立体几何专题之 三垂线定理 北京大学光华管理学院 何洋.

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1 立体几何专题之 三垂线定理 北京大学光华管理学院 何洋

2 写在前面的话 高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂线问题。

3 写在前面的话 学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直线与直线之间的位置关系，加上往往题目中线条较多，加大了判断难度。另外，许多同学对定理内容不清楚，导致做题时思路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄清定理内容：

4 三垂线定理说明（1） 对于平面α的斜线OP，在平面α内必存在射影OA

5 三垂线定理说明（2） 如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反之也成立

6 三垂线定理说明（3） 满足条件（2）的直线a必垂直于斜线及射影所确定的平面

7 三垂线定理说明（4） 运用三垂线定理及逆定理的规律：确定平面、找到斜线、找到（做出）垂线、连成射影、查面内线

8 三垂线定理说明（5） 关于三垂线定理及逆定理的图形，有以下三种情况：①直线a可能过O点；②直线a可能与OA相交；③直线a可能与AO或OA的延长线相交

9 举两个例子 ①直线a可能过O点

10 举两个例子

11 举两个例子 ③直线a可能与AO或OA的延长线相交

12 举两个例子

13 三垂线定理说明（6） 平行于平面α的直线a，如果垂直于斜线OP在平面α内的射影OA，那么直线a也垂至于斜线OP，它在解某些较复杂的问题时可能化难为易

14 举一个例子

15 举一个例子

16 三垂线定理说明（7） 大家往往习惯于在水平放置地平面上运用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的平面上需用三垂线定理解题时，即使是很明显的问题，有时也会感到力不从心。应明确的是，三垂线定理及其逆定理的适用与平面所在的位置无关。可做一些练习加深这种印象。

17 举一个例子

18 举一个例子

19 三垂线定理说明（8） 应用这两个定理时，首先要明确是针对哪个平面应用定理，尤其是应注意此平面非水平面放置的情况，然后再明确斜线、垂线、斜线的射影及面内直线的位置，有时需要添加其中某些线，这样可以确保正确应用定理

20 三垂线定理应用归类 判定空间中两条直线相互垂直 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 求二面角的平面角

21 一些例子 判定空间中两条直线相互垂直

22 一些例子 判定空间中两条直线相互垂直

23 一些例子 判定空间中两条直线相互垂直

24 一些例子 求平面外一点到平面内一条定直线的距离

25 一些例子 求平面外一点到平面内一条定直线的距离

26 一些例子 求平面外一点到平面内一条定直线的距离
说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练习，同学们可以自己尝试一下。

27 一些例子 求二面角的平面角

28 一些例子 求二面角的平面角 说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌握，其过程是在二面角的一个面上找一点P，过P分别作棱和另一个面的垂线，设其垂足分别是E、F，连结EF，则角PEF即是所要找的二面角的平面角

29 写在最后的话 三垂线定理是立体几何的重点定理，建议对其掌握不好的同学，一方面扎实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种情况，另一方面所作相关练习，重点突破 祝大家学习成功，高考顺利！

30 谢谢大家！