度B 图 无限大截流导板 解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋） 根据对称性 例 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。 解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系， 图 同轴电缆截面 取安培环路 交链的部分电流为 应用安培环路定律,得

14 对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培环路定律得到 B 的解析表达式。
图 同轴电缆的磁场分布 应用安培环路定律，得 对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培环路定律得到 B 的解析表达式。

15 2. 媒质的磁化（Magnetization）
媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。 1）磁偶极子 图 磁偶极子 图 磁偶极子受磁场力而转动 —分子电流，电流方向与 方向成右手螺旋关系 Am2 磁偶极矩 2）媒质的磁化 无外磁场作用时，媒质对外不显磁性， 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 转矩为 Ti=mi×B ， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。 图3.2.16媒质的磁化 用磁化强度（Magnetization Intensity）M 表示磁化的程度，即 A/m

16 3）磁化电流 例 判断磁化电流的方向。 体磁化电流 面磁化电流 • 有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化电流共同作用在真空中产生的磁场。 结论： • 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应 4）磁偶极子与电偶极子对比 模型 电量 产生的电场与磁场 电偶极子 磁偶极子

17 说明: • H的环量仅与环路交链的自由电流有关。 • 环路上任一点的H是由系统全部载流体产生的。
3. 一般形式的安培环路定律 有磁介质时 将 代入上式，得 移项后 图 H 与I 成右螺旋关系 定义磁场强度 则有 说明: • H的环量仅与环路交链的自由电流有关。 • 环路上任一点的H是由系统全部载流体产生的。 • 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手螺旋关系，是 为正，否为负。 图 H 的分布与磁介质有关 恒定磁场是有旋的 图示中 吗？它们的环量相等吗？

18 式中 —— 相对磁导率，无量纲， ，单位 H/m。
4. B与H的构成关系 实验证明，在各向同性的线性磁介质中 式中 —— 磁化率，无量纲量，代入 中 式中 —— 相对磁导率，无量纲， ，单位 H/m。 构成关系 5. H的旋度 积分式对任意曲面S都成立，则 恒定磁场是有旋的 图 镯环磁场分布 例3.2.4: 一矩形截面的镯环，如图示，试求气隙中的B和H。 解： 在镯环中, ， 有限，故H = 0。 取安培环路（与I交链），由 ，得

19 解：磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，得
例 有一磁导率为 µ ，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（µ0 ），如图所示。试求圆柱内外的 B，H 与 M 的分布。 解：磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，得 磁场强度 磁化强度 磁感应强度 图 长直导磁圆柱的磁化电流 导磁圆柱内 = 0 处有磁化电流 Im 吗？ = a 处有面磁化电流 Km吗？为什么？ 图 磁场分布

20 3.3 恒定磁场的基本方程 • 分界面上的衔接条件 3.3.1 恒定磁场的基本方程 恒定磁场的基本方程表示为 （磁通连续原理）
3.3 恒定磁场的基本方程 • 分界面上的衔接条件 恒定磁场的基本方程 恒定磁场的基本方程表示为 （磁通连续原理） （安培环路定律） （无源） （有旋） 媒质的性能方程 恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源 例 试判断 能否表示为一个恒定磁场？ F2不可能表示恒定磁场。 F1可以表示为恒定磁场。 解：

21 当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度K，则
分界面上的衔接条件 1. B 的衔接条件 图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件 在媒质分界面上，包围P点作一小扁圆柱， 令 ，则根据 , 可得 B 的法向分量连续 2. H 的衔接条件 在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路 。 令 , 根据 可得 图 分界面上 H 的衔接条件 H 的切向分量不连续 H 的切向分量连续 当 K = 0 3. 分界面上的折射定律 当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度K，则 折射定律

22 例.3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。 解：
例 分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。 解： 图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射 它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。 例 设x = 0 平面是两种媒质的分界面。 ,分界面上有面电流 A/m ，且 A/m，试求 B1，B2与 H2 的分布。 解： 图 含有K的分界面衔接条件 即 A/m T • 若面电流 , 答案有否变化，如何变？

23 3.4 磁矢位及其边值问题 3.4.1 磁矢位 A 的引出 3.4.2 磁矢位 A 的边值问题 当 J = 0 时 由
3.4 磁矢位及其边值问题 3.4.1 磁矢位 A 的引出 由 A 称磁矢位(Magnetic vector potential)，单位： wb/m（韦伯/米）。 磁矢位A也可直接从 Biot Savart Law 导出。 3.4.2 磁矢位 A 的边值问题 1. 微分方程及其特解 库仑规范 ( 泊松方程 ) ( 拉普拉斯方程 ) 当 J = 0 时 使得A唯一确定。A是否具有物理意义是一个仍在争论的问题。

24 在直角坐标系下， 可以展开为 令无限远处A的量值为零（参考磁矢位），则各式的特解分别为 矢量合成后，得 面电流与线电流引起的磁矢位为 可见，每个电流元产生的磁矢位 A 与此元电流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。

25 表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。 2. 分界面上的衔接条件 当 时, 即 b）围绕P点作一扁圆柱，则 当 时， 即
2. 分界面上的衔接条件 图 磁矢位 A 分界面上的衔接条件 a）围绕 P点作一矩形回路，则 当 时, 即 b）围绕P点作一扁圆柱，则 根据 有 当 时， 即 综合两个结论，有 对于平行平面场，则可写成 表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。

26 3.4.3 磁矢位 A 的应用 1) 矢量积分求A 例3.4.1 空气中有一长度为 ，截面积为 S ，位于 z 轴上的短铜线，电流 I 沿 z 轴方向，试求离铜线较远处（R >> ）的磁感应强度。 解：取圆柱坐标 图 位于坐标原点的短铜线 由于 ， 根据 · 能否用安培环路定律来求解此问题?

27 例3.4.2 应用磁矢位 A，求空气中一长直载流细导线的磁场。
图 长直载流细导线的磁场 解 ： 例 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。 解：这是一个平行平面磁场。 图 圆截面双线输电线 由上例计算结果, 两导线在 P点的磁矢位

28 在工程数值中经常用此公式此公式计算磁通，并由此得到其它等效参数。
2)从磁矢位 A 计算磁通 （韦伯） 在工程数值中经常用此公式此公式计算磁通，并由此得到其它等效参数。 3) 在平行平面磁场中， ，等 A 线可表示磁感应强度B 线。 在直角坐标系中，B 线方程为 图3.4.2 A 线,等 A 线与 B 线关系 等 A 线不是 A 线，只涉及 A的大小，不涉及方向。因此，等A线仅反映B的大小分布。 即平行平面磁场中的等 A 线可以代表 B 线。 可以证明：在轴对称磁场中， 代表 B 线。

29 可见双线输电线的磁场的等 A 线 ( B 线 )的图形与静电场中两根线电荷的等电位线的图形是一致。
如前面例题，两线输电线的B线即等 A 线的方程为 等 A 线（B 线）是一束包围导线的偏心圆族。其圆心坐标是 圆的半径是 。 图 双线输电线的电场 图 双线输电线的磁场 可见双线输电线的磁场的等 A 线 ( B 线 )的图形与静电场中两根线电荷的等电位线的图形是一致。

30 4) 微分方程法求A 例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，其电流面密度 , 试求导体内外的磁矢位 A 与磁感应强度 B。（导体内外媒质的磁导率均为 µ0 ） 图 长直带电圆柱导体 解：采用圆柱坐标系， 且 由式 通解为 边界条件 （参考磁矢位） （ 处 ） 代入通解式 磁感应强度 由式

31 解：依图示电流方向，磁矢位 A=-kAz。 Az为（x,y)的函数， 除（0,b）点外，Az满足的方程为
例 图示铁磁体槽内有一线电流I，铁磁体的磁导率 ，槽和载流导线均为无限长，忽略槽口边缘效应，试写出槽内矢量位A应满足的微分方程及有关边界条件。 解：依图示电流方向，磁矢位 A=-kAz。 Az为（x,y)的函数， 除（0,b）点外，Az满足的方程为 图3.4.10铁磁体槽内的线电流 在直角坐标系 由于 ，故铁中的H=0,边界条件有 在 处， ，即 或 在 处， ，即 或 在 处，由于槽很深，边缘效应忽略，故可认为H线和x轴平行，铁内 H=0,因而 ，或 ，

32 为了克服 多值性，规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的 S 面（磁屏障面）。这样， 就成为单值函数，两点之间的磁压与积分路径无关。
3.5 磁位及其边值问题 3.5.1 磁位 的引出 恒定磁场无电流区域 ——标量磁位，简称磁位（Magnetic Potential），单位：A（安培）。 磁位 的特点： • 磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。 • 等磁位面（线）方程为 常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直。 • 的多值性 则 在恒定磁场中， 设B 点为参考磁位， 图3.5.5 磁位 与积分路径的关系 由安培环路定律，得 推论 多值性 为了克服 多值性，规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的 S 面（磁屏障面）。这样， 就成为单值函数，两点之间的磁压与积分路径无关。

33 图3.5.2 线电流 I 与线电荷 产生的通量线与场线,等磁位线与等电位线的类比
图3.5.3线电荷 位于两平行导体间的电场

34 3.5.2 磁位 的边值问题 在直角坐标系中 磁位 是否满足泊松方程? 2. 分界面上的衔接条件 推导方法与静电场类似， 3. 的应用
3.5.2 磁位 的边值问题 1. 微分方程 （适用于无自由电流区域） 在直角坐标系中 磁位 是否满足泊松方程? 2. 分界面上的衔接条件 推导方法与静电场类似， 由 推导得 3. 的应用

35 解：这是平行平面磁场问题。选用圆柱坐标系，则
例 设在均匀磁场 H0中放置一半径分别为 和 的长直磁屏蔽管，已知 H0 的方向与管轴垂直，设磁屏蔽材料的磁导率为 ，管内外媒质均为空气 试求磁屏蔽管内磁场分布及屏蔽系数。 图3.5.6 长直屏蔽管置于均匀磁场中 解：这是平行平面磁场问题。选用圆柱坐标系，则 边界条件为：

36 采用分离变量法，利用场的对称性及边界条件（3），得
图3.5.7 长直磁场屏蔽管内外磁场的分布 代入其它边界条件，联立求解得 磁位 可见，屏蔽管内磁场 H1 分布均匀，且与 H0 的方向一致。 磁场强度 屏蔽系数

37 屏蔽系数 即导磁管的材料 越大，K 越小，外磁场被屏蔽的程度高。 • 即导磁管壁越厚 不变， 变大，K 越小，屏蔽效能高。 • 工程上常采用多层铁壳磁屏蔽的方法，这主要是可以把进入腔内的残余磁场一次又一次地予以屏蔽。 磁屏蔽与静电屏蔽有什么不同？它们对屏蔽的材料各有什么要求？ 磁屛蔽在工程上有广泛的应用。

38 3.5.3 磁位 、磁矢位 A 与电位 的比较 位 函 数 比较内容 引入位函数的依据 位与场的关系 微分方程 位与源的关系 电位 磁位
(有源或无源） (无源） 下述两个场能进行磁电比拟吗？ 图 恒定磁场与恒定电流场的比拟 答：可以。

39 3.6 镜像法（Image Method in Static Magnetic Field）
例 图示一载流导体 I 置于磁导率为 的无限大导板上方 h 处，为求媒质1与媒质2中的 B 与 H 的分布，试确定镜像电流的大小与位置？ 图 两种不同磁介质的镜像 解： 根据唯一性定理，在无效区放置镜像电流，用分界面衔接条件确定 与 。 由 得 由 得 联立求解，得 与静电场镜像法类比 ，这里的 原因何在？

40 例3.6.2 空气与铁磁媒质的分界面如图所示，线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。
镜像电流 解： 空气中 B 线垂直于铁磁平板，表明铁磁平板表面是等磁位面。 铁磁中磁感应强度 B2=0 吗？ 空气中 铁磁中

41 • 对空气侧而言，铁磁表面仍然是一个等磁位面。空气中的 B 线与铁磁表面相垂直（折射定理可以证明之）。
例 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？ 图 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像 镜像电流 解： 由图可见，此时磁场分布有特点： • 对空气侧而言，铁磁表面仍然是一个等磁位面。空气中的 B 线与铁磁表面相垂直（折射定理可以证明之）。 • 空气中 的磁场为场域无铁磁物质情况下的二倍。

42 3.7 电 感 3.7 .1 自感 即 单位：H（亨利） 回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。
3.7 电 感 自感 回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。 即 单位：H（亨利） 在线性各向同性媒质中，L 仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。 自感又分为内自感 Li 和外自感 L0 。 ——内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。 —— 外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。 自感计算的一般步骤： 设 图 内磁链与外磁链

43 例 3.7.1试求图示长为 的同轴电缆的自感 L。 解： 总自感 1)内导体的内自感 设安培环路包围部分电流 ，则有
图3.7.2 同轴电缆截面 解： 总自感 1)内导体的内自感 设安培环路包围部分电流 ，则有 穿过宽度为 ,长度为 的矩形面积的磁通为 图 同轴电缆内导体纵截面 磁链中的匝数，可根据 因此，有 内自感

44 2）外导体内自感 故 工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感 。 3） 内、外导体间的外自感 总电感为

45 解：总自感 设 例 3.7.2 设传输线的长度为 , 试求图示两线传输线的自感。 内自感 解法一 解法二 设 总自感为
例 设传输线的长度为 , 试求图示两线传输线的自感。 图3.7.4 两线传输线的自感计算 解：总自感 内自感 解法一 解法二 设 设 总自感为

46 互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。
互感 在线性媒质中，回路1的电流 产生与回路2相交链的磁链 与 成正比。 式中，M21 为互感，单位：H（亨利） 图 电流I1 产生与回路2交链的磁链 同理，回路2对回路1的互感可表示为 可以证明 互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。 计算互感的一般步骤： 设

47 解：根据互感定义，只需假设一对传输线的电流方 向；另一对传输线的回路方向。
例 试求图示两对传输线的互感。 图 两对传输线的互感 解：根据互感定义，只需假设一对传输线的电流方 向；另一对传输线的回路方向。 导线 A的作用 导线 B 的作用 由于这两个部分磁通方向相同 (H) 若回路方向相反，互感会改变吗？ 它反映了什么物理意义？

48 3） 铁板插入两线圈之间后，互感是增加还是减少？为什么？自感是否增加？
2) 铁板放在两线圈的下方, 互感是增加了,还是减少了？为什么? 如何计算？ 图3.7.7 一块无限大铁板 置于两对线圈的下方 3） 铁板插入两线圈之间后，互感是增加还是减少？为什么？自感是否增加？ 图3.7.8 一块无限大铁板 置于两线圈之间 图 无感线圈 》

49 3.7.3 聂以曼公式 应用磁矢位 A 计算互感与自感的一般公式。 1. 求两导线回路的互感
1. 求两导线回路的互感 设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为 图 两个细导线电流回路 穿过回路2 的磁通为 将式（1）代入式（2）得 则两细导线回路间的互感 若回路1、2分别由 N1、N2 细线密绕，互感为

50 设导体的半径 R 远小于导线回路的曲率半径，且认为电流均匀分布，则
2. 用聂以曼公式计算回路的外自感 设回路中有电流 I ，总磁通 = 外磁通+内磁通；计算外磁通时，可以认为电流是集中在导线的轴线 上，而磁通则是穿过外表面轮廓 所限定的面积。 图 单回路的自感 电流 I 在 上产生的磁矢位为 与 交链的磁通为 外自感 设导体的半径 R 远小于导线回路的曲率半径，且认为电流均匀分布，则 内自感 总自感

51 3.8 磁场能量与力 磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。
磁场能量与力 磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。有专家预测，21世纪将是以磁力（磁能）作为能源代表的时代。 高温超导体磁场特性的发现与利用，使梦想中之能源——受控热聚变, 磁流体发电，太阳能卫星电站，逐步成为现实，利用磁能作为驱动力的超导体磁悬浮列车和超导磁动力船己向我们驰来。 图 超导体磁悬浮列车

52 磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。
3.8.1 恒定磁场中的能量 • 媒质为线性； • 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）； • 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。 假设： 磁场能量的推导过程 推广 自有能 互有能 • 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。当两个载流线圈产生的磁通是相互增加的，互有能为正；反之为负。 • 是回路k 独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。 • 对于单一回路 3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度 磁场能量是在建立回路电流的过程中形成的，分布于磁场所在的整个空间中。

53 考虑到磁通可以用磁矢位 A 表示，则磁能 Wm 可表示为
—— 式中 为导电媒质体积元所占体积， 为导电媒质的总体积。 利用 的关系， 由矢量恒等式 得 时，第一项为 0 单位：J（焦耳） 磁能密度 单位： 上式表明磁能是以磁能密度的形式储存在整个场域中。

54 例 3.8.1 长度为 ,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ，试求电缆储存的磁场能量与自感。
图 同轴电缆截面 解：由安培环路定律，得 磁能为 自感

55 3.8.3 磁场力 磁场能量的宏观效应就是载流导体或运动的电荷 在磁场中要受到力的作用。仿照静电场，磁场力的计算也有三种方法。 1. 安培力
磁场力 磁场能量的宏观效应就是载流导体或运动的电荷 在磁场中要受到力的作用。仿照静电场，磁场力的计算也有三种方法。 图 两平行导板间的磁力 1. 安培力 例 试求两块通有电流 I 的无限大平行导板间的相互作用力。 解： 由安培力定律，得 A 板产生的磁场 B 板产生的磁场 两板间的磁场 A板受力

56 2.虚位移法（Method of false displacement )
假设系统中 n 个载流回路分别通有电流I1，I2，……In，仿照静电场， 当回路仅有一个广义坐标发生位移 ，该系统中发生的功能过程是 电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力 所做的功 • 常电流系统 • 常磁链系统 由于各回路磁链保持不 变，故各回路没有感应电动势，电源不提供（增加的）能量，即 ，所以 ，只有减少磁能来提供磁场力作功，故有 表明外源提供的能量，一半用于 增加磁场能量，另一半提供磁场力作 功，即 由此得广义力 由此得广义力

57 • 在实际问题中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相对位置为广义坐标，利用上式即可得到相应的广义力。
• 两种假设结果相同，即 • 在实际问题中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相对位置为广义坐标，利用上式即可得到相应的广义力。 例 试求图示载流平面线圈在均匀磁场中受到的转距。设线圈中的电流I1，线圈的面积为 S，其法线方向与外磁场 B 的夹角为 。 解：系统的相互作用能为 图 外磁场中的电流回路 选 为广义坐标，对应的广义力是转距，即 式中m=IS 为载流回路的磁偶极矩； 表示广义力（转矩）企图使广义坐标 减小，使该回路包围尽可能多的磁通。 用矢量表示为 本例的结果完全适用于磁偶极子，也是电磁式仪表的工作原理。

58 例 3.8.4 试求图示磁场对磁导率为 的试棒的作用力，试棒的截面积为 。
例 试求图示磁场对磁导率为 的试棒的作用力，试棒的截面积为 。 解：设作用力为F，在这个力的作用下，试棒沿x方向移动dx，则磁场能量变化为 图3.8.5 磁路对磁导率为 试棒的作用力 表示磁场对试棒的作用力为吸力， 即 F 是从磁导率 大的媒质指向磁导率 小的方向（可与静电场的情况类比）。 要加多大的外力才能将试棒从磁场中拉出？

59 按照法拉弟观点，沿磁感应线作通量管，沿其轴向方向受到纵张力，同时在垂直方向受到侧压力。
3、法拉弟观点 按照法拉弟观点，沿磁感应线作通量管，沿其轴向方向受到纵张力，同时在垂直方向受到侧压力。 其量值都等于 单位： N/m2 应用法拉弟观点，有时能简便算出磁场力和分析回路受力情况。 例 试判断置于铁板上方载流导体及电磁铁的受力情况。 图 载流导体位于铁板上方 图 电磁铁

60 利用铁磁物质制成一定形状的回路（可包括气隙），其周围绕有线圈，使磁通主要集中在回路中，该回路称为磁路。
3.9 磁 路 3.9.1 磁路的基本概念 利用铁磁物质制成一定形状的回路（可包括气隙），其周围绕有线圈，使磁通主要集中在回路中，该回路称为磁路。 （a）变压器 （b）接触器 （c）继电器 （d）四极电机 （e）永磁式电磁仪表 图 几种常见的磁路

61 基本物理量 ：磁通 、磁势Fm、磁压Um、磁感应强度B、磁场强度H。
1. 磁路的基本物理量 基本物理量 ：磁通 、磁势Fm、磁压Um、磁感应强度B、磁场强度H。 (电路中的物理量: 电流I、元件电压U、电源Us ) 磁势 Fm=Ni 磁压Um 单位：A（安）或At（安匝） 单位：A（安） Um 的方向与H方向一致 Fm 的方向与 方向符合右手螺旋定则 2. 磁路的基尔霍夫定律 图 磁路定律例图 如图参考方向下， 磁路的基尔霍夫第一定律——磁通连续性原理 即 磁路的基尔霍夫第二定律——安培环路定律 设磁通参考方向（即H的参考方向）,若电流与H方向呈右手定则，Fm取正，否则取负。

62 磁阻的大小取决于磁路几何尺寸、媒质性质 为常数时，称为线性磁路，否则称为非线性磁路。
3. 磁路的欧姆定律 设一磁路段如图 和 图 磁阻计算 ——磁阻，单位 1/H（1/亨） 磁阻的大小取决于磁路几何尺寸、媒质性质 为常数时，称为线性磁路，否则称为非线性磁路。 3.9.2 线性磁路的计算（无分支、均匀分支、不均匀分支磁路） 例 已知磁路的 ，截面积 若要求在磁路中产生磁通 ，问需要在线圈中通入多大的电流 I，并求气隙的磁压Umo。 图 磁压计算 解：思路：求 磁阻 磁势 电流 磁压

63 例 3.9.2 有一对称磁路，中间柱截面积为 两侧柱截面积 ，
例 有一对称磁路，中间柱截面积为 两侧柱截面积 ， 求侧柱的磁通。 解法一 思路：求 图 磁通计算 中间柱 侧柱 根据磁路对称性 由安培环路定律 侧柱磁通 wb 解法二 磁路是对称的，取其一半，则 磁阻 磁势 侧柱磁通 wb

64 例 3.9.3 磁路结构如图所示，已知气隙中的磁通为 ，线圈匝数为N，铁心材料磁导率为 ，截面积为S，试求电流I。
图 磁路计算 解： 思路及步骤： • 根据尺寸求出各磁路段长度及磁阻; • 设磁通方向如图所示; • • • • • （闭合环路）; •

65 3.9.3 铁磁质的磁特性 1. 两种最基本的特性曲线 磁滞回线：铁磁质反复磁化时的 B-H 曲线。最外层为极限磁滞回线。
铁磁质的磁特性 1. 两种最基本的特性曲线 磁滞回线：铁磁质反复磁化时的 B-H 曲线。最外层为极限磁滞回线。 可确定剩磁Br，矫顽力Hc，磁能积（BH）等重要参数。 基本磁化曲线：是许多不饱和磁滞回线的正顶点的连线。 图3.9.7 磁滞回线 图3.9.8 基本磁化曲线 2. 铁磁质的分类 软磁材料：磁滞回线较窄， 断电后立即能消磁。如硅钢、矽钢等。 用于电机、变压器、镇流器、继电器等电磁设备的铁心。 硬磁材料：磁滞回线较宽， 充磁后剩磁大。如铁氧体、钕铁硼。 用于永磁电机、电表、电脑存贮器等器件中的永磁体。

66 非线性磁路计算（直流磁路） 例 一圆环形磁路及基本磁化曲线如图所示，平均磁路长度 =100cm ，截面积A=5cm2，若要求产生 2×10-4wb 的磁通，求磁势为多少？ 图 非线性磁路计算 解：这是均匀无分支磁路 查磁化曲线，得 H=300 A/m 磁势 反问题：已知线圈匝数N=1000，电流 I=1A，求磁通 为多少？ 查磁化曲线，得 B=1.05T，故 wb 图3.9.8 磁路计算 对于较复杂的磁路，还可用试探解法，迭代法，图解法、数值法等。对于交流磁路，由于磁性能更为复杂，解题难度相应提高。

67 • 可从毕奥—沙伐定律得到磁矢位A的表达式。
根据矢量恒等式，式（1）中的被积函数可写为 所以 则

68 • 对磁矢位两边取散度，得 应用矢量恒等式及 可得 将式（4）代入式（3）得 因为恒定电流分布在有限区域内，在无限远闭合面上 ，故得

69 第二步： 不变， 从 则 t 时刻，回路1、2中的感应电动势为 第一步： 从 若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即 则 t 时刻，回路1、2中的感应电动势为 若要继续充电，外源必须克服回路的感应电动势做功，即 不变， 从 ，外源所做的功 过程中，外源所做的功

70 安培环路定律 1. 恒定磁场的旋度 （ Biot - Savart Law ） • 对上式等式两端取旋度； • 利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质， 得 恒定磁场是一个有旋场。 （有电流区） （无电流区） 在直角坐标系中，

71 上式称为真空中的安培环路定律（Amperes Circuital Law ）
2. 真空中的安培环路定律 图 安培定律示意图 斯托克斯定理 或 上式称为真空中的安培环路定律（Amperes Circuital Law ） • 表明磁感应强度 B 沿任意闭合路径的线积分环量等于该回路所交链的电 流的代数和乘以真空的磁导率 。 • 电流 Ik 的正负取决于电流的方向与积分回路的绕行方向是否符合右手螺旋 关系，符合时取正值，反之取负值。 • 环路上的 B 不仅与环路交链的电流有关，它是整个系统中所有电流激励的结果。

72 由毕奥—沙伐定律证明 令 两边取旋度 矢量恒等式 令 则

73 矢量恒等式 则 故 将式（6）代入式（4） 将式（7）代入式（2），利用式（6）得 证毕。

74 无感电阻

75 无感电阻