第一章 复数与复变函数 By 付小宁.

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1 第一章 复数与复变函数 By 付小宁

2 §1 复数及代数运算 1. 复数的概念

3 回忆… 复数的一般形式？ Z=a+bi(a, b∈R) 一个复数由什么唯一确定？ 实部! 虚部! a =Re( z ) b =Im( z )

4 复数 z =a + bi (a,b∈R) 实数 (b=0) 虚数 (b‡0) 纯虚数 (a=0) 非纯虚数 (a‡0) 虚数集 纯虚数集 复数集 实数集

5 复数不能比较大小的一种解释 例如：i与0能不能比较大小？ （1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。
A 复数的概念 复数不能比较大小的一种解释 例如：i与0能不能比较大小？ （1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。 （2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0·(-i) 即-1>0. 因此，i与0不能比较大小。 Note Z1 =a1 + i b1, Z2 =a2 + i b2 Z1 = Z if a1= a2 & b1= b2

6 例1. 辨析： 1．下列命题中的假命题是（ ） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
1．下列命题中的假命题是（ ） D (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

7 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件 A 3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 C

8 4． 设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( )
(A)若z21+z22＞0，则z21＞-z22 (B)|z1-z2|=√(z1+z2) 2-4z1z2 (C)z21+z22=0z1=z2=0 (D)z1-z1是纯虚数或零 D 例2 是否存在复数z，使其满足z·z+2iz=3+ai(a∈R)如果存在，求出z 的值；如果不存在，说明理由

9 2. 复数的代数运算 1) 两复数的和 2) 两复数的积 3)两复数的商

10 3. 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 共轭复数的性质

11 §2 复数的几何表示 1. 复平面 （1）几何表示法

12 （2）向量表示法 复数的模(或绝对值)

13 模的性质 三角不等式 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

14 复数的辐角

15 辐角的主值

16 （3）三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 利用欧拉公式 复数可以表示成 称为复数 z 的指数表示式. （4）指数表示法

17 例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？

18 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题)
例4(1) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想

19 例4(2) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。
不等式解集为空集 所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

20 例5  试用复数表示圆的方程: 其中，a,b,c,d是实常数。 解： 利用 另解：

21 例6、复数 图形 图形为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：

22 2. 复球面与无穷大 1. 南极、北极的定义

23 2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞ . 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 称 为扩充复平面，记为 。

24 无穷远点: 关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于： 它和有限复数的基本运算为： 这些运算无意义：
1、注意无穷远点与原点的区别与联系； 2、注意运算性质与运算规定。 这些运算无意义：

25 习题Ex1-19 题： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明： 由于 所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 得 即

26 同理可以得到 得证。

27 §3 复数的乘幂与方根 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 则有

28 几何意义 复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为

29 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
则有

30 2) 幂与根 (a) n次幂:

31 (b)棣莫佛公式

32 例6、求所有值： 解：由于 所以有 有四个根。 问题： 有几个根？

33 §4 区域 （1）邻域 （2）内点

34 (3) 开集 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集. (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.

35 (5) 边界点、边界 设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. (6) 区域D与它的边界一起构成闭区域. 闭区域 (7)有界区域和无界区域

36 边界 区域 邻域 边界点 以上基本概念的图示

37 (8) 简单曲线

38 若尔当定理: 若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。 外区域

39 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.
简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. (9) 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.

40 (10) 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.

41 区域的连通性: 设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;

42 §5 复变函数 1.复变函数的定义:

43 2.单(多)值函数的定义: 3.定义集合和函数值集合:

44 4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如,

45 5.2 映射的概念 1. 引入:

46 2.映射的定义:

47

48 3. 两个特殊的映射:

49 且是全同图形.

50

51 根据复数的乘法公式可知,

52 (如下页图)

53 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.

54 以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)

55 4. 反函数的定义:

56 根据反函数的定义, 当反函数为单值函数时, 今后不再区别函数与映射.

57 5.3 、典型例题 例7 还是线段. 解

58 例7 解

59 例7 解 仍是扇形域.

60 例8 解

61 所以象的参数方程为

62 §6 复变函数的极限和连续性 6.1 、函数的极限 1.函数极限的定义: 注意:

63 2. 极限计算的定理 定理一 证 (1) 必要性. 根据极限的定义

64 (2) 充分性.

65 [证毕] 说明

66 定理二 与实变函数的极限运算法则类似.

67 例1 证 (一)

68 根据定理一可知, 证 (二)

69

70 例2 证

71 根据定理一可知,

72 6.2 、函数的连续性 1. 连续的定义:

73 定理三 例如,

74 定理四

75 特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.

76 例3 证

77 例4 讨论函数 的连续性. 解 设 为复平面上任意一点，则 当 时， 在 无定义，故 在 处不连续. 当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时， 趋于 ，在 从实轴下方趋于 时， 趋于 ，所以 不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.

78 6.3 、小结与思考 通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连 续性的运算法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数
极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很 大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.

79 复变量影射的三种形式

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