第四章 随机变量的数字特征 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便. 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断.

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1 第四章 随机变量的数字特征 我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便. 已知一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断. 2019/4/19

2 §1 随机变量的数学期望 §1.1 离散型随机变量的数学期望 例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？ 0.3
0.5 0.2 0.6 0.1 概率 10 9 8 击中环数 B A 射手名称 2019/4/19

3 例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差,其数据如表:
5 4 16 21 28 17 10 3 只数Nk 2 1 -1 -2 日走时误差xk 则抽查到的100只手表的平均日走时误差为 即 2019/4/19

4 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.
如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值。 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念. 2019/4/19

5 Expectations 定义:设离散型随机变量X的概率分布为 如若 则称 为随机变量X的数学期望,记为E(X). 如果
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6 所以A的射击技术较B的好. 例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？ 解 A射击平均击中环数为
0.3 0.5 0.2 0.6 0.1 概率 10 9 8 击中环数 B A 射手名称 解 A射击平均击中环数为 B射击平均击中环数为 所以A的射击技术较B的好. 2019/4/19

7 解 ① 分布律为： X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.2 0.1 ② 平均废品数为： 2019/4/19

8 例:设随机变量X具有如下的分布，求E(X).
解 虽然有 收敛,但 发散,因此E(X)不存在. 2019/4/19

9 §1.1.1（0-1）分布数学期望 设X的分布列为： X 1 P q p 其中 则 2019/4/19

10 §1.1.2 二项分布数学期望 定理:设随机变量X服从二项分布,即 则随机变量X的数学期望E(X)=np. 证明 后面补证
§ 二项分布数学期望 定理:设随机变量X服从二项分布,即 则随机变量X的数学期望E(X)=np. 证明 后面补证 2019/4/19

11 2019/4/19

12 §1.1.3 泊松分布数学期望 定理:设随机变量X服从泊松分布,即 则随机变量X的数学期望E(X)=λ . 证明: 后面补证
§ 泊松分布数学期望 定理:设随机变量X服从泊松分布,即 则随机变量X的数学期望E(X)=λ . 证明: 后面补证 2019/4/19

13 2019/4/19

14 §1.2 连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为 E(X)= 自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?
§1.2 连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量X的数学期望为 E(X)= 自然要问连续型随机变量的数学期望是什么? 设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点 x0<x1<…<xn+1 则随机变量X落在△xi=(xi, xi+1)中的概率为 与X近似的随机变量Y的数学期望为 由微积分知识自然想到X的数学期望为 2019/4/19

15 定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若
则称 为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). 如果 则称连续型随机变量X的数学期望不存在. 2019/4/19

16 例:设随机变量X的概率密度函数为 试求X的数学期望 解 2019/4/19

17 例:若随机变量X的概率密度函数为 问随机变量X的数学期望E(X)是否存在. 解 所以E(X)不存在.但 2019/4/19

18 § 均匀分布的数学期望 定理:设连续型随机变量X的密度函数为 则E(X)=(a+b)/2. 证明: 2019/4/19

19 § 指数分布的数学期望 定理:设连续型随机变量X的密度函数为 则随机变量X的数学期望为E(X)=1/λ. 证明 2019/4/19

20 § 正态分布的数学期望 定理:设连续型随机变量X~N(μ,σ2) ,则 E(X)=μ. 证明 2019/4/19

21 §2 随机变量函数的数学期望 §2.1 随机变量函数的数学期望 定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数).
§2 随机变量函数的数学期望 §2.1 随机变量函数的数学期望 定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数). (1)设离散型随机变量X的概率分布为 P{X=xk}=pk, k=1,2,... 若 则 (2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若 则有 2019/4/19

22 定理:设Z是随机变量X,Y的函数Z=f(X,Y) (f是连续函数).
若 则 (2)设二维随机向量(X,Y)的分布密度为p(x,y),若 则 2019/4/19

23 若y<0,则FY(y)=0;若y>0,则 再求
例:已知随机变量X~N(0,1),求E(X2). 解法1 先求Y= X2 的概率密度函数: 若y<0,则FY(y)=0;若y>0,则 再求 解法2 所以Y= X2 的概率密度函数为 后面补证 2019/4/19

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25 例: 设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).
解 2019/4/19

26 例:设风速V在(0,a)上服从均匀分布,又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数:W=kV2(k>0,常数),求W的数学期望.
所以 2019/4/19

27 例:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 试求XY的数学期望. 解 2019/4/19

28 解以s(公斤)表示进货数,进货s所得利润记为Ys(X),则
例:按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获利润b元.如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损a元.设某商品在季节内这种商品的销售量X(以公斤计)是一随机变量,X在区间(s1,s2)上服从均匀分布.为使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多少货? 解以s(公斤)表示进货数,进货s所得利润记为Ys(X),则 X的概率密度为 2019/4/19

29 于是 由 得 2019/4/19

30 §2.2 数学期望的性质 1.若a≤X≤b,则E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特别,若C是常数,则E(C)=C.
§2.2 数学期望的性质 1.若a≤X≤b,则E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特别,若C是常数,则E(C)=C. 2.设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b, E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) 此性质可推广到有限个随机变量的线性组合的情况. 3.设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y) 此性质可推广到有限个互相独立的随机变量之积的情况. 2019/4/19

31 定理：若a≤X≤b,则E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特别,若C是常数,则E(C)=C.
{X=xi}=pi, i=1,2,… 则 (2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则 (3)因为P{X=C}=1,故E(C)=E(X)=C×1=C 2019/4/19

32 定理:设X,Y是两个随机变量,若E(X),E(Y)存在,则对任意的实数a、b, E(aX+bY)存在,且有
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) 证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为 P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,… P{X=xi}=pi., i=1,2,… P{Y=yj}=p.j, j=1,2,… 则 2019/4/19

33 (2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y)
则 2019/4/19

34 证明 (1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为
E(XY)=E(X)E(Y) 证明 (1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为 P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,… P{X=xi}=pi., i=1,2,… P{Y=yj}=p.j, j=1,2,… 则 2019/4/19

35 (2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y)
则 2019/4/19

36 例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).
解:引入随机变量 易知X=X1+X2+…+X10 任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1- (9/10)20. 即P{Xi=0}= (9/10)20, P{Xi=1}= 1- (9/10)20 2019/4/19

37 注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.
所以 E(Xi)= 1- (9/10)20, i=1,2,…,10 进而 E(X)=E(X1+X2+…+X10) =E(X1)+E(X2)+…+E(X10) =10[1- (9/10)20]=8.784 注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义. 2019/4/19

38 例:设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
求电压V=IR的数学期望. 解 2019/4/19

39 解 因此，有 2019/4/19

40 又当-1≤x≤1时， 故得 同理可得 由于 所以X与Y不相互独立 2019/4/19

41 例: 抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).
从而由期望的性质可得 2019/4/19

42 §3 随机变量的方差 §3.1 方差的概念 例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：
§3 随机变量的方差 §3.1 方差的概念 例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律： 易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢? 2019/4/19

43 A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小.
分析原因： A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小. 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的. 怎么样去度量这个偏离程度呢? (1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差; (2)E[X-E(X)]不能反映X与E(X)之间的整体偏差; (3)E{|X-E(X)|}可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便; (4)E{[X-E(X)]2}可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便. 2019/4/19

44 定义：设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}存在,则称E{[X-E(X)]2}为X的方差.记为D(X)或Var(X),即
D(X)= Var(X)= E{[X-E(X)]2} 称为X的标准差或均方差. 定理: 证明 D(X)=E{[X-E(X)]2} =E{X2 -2XE(X)+ [E(X)]2} = E(X2)-2E(X)E(X)+ [E(X)]2 = E(X2)- [E(X)]2 2019/4/19

45 方差实际上是随机变量X的函数f(X)=[X-E(X)]2的数学期望.于是
P{X=xk}=pk,k=1,2,… 则 (2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为p(x),则 2019/4/19

46 例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?
解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以 由于D(XA)<D(XB),因此A手表较B手表的质量好. 2019/4/19

47 例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).
解 于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6 2019/4/19

48 §3.2 常见分布的方差 §3.2.1（0-1）分布的方差 定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,则D(X)=pq. 证明
§3.2 常见分布的方差 §3.2.1（0-1）分布的方差 定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,则D(X)=pq. 证明 2019/4/19

49 § 二项分布的方差 定理:若随机变量X服从二项分布X~B(n,p),则 D(X)=npq. 证明 后面补证 2019/4/19

50 2019/4/19

51 2019/4/19

52 预备公式2. 2019/4/19

53 求证： 证明： 2019/4/19

54 杨辉三角 中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有《日用算法》 《杨辉算法》等 2019/4/19

55 　“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右. 2019/4/19

56 杨辉三角基本性质 1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加
2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等 3.每一行的第二个数就是这行的行数 4.所有行的第二个数构成等差数列 5.第n行包含n+1个数 杨辉三角基本性质 1 　　　　 　　　 　　　 　　　 　 ……………………………… 2019/4/19

57 2019/4/19

58 2019/4/19

59 § 泊松分布的方差 定理：设随机变量X服从泊松分布X~π(λ),则D(X)=λ. 证明 2019/4/19

60 § 均匀分布的方差 定理:设随机变量X服从均匀分布X~U(a,b),则D(X)=(b-a)2/12. 证明 2019/4/19

61 § 指数分布的方差 定理:设随机变量X服从参数为λ 的指数分布,则 证明 2019/4/19

62 2019/4/19

63 § 正态分布的方差 定理:设随机变量X服从正态分布X~N(μ,σ2) , 则D(X)=σ2. 证明: 后有补充 2019/4/19

64 2019/4/19

65 常见分布的期望和方差表 2019/4/19

66 解法1 X的边缘密度函数是 故 2019/4/19

67 解法2 于是 2019/4/19

68 解 由于 所以 2019/4/19

69 (4)对于任意常数C≠E(X),有 D(X)<E(X-C)2
§3.3 随机变量方差的性质 (1)设C是常数,则D(C)=0 (2)设C是常数,X是随机变量,则有 D(CX)=C2D(X) (3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (4)对于任意常数C≠E(X),有 D(X)<E(X-C)2 2019/4/19

70 证明 D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2} = E{[(aX+b)-E(aX)-b]2}
定理:D(aX+b)=a2D(X) 证明 D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2} = E{[(aX+b)-E(aX)-b]2} = E{[aX-E(aX)]2} =E{[a(X-E(X))]2 } =a2E{[X-E(X)]2} =a2D(X) 2019/4/19

71 定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
证明 D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} =E {[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2} = E {[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有2E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]}=2E{[X-E(X)]}E{ [Y-E(Y)]}=0. 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 2019/4/19

72 由于 C≠E(X),所以[E(X)-C]2 > 0 从而有D(X)<E(X-C)2
2019/4/19

73 解 由期望与方差的性质可得 2019/4/19

74 解 由题意 于是 2019/4/19

75 §4 协方差与相关系数 对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息. 但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系. 2019/4/19

76 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)
§4.1 协方差 定义：设二维随机向量(X,Y)的数学期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 协方差有计算公式 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y) 任意两个随机变量X与Y的和的方差为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 2019/4/19

77 协方差的性质 1. 2. a,b是常数 3. 4. 2019/4/19

78 证明 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E[(Y-E(Y))(X-E(X))] = Cov(Y,X)
定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 证明 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E[(Y-E(Y))(X-E(X))] = Cov(Y,X) 定理: Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数 证明 Cov(aX,bY)=E[(aX-E(aX))(bY-E(bY))] =E{[a(X-E(X))][b(Y-E(Y))]} =abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =abCov(X,Y) 2019/4/19

79 定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)
=E{[(X+Y)-E(X+Y)][Z-E(Z)]} = E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))][Z-E(Z)]} = E{[X-E(X)][Z-E(Z)] +[Y-E(Y)][Z-E(Z)]} =E{[X-E(X)][Z-E(Z)]} +E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]} =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z) 2019/4/19

80 为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:
协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是 Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化: 再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念. 2019/4/19

81 §4.2 相关系数 定义:设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称
§4.2 相关系数 定义:设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称 为随机变量X与Y的相关系数或标准协方差. 2019/4/19

82 §4.2.1 相关系数的性质 性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.
§ 相关系数的性质 性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1. 性质2: |ρXY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得P{Y=a+bX}=1, 即X,Y具有线性关系的概率为1. 性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0. 2019/4/19

83 性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|ρXY|≤1.
证明 令 则 从而|ρXY|≤1. 后面补证： 2019/4/19

84 2019/4/19

85 性质2: |ρXY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得 P{Y=aX+b}=1
证明 令 由ρXY2=[E(X*Y*)]2≤E(X*)E(Y*)=1 知|ρXY|=1等价于[E(X*Y*)]2-E(X*)E(Y*)=0 它又等价于h(t)=E[(tX*-Y*)2]=0有重根t0. 又因为E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0 所以D(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于 P{t0X*-Y* =0}=1,即P{Y=aX+b}=1 其中a=t0σ(Y)/σ(X),b=E(Y)- t0 E(X) σ(Y)/σ(X). 后有补证： 2019/4/19

86 2019/4/19

87 2019/4/19

88 2019/4/19

89 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以
性质3:若X与Y相互独立,则ρXY=0. 证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y), 又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以 2019/4/19

90 §4.2.2 相关系数的含义 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差 e=E{[Y-(a+bX)]2}
§ 相关系数的含义 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差 e=E{[Y-(a+bX)]2} =E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y) 来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e的值越小表示a+bX与Y的近似程度越好.为此令 解得 从而得 2019/4/19

91 定义:(1) 当ρXY=1 时,称X与Y正线性相关; (2)当ρXY=-1 时,称X与Y负线性相关; (3)当ρXY=0时,称X与Y不相关.
2019/4/19

92 相关情况示意图 Y Y ρ =-1 ρ =1 X X o o Y Y -1<ρ<0 0<ρ<1 X X o o
2019/4/19

93 §4.3 协方差的关系式 定理: 证 由协方差的定义及数学期望的性质，得 2019/4/19

94 定理: 证 由方差公式及协方差的定义，得 后有补证： 2019/4/19

95 2019/4/19

96 Y X -1 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 解 X与Y的分布律分别为 X -1 1 P 0.15 0.5 0.35 Y 1 P 0.4 0.6 2019/4/19

97 于是 2019/4/19

98 解 2019/4/19

99 则 于是 2019/4/19

100 解 2019/4/19

101 所以 因此 2019/4/19

102 §5 独立性与不相关性、矩 §5.1 独立性与不相关性 定理: 随机变量X与Y不相关与下列结论之一等价. 1. 2. 3.
§5 独立性与不相关性、矩 §5.1 独立性与不相关性 定理: 随机变量X与Y不相关与下列结论之一等价. 1. 2. 3. 2019/4/19

103 解 2019/4/19

104 同理可得 E(Y)=0 于是 即X与Y相关，从而X与Y不独立. 2019/4/19

105 Y X -1 1 1/6 1/3 解 X与Y的分布律分别为 X -1 1 P 1/3 Y -1 1 P 2/3 1/3 2019/4/19

106 则有 于是 即 亦即X与Y相关. 而 故X与Y不相互独立. 2019/4/19

107 §5.2 随机变量的矩 定义:设X和Y是随机变量, (1)若E(Xk)(k=1,2,…)存在,则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩. E(X-0)k (2)若E{[X-E(X)] k} (k=1,2,…)存在,则称它为X的k阶中心矩. 更一般地,若a是一常数,p是一正数,如果E[(X-a)p]存在,则称它是关于a点的p阶矩. (3)若E(XkYl) (k,l=1,2,…)存在,则称它为X和Y的k+l阶混合矩. (4)若E{[X-E(X)] k[Y-E(Y)] l} (k,l=1,2,…)存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩. 2019/4/19

108 随机变量X与Y的二阶中心矩共有四个，分别记为：
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109 例:设X,Y的联合分布列如表所示试求X和Y的协方差矩阵.
解 因为E(X)=0×(1-p)+0×0+1×0+1×p=p, 同样E(Y)=p. 所以,c11=D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p),同样c22=p(1-p) c12= c21= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =(0-p)(0-p)(1-p)+(0-p)(1-p)0+(1-p)(0-p)0+(1-p)(1-p)p =p(1-p) 故协方差矩阵为 2019/4/19

110 例:设(X,Y)在矩形区域G={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上服从均匀分布,试求X和Y的协方差矩阵.
解 同样得 所以X和Y的协方差矩阵为 2019/4/19

111 本章完！ 2019/4/19