夹角 曾伟波 江门江海中学.

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1 夹角 曾伟波 江门江海中学

2 一、异面直线所成的角。 1、定义： （00，900] 已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作
直线a`//a、b`//b，我们把a`与b`所成的锐角叫做异 面直线 a与b所成的角。 （00，900] （a和b所成的大小与点O的选择无关） b b` O a` a

3 （1） 、通过平移。 转化为相交直线所成的角。（构成三角形）
2、求两异面直线所成的角。 （1） 、通过平移。 转化为相交直线所成的角。（构成三角形） （2） 、向量法。 与 夹角 满足cos =

4 二、直线与平面所成的角。 1、定义。 直线和平面所成角的范围是[0，90]。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角。 直线和平面所成角的范围是[0，90]。

5 2、求直线与平面所成角 转化为直线与它在平面内的射影所成的角 3、最小角定理 cos =cos .cos

6 三、二面角 从空间一直线出发的两个半 2、二面角的平面角 二面角的范围是[0，180]。 平面所组成的图形叫做二面角
1、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半 α β ι 平面所组成的图形叫做二面角 2、二面角的平面角 β α ι 一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 γ A B P 面分别相交于射线PA、PB 垂足为P，则∠APB叫做二面 角 的平面角 二面角的范围是[0，180]。

7 3、作二面角的平面角的常用方法 ①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法 ι α ι
β ι ι p α β α β ι p B A B A B O A

8 二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小 一“作”二“证”三“计算”

9 小结: 一“作”二“证”三“计算” 1、角的范围 异面直线所成角的取值范围是00，900] 直线与平面所成角的取值范围是[00，900]
二面角的平面角的取值范围是[00，1800] 2、求空间角的基本思想是转化成平面角： 一般的步骤是： 一“作”二“证”三“计算”

10 1、正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1与AB1所成的角是 A）300；B） 450 ；C） 600 ；D） 900 。 2、正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1与对角面BB1D1D所成的角是 A）∠C1BD1；B）∠C1BO1；C）∠C1BB1；D）∠C1BD。 3、自二面角内一点向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的 大小关系是 （A）相等； （B）互补； （C）互余。 D 1 C O1 1 p α β ι A B O A 1 B 1 C D 答案：1、C 2、B 、B A B

11 例题： 1、长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB，B1C1的 中点，AB=BC=2，AA1=4。 （1）求 。
（1）求 。 （2）求异面直线A1E、CF所成的角。 解： 如图建立坐标系D-XYZ，设DC=2， 则A1（2，0，4），E（2，1，0）， C（0，2，0），F（1，2，4）。 所以 Z Y X F E C 1 D B A 所以 直线A1E、CF所成的角为

12 2、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
解：作A1B1的中点M，连C1M，AM。 C1M A1B1，C1M 平面AB1，所以AC1 X Y Z A B1 A1 B C C1 与AM所成的角是AC1与侧面AB1所成的角。 作CY CX，如图建立坐标系C-XYZ，设CA=a，则 M 所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为300。 方法二、 因为直角三角形AC1M中， AC1= ， ， 小结

13 2、正方体ABCD-A1B1C1D1中AE与CF所成的角的余弦值是————
1、一条直线与平面所成的角为π/3，则此直线与这平面内所有直线所成角中最大的角是———— 2、正方体ABCD-A1B1C1D1中AE与CF所成的角的余弦值是———— D 1 C 1 A E 1 B 1 答案： 1、 、2/5 C D F A B 小结

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