第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动

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1 第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
§7-1 流体流动的连续性方程 本节给出的连续性方程既适用于理想流体，也适用于粘性流体 积分形式的连续性方程：

2 推导一：由高数的高斯定理： 取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：

3 推导二： 在x方向： 右面：流出控制体 左面：流入控制体

4 x方向单位时间内的净通量： 同理可得： y方向 z方向

5 单位时间流过微元体控制面的总净通量 微元体内总质量的变化率为 ： 取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：

6 写为矢量形式 ： 讨论：1. 定常流动 2. 不可压缩流体流动

7 3. 柱坐标系中 4. 球坐标系中

8 例7-1 已知不可压缩流体运动速度 且在 z=0处，有：vz=0。 求 vz 解：由不可压缩流体连续性方程

9 积分之： 由已知条件

10 §7-2 流体微团的运动分析 平动 刚体 转动 流体 平动 转动 变形

11 y C’ C B o A dβ A’ dα x

12 C B o A A’ dα C’ dβ x y

13 1. 平移运动 y C B o A x

14 2. 线变形运动 y C B o A x

15 3. 角变形运动 y C B o A x

16 4. 转动 y C B o A x

17 定义旋转角速度:

18 定义角变形速度:

19 A(x+δx,y+δy,z+δz) y O(x,y,z) x o z

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21 海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理

22 §7-3 有旋流动和无旋流动 定义： 1. 流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动；
§7-3 有旋流动和无旋流动 定义： 1. 流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动； 2. 流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动， 无旋流动又称为有势流动。 无旋流动 有旋流动

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24 判断有旋/无旋： 由流体微团本身是否发生旋转来决定， 与流体微团本身的运动轨迹无关 。

25 §7-4 理想流体运动微分方程式 欧拉积分和伯努里积分 一、运动微分方程 牛顿第二定律：

26 理想流体运动微分方程式 欧拉(Euler)运动微分方程式

27 矢量式:

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29 兰姆（H.Lamb）运动微分方程 矢量式:

30 在有势的质量力作用下，流场是正压性的，则：
有势质量力 正压性

31 矢量式:

32 二、欧拉积分 理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动

33 积分之： 欧拉积分式 理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在流场中保持不变。

34 三、伯努利积分 理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动 沿流线 ： dx=vxdt，dy=vydt，dz=vzdt

35 积分之： 伯努利积分式 理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的总机械能沿流线保持不变。

36 §7-5 理想流体的旋涡运动

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40 一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度 涡量的定义： 1．涡线 涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线

41 涡线的微分方程为： 2．涡管、涡束 在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管 涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束

42 3．旋涡强度（涡通量）

43 二、速度环量、斯托克斯定理 1．速度环量： 流体速度矢量沿周线的线积分 规定绕行的正方向为逆时针方向，即沿封闭轴线前进时，封闭周线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所包围曲面的法线正方向与绕行的正方向符合右手螺旋系统。

44 2．斯托克斯定理 在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即 ：

45 三、汤姆孙定理、亥姆霍兹定理 1．汤姆孙（Thomson）定理 理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化 涡旋不会自行产生，也不会自行消失

46 2．亥姆霍兹（Helmholtz）定理 亥姆霍兹第一定理：在理想正压性流体的有旋流场中，同一涡管各截面上的旋涡强度相同。

47 在理性正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环状涡管，或开始于边界、终止于边界。
亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理） 理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。 亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理） 理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。

48 作业：7-2(1)、(3)， 7-5