光学信息技术原理及应用 (二) 常用函数 卷积与相关.

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1 光学信息技术原理及应用 (二) 常用函数 卷积与相关

2 学习内容: 复习脉冲函数(δ函数) (定义,性质,物理含义) 光学中几种常见的函数 矩形函数,阶跃函数,三角函数等

3 δ函数的概念和定义

4 空间δ函数的图示 x y z δ(x,y) x δ(x) δ(x+a) δ(x-a) a -a

5 δ函数的基本性质和物理意义

6 其它常用函数和傅立叶变换 矩形函数 rect(x) 1 -1/2 1/2 x

7 Sinc 函数 主瓣宽度: 2a 描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布, 其平方表示衍射光强 x Sinc(x/a) -a a 2a -2a
-a a 2a -2a 3a -3a 主瓣宽度: 2a 描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布, 其平方表示衍射光强

8 梳状函数 Comb(x)=∑δ(x-n) (n=-∞-∞) x Comb(x)

9 常用函数及其傅里叶变换（1） （1）常数c （2 ）函数 （3）余弦函数 （4）正弦函数

10 常用函数及其傅里叶变换（2） （5）阶跃函数 用于表示开关 （6）符号函数 用于改变极性 （正负号）

11 常用函数及其傅里叶变换（3） （7）矩形函数 表示狭缝 （8）三角形函数 表示矩形光 瞳OTF

12 常用函数及其傅里叶变换（4） （9）梳状函数 用来表示光栅，抽样 （10）高斯函数 用于表示激光光束光强分布

13 卷积的定义 对于两个复值函数 和 ， 其卷积定义为 式中*表示卷积运算。

14 卷积过程图示（1） 原函数 折叠 位移 相乘—得到被积函数

15 卷积过程图示（2）

16 卷积过程的两个效应 展宽 平滑化：被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。

17 卷积运算定理 1、交换律 2、分配律 3、结合律 这几个定律不难证明。

18 包含δ函数的卷积----函数的移位 任意函数和脉冲函数的卷积： 原点处的篩选性质有 任意函数和位于 处的脉冲函数的卷积得到
任意函数和位于 处的脉冲函数的卷积得到 这个性质有助于对于重复的物理结构的描述，如光栅、双缝等

19 卷积的物理意义----透镜的非相干成象 理想的物象关系是点点对应，物象共轭。 实际成象时产生一个弥散斑。由物点和附近的无数个点共同产生
如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关，与具体象（高斯物点所成的）的位置无关 像点的总光能表示为

20 相关运算 两个函数的互相关定义为： 与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折叠，不满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。 函数本身的自相关定义为 自相关有一个重要性质：它的模在原点处最大，即 这个性质常常用来作为图象（信号）识别的判据

21 互相关与自相关比较 互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出现极大值