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垂直关系 立体几何初步 北师大版 必修2 抚州市电教馆黄根
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6.1平面与平面垂直的判定 目录 课前热身 标题 讲授新课 练习 范例 小结 作业
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课前热身 1、直线与直线垂直 2、直线与平面垂直 3、平面与平面垂直 在空间中,空间图形有哪几种垂直关系? 文字语言 图形语言 符号语言
n 1、直线与直线垂直 m m⊥n m m⊥α 2、直线与平面垂直 α ⊥ 3、平面与平面垂直
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平面与平面垂直的判定
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讲授新课 二面角 角 “二面角” “角” 演示图 演示图 迁移与拓展 : 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做?
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分,其中的每 一部分都叫做—— 想一想 射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中的 每一部分都叫做——— 半平面 迁移与拓展 : 讲授新课 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做? 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做-? 二面角 角 “二面角” 演示图 “角” 演示图
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“角”形成的动画演示图 动画演示后 的返回键
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“二面角”形成的动画演示图 对比演示图
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“角”形成的动画演示图 “二面角”形成的动画 演示图
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二面角的棱; 二面角的面。 或者二面角α-AB-β 或者二面角C-AB-D
二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 β 这条直线叫做 二面角的棱; α 这两个半平面叫做 二面角的面。 这样的二面角记作:二面角α-l-β 或者二面角α-AB-β 如图示 或者二面角C-AB-D 备注:版权声明 本资源盘由数学中国网站( β α A B C D A β α B
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上述二面角的运动变化过程中,两个半平面形成的
“二面角”形成的动画演示图 ? 再看一次动画演示图 上述二面角的运动变化过程中,两个半平面形成的 “角度”的大小如何来确定 ?
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定义 构成 表示法 图形 角 B O 边 顶点 面 棱 a 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
二面角 B O 边 顶点 面 棱 a 图形 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 。 定义 二面角 构成 边—点—边 (顶点) 面—直线—面 (棱) 二面角α-AB-β 表示法 ∠AOB 或二面角α-a-β
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α β F C D O OC是垂直于EF的射线 E OD也是垂直于EF的射线 2)过点O在α作垂线OC 3)过点O在β作垂线OD
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C D 二面角的平面角应注意什么? 1)角的顶点在棱上; 2)角的两边分别在两个面内; 3)角的两边都要垂直于二面角的棱;
O C D E F α β 二面角的平面角应注意什么? 1)角的顶点在棱上; 2)角的两边分别在两个面内; 3)角的两边都要垂直于二面角的棱; 4)二面角是用它的平面角来度量的, 一个二面角的平面角多大,就说这个 二面角是多少度的二面角; a β α O D C ∠COD= 90 备注:版权声明 本资源盘由数学中国网站( 5)二面角的取值范围一般 规定为___ ; 6)平面角是直角的二面角 叫做直二面角。如图示 [0,π] 二面角演示图 继续
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“二面角”形成的动画演示图 返回f
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面面垂直的定义: 除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢? 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直
图形两种不同画法 记作 β α⊥β α α 除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢?
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问题: 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?
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问题: 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?
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一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
面面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号表示: 简记:线面垂直,则面面垂直 关键:找垂直平面的线
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面面垂直的判定定理 β 那么这两个平面相互垂直. α A D B E C 作BE⊥CD。 在平面β内过B点, AB⊥β,CD⊥β ∵ ∴
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面相互垂直. 已知:直线AB平面,直线AB平面。 求证:平面 平面。 证明: 在平面β内过B点, 作BE⊥CD。 AB⊥β,CD⊥β ∵ α ∴ AB⊥CD 故∠ABE是二面角-CD-的平面角 A ∵ AB⊥β,BE⊥β D β B E ∴ AB⊥BE ∴ 二面角-CD-β为直二面角 C 即平面 平面
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√ √ √ 判断是非 1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )
3.若平面内有一条直线垂直于平面 内的两条 相交直线,则一定有α⊥β ( ) 2.若平面内有一条直线垂直于平面内无数条直线,则一定有 α⊥β ( ) 1.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 ( ) 4.若平面与不垂直,则平面内所有直线与 都 不垂直 ( ) √ √ √
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例题详讲:(一) 指出或作出二面角的平面角
【例1】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过C1、B、D三点作一个平面,试作出二面角C1-BD-C的平面角,并说明作图的根据.
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【变式训练1】 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试作出二面角A-BD-C的平面角,并说明作图的依据.
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【例2】 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是 圆周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设已知⊙O平面为α PA⊥面,BC⊥面 ∴PA⊥BC 又∵AB为圆的直径 ∴AC⊥BC ∵PA AC=A PA 面PAC,AC 面PAC ∴BC⊥面PAC ∵BC 面PBC ∴面PA⊥面PBC
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【例2】 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,证明:平面PAC⊥平面PBC
1.你还能发现哪些面互相垂直? 探究问题 在例2中 面PAC ⊥面ABC; 面PAB ⊥面ABC 2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的? A B O C P 都是直角三角形 3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗? ∠PCA
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小结 二面角- l- l 1、二面角及其它的平面角 2、平面与平面垂直的判定定理 A 二面角的范围:[ 0°, 180 °].
O A B 二面角- l- 二面角的范围:[ 0°, 180 °]. α β l 2、平面与平面垂直的判定定理
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3.两个平面垂直的判定方法: 证明面面垂直的本质和关键是什么? 1)定义法: 2)判定定理:
找二面角的平面角 说明该平面角是直角。 2)判定定理: 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 证明面面垂直的本质和关键是什么? 本质:线面垂直 面面垂直 关键:找垂直平面的线 线线垂直 面面垂直 线面垂直
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1.课后作业1 课后作业 2.课后作业2 备注:版权声明 本资源盘由数学中国网站(
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AC、AE都垂直于二面角的棱AF,它就是二面角的平面角
课后作业1:如图所示,DB、EC都垂直于正 所在的平面,且EC=BC=2BD,求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小。 解:延长ED交CB于F,连AF,则平面ABC∩平面ADE=AF, AF就是平面ADE与平面ABC的交线,也就是这两个平面所成的二面角的棱 ∴∠CAF=900,由三垂线定理AE⊥AF ∴∠EAC为二面角E-AF-C的平面角。在直角三角 形 ACE中,AC=EC, ∴∠EAC=450 因此平面ABC与平面ADE所成的角为450. AC、AE都垂直于二面角的棱AF,它就是二面角的平面角 备注:版权声明 本资源盘由数学中国网站(
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课后作业2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为CC1中点,O为底面ABCD的中心.求证:A1O⊥平面GBD.
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分析:要证明线面垂直,可在平面GBD内找两条相交直线与A1O垂直.
证明:∵A1A⊥BD, AC⊥BD, A1A∩AC=A, ∴BD⊥平面A1AO. 又A1O⊂平面A1AO, ∴BD⊥A1O.
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又∵BD∩OG=O, ∴A1O⊥平面GBD. 点评:(1)在证明线线垂直时,有时需从数量关系,即勾股定理的逆定理,或三角形的全等来找到垂直关系; (2)在证明线面垂直时,一定要在平面内找到和这条直线都垂直的两条相交直线,至于这两条直线是否与已知直线有交点是无关紧要的,但平面内的两条直线不能缺少“相交”这一条件.
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又AB=AD,所以AO⊥BD;BC=CD,所以CO⊥BD. 因此,∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.
解:取BD的中点O,连接AO、CO, 因为BD是二面角A-BD-C的棱, 又AB=AD,所以AO⊥BD;BC=CD,所以CO⊥BD. 因此,∠AOC为二面角A-BD-C的平面角. A C B o D
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因为BD是二面角C1-BD-C的棱,ABCD-A1B1C1D1为正方体,O是底面正方形ABCD对角线BD的中点,
解:取BD的中点O,连接CO、C1O, 因为BD是二面角C1-BD-C的棱,ABCD-A1B1C1D1为正方体,O是底面正方形ABCD对角线BD的中点, 所以CO⊥BD,又C1D=C1B,所以C1O⊥BD. 因此,∠C1OC即为二面角C1-BD-C的平面角 A B C D A1 B1 C1 D1 o
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