第二部分 集合论 第六章 集合代数 主要内容 集合的基本概念 属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式

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1 第二部分 集合论 第六章 集合代数 主要内容 集合的基本概念 属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式
第二部分 集合论 第六章 集合代数 主要内容 集合的基本概念 属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的基本运算 并、交、补、差等 集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法

2 6.1 集合的基本概念 1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素
6.1 集合的基本概念 1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 例：方程x2－1＝0的实数解集合； 个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自 然数的全体、直线上的点…… 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合

3 6.1 集合的基本概念 2. 集合表示法 列元素法（枚举法）----是列出集合的所有元素, 元素之间 用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来.
6.1 集合的基本概念 2. 集合表示法 列元素法（枚举法）----是列出集合的所有元素, 元素之间 用逗号隔开, 并把它们用花括号括起来. 例如 A={a, b, c, …, z} N={0,1,2,3,…} Z={0, ±1, ±2, …} 谓词表示法----通过谓词概括集合元素的性质 例如： S={ x | x是实数∧ x21=0} 表示方程x2－1＝0的实数解集. 有些集合可以用列元素法，也可以用描述法，它们之间 可以相互转化，但是有些集合不能用列元素法，如实数集Ｒ

4 3.集合的性质 (1) 互异性：集合的元素是彼此不同的, 如 {1, 1, 2, 2, 3}＝{1, 2, 3} （2）无序性：集合的元素是无序的, 如 {1, 2, 3}＝{3, 1, 2} （3）确定性：集合中的元素是确定的，对元素a和集合A，有 a ∈ A或a A，必居其一且只居其一 （４）任意性：集合的元素也可以是集合

5 元素与集合 ４．元素与集合的关系 隶属关系： 或者  ５．集合的树型层次结构
例如：A={ a, { b,c} ,d ,{ { d } } } 这里 dA ，{b,c}A，{{d}}A。 但是 bA，{d}A 可以用一种树形图来表示这种隶属关系。

6 元素与集合 在本课程所中所采用的体系中规定集合的元素都是集合. 

7 集合与集合 集合与集合之间的关系：, =, ⊈, , ,  6. 同一个层次上的两个集合的关系
定义6.1 设A, B为集合, 如果B中的每个元素都是A中的元 素, 则称B是A的子集合, 简称子集. 这时也称B被A包含, 或A 包含B, 记作B  A. B  A  x ( xB  xA) 例如 N Z  Q  R C, 如果B不被A包含, 则记作B ⊈ A.

8 显然对任何集合A都有A  A.  隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系, 对于某些集合可
以同时成立这两种关系. 例如 A＝{a,{a}}和{a} 既有{a}∈A, 又有{a}  A. 前者把它们看成是不同层次上的两个 集合, 后者把它们看成是同一层次上的两个集合. 定义6.2 设A, B为集合, 如果A  B且B  A, 则称A与B相等, 记作A＝B.  如果A与B不相等, 则记作A≠B.  相等的符号化表示为: A＝B A  B∧B  A

9 定义6.3 设A, B为集合, 如果B  A且B≠A, 则称B是A的真
子集, 记作B  A.  如果B不是A的真子集, 则记作B  A.  真子集的符号化表示为 B A  B  A∧B≠A 例如 N  Z  Q  R  C, 但N N.  思考： 和  的定义 注意  和  是不同层次的问题

10 空集、全集和幂集 定义6.4 空集  ：不含有任何元素的集合。 空集可以符号化表示为 ＝{x|x≠x}.
定义6.4 空集  ：不含有任何元素的集合。 空集可以符号化表示为 ＝{x|x≠x}.  实例： { x | xR  x2+1=0 }是方程x2+1=0的实数解 集, 因为该方程无实数解, 所以是空集. 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A，由子集定义有  A   x (x∈ →x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题, 所以A   也为真. 

11 推论 空集是唯一的. 证：假设存在空集1和2, 由定理6.1有 1  2 2  1
推论 空集是唯一的.  证：假设存在空集1和2, 由定理6.1有 1   2  1 根据集合相等的定义, 有1 ＝2 .  含有n个元素的集合简称n元集, 它的含有m(m≤n)个元素 的子集叫做它的m元子集. 任给一个n元集, 怎样求出它的全部子集呢？举例说明 如下：

12 例6.1 A＝{1,2,3}, 将A的子集分类：   0元子集, 也就是空集, 只有一个：  ；
1元子集, 即单元集：{1}, {2}, {3}； 元子集：{1,2}, {1,3}, {2,3}；   3元子集：{1,2,3}.  注:由0元子集的个数,加1元子集的个数,…可得到子集总数 2n.

13 定义6.5 设A为集合, 把A的全部子集构成的集合叫做A的
幂集 定义 设A为集合, 把A的全部子集构成的集合叫做A的 幂集, 记作P(A)(或PA, 2A).  幂集的符号化表示为 P(A)＝{x|x  A} 对于例6.1中的集合A有 P(A)＝{, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 若A是n元集, 则P(A)有2n个元素. 

14 全集 定义6.6 在一个具体问题中, 如果所涉及的集合都是某个集合的子集, 则称这个集合为全集, 记作E.  全集是有相对性的, 不同的问题有不同的全集, 即使是同一个问题也可以取不同的全集. 例如在研究平面上直线的相互关系时, 可以把整个平面(平面上所有点的集合)取作全集, 也可以把整个空间(空间上所有点的集合)取作全集. 一般地说, 全集取得小一些, 问题的描述和处理会简单些.

15 6.2 集合的运算 1.初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 设A, B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对
6.2 集合的运算 1.初级运算 集合的基本运算有 定义6.7 设A, B为集合, A与B的并集A∪B, 交集A∩B, B对 A的相对补集A－B分别定义如下： 并 AB = {x | xA  xB} 交 AB = {x | xA  xB} 相对补 AB = {x | xA  xB} 由定义可以看出, A∪B是由A或B中的元素构成, A∩B由A 和B中的公共元素构成, A－B由属于A但不属于B的元素构成.

16 例如 A＝{a, b, c}, B＝{a}, C＝{b, d} 则有 A∪B＝{a, b, c}, A∩B＝{a}, A－B＝{b, c},  B－A＝ , B∩C＝  如果两个集合的交集为 , 则称这两个集合是不相交的. 例如B和C是不相交的.  并和交运算可以推广到n个集合上，即 A1  A2  …  An = { x | xA1 xA2  … xAn} A1  A2  …  An = { x | xA1  xA2  …  xAn}

17 ＝ A1  A2  …  An ＝ A1  A2  …  An ＝ A1  A2  … ＝ A1  A2  …
上述的并和交可以也可以写作： ＝ A1  A2  …  An ＝ A1  A2  …  An 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： ＝ A1  A2  … ＝ A1  A2  …

18 定义6.8 设A, B为集合, A与B的对称差集AB定义为：
A  B＝(A－B)∪(B－A) 例如 A＝{a, b, c}, B＝{b, d}, 则A  B＝{a, c, d}.  对称差运算的另一种定义是 A B＝(A∪B)－(A∩B)  

19 在给定全集E以后, AE, A的绝对补集～A定义如下：
定义 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧xA} 因为E是全集, x∈E是真命题, 所以～A可以定义为 ～A＝{x|xA } 例如 E＝{a, b, c, d}, A＝{a, b, c}, 则 ～A＝{d}. 

20 以上集合之间的关系和运算可以用文氏图(Venn Diagram)
给予形象的描述. 文氏图的构造方法如下： 首先画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略), 其次在矩形内画一些圆(或任何其他的适当的闭曲线), 用圆 的内部表示集合. 不同的圆代表不同的集合. 如果没有关于集合 不交的说明, 任何两个圆彼此相交. 图中阴影的区域表示新组成 的集合. 图6.2就是一些文氏图的实例.

21 文氏图

22 几点说明 A  B  AB =  AB =   AB = A

23 广义运算 2. 集合的广义并与广义交 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，符号化：
A = { x | z ( zA  xz )} 定义 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，符号化：  A= { x | z ( zA  xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}， {{a}}={a} {a}=a， {a}=a

24 关于广义运算的说明 2. 广义运算的性质 (1) =，无意义 (2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x
2. 广义运算的性质 (1) =，无意义 (2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 {A1, A2, … , An}=A1A2…An {A1, A2, … , An}=A1A2…An 3. 引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如 {{x} | xR}=R 这里的 R 代表实数集合.

25 运算的优先权规定 A= {a,b}， A= {a}， A= ab，  A = a = {a,b}((ab) {a})
一类运算：称广义并，广义交，幂集,绝对补运算 二 类运算：并,交,相对补,对称差运算 混合运算：一类运算优先于二类运算 运算由右向左进行 优先顺序由括号确定 例1 A={{a},{a,b}}，计算A(AA). 解： A= {a,b}， A= {a}， A= ab，  A = a A(AA) = {a,b}((ab) {a}) = (ab)((ab)a) = (ab)(ba) = b

26 有穷集合元素的计数 1. 文氏图法 使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题. 首先根据已知条件把对应的文氏图画出来. 一般地说, 每一条性质决定一个集合. 有多少条性质, 就有多少个集合. 如果没有特殊说明, 任何两个集合都画成相交的, 然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内. 通常从n个集合的交集填起, 根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域. 如果交集的数字是未知的, 可以设为x. 根据题目中的条件, 列出一次方程或方程组, 就可以求得所需要的结果

27 例6. 2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查
例6.2 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查. 其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别为13, 5, 10和9人, 其中同时会英语和日语的有2人, 会英、德和法语中任两种语言的都是4人. 已知会日语的人既不懂法语也不懂德语, 分别求只会一种语言(英、德、法、日)的人数和会三种语言的人数.  解: 令A, B, C, D分别表示会英、法、德、日语的人的集合. 根据题意画出文氏图如图6.3所示. 设同时会三种语言的有x人, 只会英、法或德语一种语言的分别为y1, y2和y3人. 将x和y1, y2, y3填入图中相应的区域, 然后依次填入其他区域的人数. 

28 根据已知条件列出方程组如下： 解得x＝1, y1＝4, y2＝2, y3＝3.

29 例6.3 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？
解 方法一 设 S={ x | xZ  1x1000} A={ x | xS  x可被5整除} B={ x | xS  x可被6整除} C={ x | xS  x可被8整除} 用|T|表示有穷集T中的元素数,  x 表示小于等于x的最大整数, lcm(x1,x2,…,xn)表示x1,x2,…,xn的最小公倍数, 则有

30 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6= 166, |C|=1000/8=125
|AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 画出文氏图，然后填入相应的数字，解得 N=1000－( ) =600

31 有穷集合元素的计数 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的
元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为 推论 S中至少具有一条性质的元素数为

32 实例 例6.3 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整 除，也不能被8整除的数有多少个？ 解：方法二
|S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000( )+( )8 = 600

33 6.3 集合恒等式 集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律    交换 AB=BA AB=BA
6.3 集合恒等式 集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律    交换 AB=BA AB=BA AB=BA 结合 (AB)C =A(BC) (AB)C= A(BC) (AB)C =A(BC) 幂等 AA=A AA=A

34 集合算律 2．涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律 与 与 分配 A(BC)= (AB)(AC) A(BC)=
A(AB)=A A(AB)=A

35 集合算律 3．涉及补运算的算律： DM律，双重否定律   D.M律 A(BC)=(AB)(AC)
(BC)=BC (BC)=BC 双重否定 A=A

36 集合算律 4．涉及全集和空集的算律： 补元律、零律、同一律、否定律  E 补元律 AA= AA=E 零律 A= AE=E

37 集合恒等式 下面的恒等式给出了集合运算的主要算律, 其中A, B, C代表任意集合. 幂等律 A∪A＝A A∩A＝A
结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) 交换律 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A

38 分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
同一律 A∪＝A A∩E＝A 零律 A∪E＝E A∩＝ 排中律 A∪～A＝E 矛盾律 A∩～A＝

39 吸收律 A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A
德·摩根律 A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) ～(B∪C)=～B∩～C ～(B∩C)=～B∪～C ～＝E ～E＝ 双重否定律 ～(～A)＝A

40 集合证明题 证明方法：命题演算法、等式置换法 命题演算证明法的书写规范 (以下的A和B代表集合公式) (1) 证AB
任取x， xA  …  xB (2) 证A=B 方法一 分别证明 AB 和 BA 就是对于任意的x,有 x∈Ax∈B和x∈Bx∈A 方法二 任取x，xA  …  xB 注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充 分必要的

41 选证其中的一部分, 在证明中大量用到命题逻辑的等值式, 在
叙述中采用半形式化的方法.  方法一：命题演算法 例6.4 证明（德摩根律） A－(B∪C)＝(A－B)∩( A－C).  证 对任意的x x∈A－(B∪C)  x∈A∧xB∪C  x∈A∧┐(x∈B∨x∈C)

42  x∈ A∧( ┐x ∈ B ∧┐x ∈C)  x ∈ A∧ xB ∧ x C  ( x ∈ A ∧ x  B) ∧ ( x ∈ A ∧ x  C) x ∈ A－B∧ x ∈ A－C  x ∈( A－B)∩(A－C) 所以 A－(B∪C)＝(A－B)∩( A－C)

43 例6.5 证明（同一律） A∩E＝A.   证 对任意的x,  x∈A∩Ex∈A∧x∈Ex∈A(因为x∈E是恒真命题), 所以 A∩E＝A. 

44 集合等式的证明 例6.6 证明（吸收律） A(AB) = A 证 任取x, xA(AB)  xAxAB
 xA(xAxB)  xA 因此得 A(AB) = A.

45 等式代入法 方法二：等式置换法 例6.8 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律. 证 A(AB)
= (AE)(AB) （同一律） = A(EB) （分配律） = A(BE) （交换律） = AE （零律） = A （同一律）

46 A ∪ B =BA  B A ∩B =AA-B= AB＝BA
另一些关于集合运算性质的重要结果 A∩BA, A∩BB AA∪B, BA∪B ] A－BA A－B＝A∩～B A ∪ B =BA  B A ∩B =AA-B= AB＝BA (AB) C＝A (BC) A＝A AA＝  AB＝ACB＝C

47 例6.9 证明等式A－B＝A∩～B.  证 对于任意的x,  x∈A－Bx∈A∧xB x∈A∧x∈～B x∈A∩～B 所以 A－B＝A∩～B.  上面等式把相对补运算转换成交运算, 这在证明有关相 对补的恒等式中是很有用的. 

48 例6.10 证明(A－B)∪B＝A∪B 证明 (A－B)∪B ＝(A∩～B)∪B ＝(A∪B)∩(～B∪B) ＝(A∪B)∩E ＝A∪B

49 包含等价条件的证明 例6.11 证明AB=B  AB  AB=A  AB= ① ② ③ ④ 证明思路：
① ② ③ ④ 证明思路： 确定问题中含有的命题：本题含有命题 ①, ②, ③, ④ 确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论 确定证明顺序：①②，②③，③④，④① 按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）

50 证： ①② A∪B＝BAB 对于任意的x,  （A  A ∪ B ） x∈A  x∈A∨x∈B  x∈A∪B  x∈B (因为A∪B＝B) 所以A  B.  ②③ A  B  A∩B＝A. 显然有A∩B  A, 下面证A  A∩B.  对于任意的x,  x∈Ax∈A∧x∈ A  x∈A∧x∈B (因为AB)  x∈A∩B 则 A  A∩B     由集合相等的定义有A∩B＝A. 

51 ③④ A∩B＝A  A－B＝   A－B ＝A∩～B ＝(A∩B)∩～B (因为A∩B＝A) ＝A∩(B∩～B) ＝A∩   ＝   ④① AB=  A∪B＝B 由例6.10（(A－B)∪B＝A∪B）及A－B＝ 有 A∪B＝B∪(A－B)＝B∪  ＝B 例6.11给出了A  B的另外三种等价的定义, 这不仅为证明两个集合之间的包含关系提供了新方法, 同时也可以用于集合公式的化简.

52 解 因为A∪BA∪B∪C, AA∪(B－C), 有
例6.12 化简((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A).  解 因为A∪BA∪B∪C, AA∪(B－C), 有 ((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A) ＝(A∪B)－A ＝B－A

53 例6.13 已知AB＝ A C, 证明B＝C. 证 已知A  B＝A C, 所以有
A  (A B)＝A  (A C) (A A) B＝(A A) C  B＝ C  B ＝C   B＝C

54 第六章 习题课 主要内容 集合的两种表示法 集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系 特殊集合：空集、全集、幂集
文氏图及有穷集合的计数 集合的, , , , 等运算以及广义, 运算 集合运算的算律及其应用

55 基本要求 熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系
熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法

56 练习1 1．判断下列命题是否为真 (1)  (2)  (3) {} (4) {}
(1)  (2)  (3) {} (4) {} (5) { a, b }  { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b}  { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}} 解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.

57 方法分析 (1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法： 把 a 作为整体检查它在A中是否出现，注意这里的 a 可 能是集合表达式.
(2) 判断AB的四种方法 若A,B是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否在B中出现. 若A,B是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB，“P当且仅当Q”意味Ａ=Ｂ． 通过集合运算判断AB，即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明

58 练习2 2．设 S1={1, 2, … , 8, 9}， S2={2, 4, 6, 8} S3={1, 3, 5, 7, 9} S4={3, 4, 5} S5={3, 5} 确定在以下条件下X是否与S1,…,S5中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？ （1）若 XS5= （2）若 XS4但 XS2= （3）若 XS1且 X ⊈S3 （4）若 XS3= （5）若 XS3 且 X ⊈ S1

59 解答 解 (1) 和S5不交的子集不含有3和5，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是S4和S5. 由于与S2不交，不能含有偶数，
(3) S1, S2, S3, S4和S5都是S1的子集，不包含在S3的子集含有 偶数，因此 X=S1, S2或S4. (4) XS3=意味着 X是S3的子集，因此 X=S3或 S5. (5) 由于S3是S1的子集，因此这样的X不存在.

60 练习3 3. 判断以下命题的真假，并说明理由. （1）AB = A  B= （2）A(BC) = (AB)(AC)
（3）AA = A （4）如果AB = B，则A = E. （5）A = {x}x，则 xA且x  A.

61 解题思路 先将等式化简或恒等变形. 查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真. 注意以下两个重要的充要条件
AB = A  AB =  AB =   AB  AB = B  AB = A 如果与条件相符，则命题为真. 如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明. 试着举出反例，证明命题为假.

62 解答 解 (1) AB = A  B= B=是AB=A的充分条件，但不是必要条件. 当B不空但是 与A不交时也有AB=A.
(2) A(BC) = (AB)(AC) 这是DM律，命题为真. (3) AA = A 不符合算律，反例如下： A={1}，AA=，但是A. (4)如果AB = B，则A = E命题不为真. AB=B的充分必要条 件是 BA，不是A=E. (5) A = {x}x，则 xA且x  A命题为真，因为 x 既是 A 的元 素，也是 A 的子集

63 练习4 证明要求 证明方法： 4．证明 AB = AC  AB = AC  B = C 解题思路 分析命题：含有3个命题：
① ② ③ 证明要求 前提：命题①和② 结论：命题③ 证明方法： 恒等式代入 反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式

64 解答 方法一：恒等变形法 B = B(BA) （吸收律） = B(AB) （交换律） = B(AC) AB = AC
= (BA)(BC)　　　　　　　　(分配律） = (AC)(BC) 　　　　　　　AB = AC 　　　　= (AB)C 　　　　　　　　　 　(分配律） = (AC)C 　　　　　　　　　 AB = AC 　　　　= C

65 解答 方法二：反证法. 假设 B  C，则存在 x (xB且xC), 或存在 x (xC且xB). 不妨设为前者.
　　若x属于A，则x属于AB 但x不属于AC，与已知矛盾； 　　若x不属于A，则x属于AB但x不属于AC，也与已知矛盾.

66 解答 方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式. 由已知等式①和②可以得到 (AB) (AB) = (AC) (AC) 即
从而有 A(AB) =A(AC) 根据结合律得 (AA)B = (AA) C 由于AA = , 化简上式得B = C.

67 练习5 5．设A,B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件： (1) AB=B  A=B=. (2) AB=BA  A=B
(3) AB=AB  A=B (4) AB=A  B=

68 分析 解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明如下：
(1) 化简给定的集合等式 (2) 求解方法如下： 利用已知的算律或者充分必要条件进行判断 先求必要条件，然后验证充分性 利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的证明方法加以验证

69 解答 解 (1) AB=B AB=B  A=B=. 求解过程如下： 由AB=B得 (AB)B = BB
AB=BA  A=B. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB=BA得 (AB)A=(BA)A 从而有A=AB, 即BA. 同理可证AB.

70 解答 (3) AB=AB AB=AB  A=B. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB=AB得
A(AB) = A(AB) 化简得A =AB，从而有BA. 类似可以证明AB. 　(4) AB=A AB=A  B=. 求解过程如下： 充分性是显然的，下面验证必要性. 由AB = A得 A(AB) = AA 根据结合律有 (AA)B = AA 即 B = , 就是B = .