第2章 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型就是描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。 数学模型的表示有多种

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1 第2章 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型就是描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。 数学模型的表示有多种
第2章 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型就是描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。 数学模型的表示有多种 时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程； 复域中有传递函数、结构图和信号流图； 频域中有频率特性等。 建立控制系统数学模型的主要方法：分析法和实验法。

2 第2章 控制系统的数学模型 2.1 线性系统的微分方程 2.2 非线性系统的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图及其变换 2.5 信号流图及其应用 2.6 控制系统的典型传递函数

3 2.1 线性系统的微分方程 分析法建立系统微分方程的一般步骤：
2.1 线性系统的微分方程 分析法建立系统微分方程的一般步骤： (1) 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系，确定系统的输入量、输出量和中间变量。 (2) 根据系统（或元件）的基本定律（物理、化学定律），从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程（微分方程）。 (3) 联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程。 (4) 标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左边，与输入量有关的各项放在方程的右边，等式两边的导数项按降幂排列。

4 消去中间变量i，得到系统输入输出关系的微分方程为
例2-1 设有由电阻R，电感L和电容C组成的电路，如图2-1所示。试列写以ui为输入量，uo为输出量的微分方程。 图2-1 RLC电路 解 设回路电流为i，根据基尔霍夫定律 (2-1) (2-2) 消去中间变量i，得到系统输入输出关系的微分方程为 (2-3)

5 例2-2 设有由弹簧－质量－阻尼器构成的机械平移系统，如图2-2所示。试列写出质量m在外力F作用下，位移x的微分方程
解 根据牛顿定律 m 图2-2 机械平移系统 (2-4) 可写出下列方程 (2-5) 将方程(2-5)写成标准形式，得到系统的微分方程为 (2-6)

6 例2-3设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转动系统，如图2-3所示。试列写以力矩Mi为输入变量，角速度ω为输出变量的系统微分方程。
解 根据牛顿定律 J Mi ω f 图2-3 机械转动系统 (2-7) 可写出下列方程 (2-8) 将方程(2-8)写成标准形式，求得系统的微分方程为 (2-9) 若以负载转角θ为系统的输出量，即有 则系统的微分方程为 (2-10)

7 消去中间变量，可得 ua与θ、ω之间的微分方程
解 根据基尔霍夫定律，得 图2-4 电枢控制的直流电动机 θ或ω i a R L f u E + - (2-11) (2-12) 根据刚体转动定律，得 (2-13) (2-14) 消去中间变量，可得 ua与θ、ω之间的微分方程 (2-15) (2-16)

8 若考虑到电机中的电感La和阻尼系数f一般都较小，可以忽略不计，则式(2-15)和式(2-16)可分别简化为
(2-17) (2-18) 若电动机的负载转矩ML=0，即只考虑阻尼摩擦力矩为负载，并令Tm=JRa/CmKb，Km=1/Kb，则式(2-17)和式(2-18)可表示为 (2-19) (2-20) 由例2-3和例2-4可知， 系统的微分方程式与所选择的输入量和输出量有直接的关系。

9 2.2 非线性系统的线性化 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性。
2.2 非线性系统的线性化 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性。 线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。 在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下简化为线性问题，即将非线性模型线性化。

10 当(x-x0)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成
非线性函数的线性化是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略二次以上高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程。 x y x0 y0 图2-5 非线性特性 假如元件的输出与输入之间的关系y =f(x)的曲线如图2-5所示，元件的工作点为(x0,y0)。将非线性函数y=f(x) 在工作点(x0,y0)附近展开成泰勒级数，得 (2-21) 当(x-x0)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 (2-22) 式中， 为工作点(x0,y0)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，可见经上述处理后，输出与输入之间就变成了线性关系。

11 2.3 传递函数 但是，当系统参数或结构改变，则需要重写微分方程。微分方程阶数越高，工作越复杂。
2.3 传递函数 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型。在给定外作用和初始条件下，求解控制系统的微分方程可得到系统输出响应的表达式，并可作出输出量的时间响应曲线，从而直观地反映出系统运动的动态过程。 但是，当系统参数或结构改变，则需要重写微分方程。微分方程阶数越高，工作越复杂。 传递函数是经典控制理论中广泛采用的一种数学模型。利用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能，以及系统参数或结构变化对动态性能的影响。

12 2.3.1 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数:线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
图2-8 传递函数方框图 设线性定常系统的微分方程为 (2-30) 设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式(2-35)取拉氏变换得 (2-31) 则系统的传递函数为 (2-32)

13 2.3.2 传递函数的基本性质 (1) 传递函数是微分方程经拉氏变换导出的，而拉氏变一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。 (2) 传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与系统输入量的大小和形式无关。 (3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统是处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。 (4) 传递函数是复变量s的有理分式。分母多项式的最高阶次n高于或等于分子多项式的最高阶次m，即n≥m。这是因为实际系统或元件总是具有惯性且能源有限。 (5) 一个传递函数只能表示单输入单输出的关系。对多输入多输出系统，要用传递函数阵表示。

14 (6) 传递函数(2-37)可表示成 (2-38) 式中，p1, p2, …, pn 为分母多项式的根，称为传递函数的极点；
(6) 传递函数(2-37)可表示成 (2-38) 式中，p1, p2, …, pn 为分母多项式的根，称为传递函数的极点； z1, z2, …, zn 为分子多项式的根，称为传递函数的零点； Kg称为根轨迹放大系数； 式（2-38）称为传递函数的零极点形式。系统的零、极点完全取决于系统的结构和参数。将零、极点标在复平面上，得到传递函数的零极点分布图，其中零点用“o”表示，极点用“×”表示。

15 式中，τi(i=1,…,m)和Ti(i=1,…,n)为时间常数； Kk称为系统的开环放大系数。 式（2-39）称为传递函数的时间常数形式。
例如 ,其零极点分布图如图2-9所示。 传递函数(2-37)还可以表示成： 图2-9 零极点分布 × j -1 -2 -3 1 (2-39) 式中，τi(i=1,…,m)和Ti(i=1,…,n)为时间常数； Kk称为系统的开环放大系数。 式（2-39）称为传递函数的时间常数形式。

16 比例环节： 输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节。 比例环节的动态方程为 传递函数为 (2-40) 式中，K—放大系数或增益。
R(s) C(s) 图2-10 比例环节 K 比例环节的动态方程为 (2-40) 式中，K—放大系数或增益。 传递函数为 (2-41)

17 2.3.3 典型环节的传递函数 例2-6 如图2-11所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。
解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为 图2-11 运算放大器 传递函数为 式中，K= -R2/ R1

18 2. 积分环节 积分环节的动态方程为 式中，Ti —积分时间常数。 传递函数为 (2-42) (2-43) R(s) C(s)
图2-12 积分环节 式中，Ti —积分时间常数。 传递函数为 (2-43)

19 传递函数为 例2-7 如图2-13所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。
解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为 图2-13 运算放大器 传递函数为

20 3.微分环节 微分环节的动态方程为 传递函数为 式中，Td — 微分时间常数。 (2-44) (2-45) R(s) C(s)
图2-14 微分环节 (2-44) 式中，Td — 微分时间常数。 传递函数为 (2-45)

21 传递函数为 例2-8 如图2-15所示为一电感线圈。设输入为i(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。
解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 图2-15 电感线圈 传递函数为

22 4.惯性环节 惯性环节的动态方程为 传递函数为 式中，T—惯性环节的时间常数； K—惯性环节的增益或放大系数。 (2-46) (2-47)
R(s) C(s) 图2-16 惯性环节 (2-46) 式中，T—惯性环节的时间常数； K—惯性环节的增益或放大系数。 传递函数为 (2-47)

23 例2-9 如图2-17所示RC网络。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为
对上式进行零初始条件下的拉式变换

24 消去中间变量I(s)，得到 传递函数为

25 5.一阶微分环节 一阶微分环节的动态方程为 式中，τ—时间常数 传递函数为 (2-48) (2-49) C(s) R(s)
图2-18 一阶微分环节 式中，τ—时间常数 传递函数为 (2-49)

26 6.二阶振荡环节 二阶振荡环节的动态方程为 传递函数为 (2-50) (2-51) (2-52)
R(s) C(s) 图2-19 二阶振荡环节 二阶振荡环节的动态方程为 传递函数为 (2-51) (2-52) 式中，ωn=1/T—无阻尼自然振荡频率；ξ—阻尼比。

27 对上式进行零初始条件下的拉式变换 例2-10 如图2-20所示RLC电路。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传递函数。
解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 图2-20 RLC电路 u i o R L C 对上式进行零初始条件下的拉式变换

28 消去中间变量I(s) ，得到 传递函数为 式中， ，

29 7.二阶微分环节 R(s) C(s) 图2-21 二阶微分环节 二阶微分环节的动态方程为 (2-53) 传递函数为 (2-54)

30 8.时滞环节 时滞环节是在输入信号作用后，输出信号要延迟一段时间才重现输入信号的环节。其动态方程为 传递函数为
(2-55) R(s) C(s) 图2-22 时滞环节 传递函数为 (2-56) 在实际生产中，有很多场合是存在延迟的，如测量系统，皮带或管道输送过程，管道反应和管道混合过程等。

31 2.4 方框图及其变换 2.4.1 方框图 方框图又称方块图或结构图，具有形象和直观的特点。方框图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含以下四种基本单元： (1) 信号线。带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向，线上标记所对应的变量，如图2-23(a)所示。 (2) 比较点（或综合点）。表示对两个或两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，可省略不写；“-”表示相减，如图2-23(b)所示。 (3) 方框。方框中为元件或系统的传递函数。方框的输出信号等于输入信号乘以方框中的传递函数，如图2-23(c)所示。 (4) 引出点（或分支点）。表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号，大小和性质完全相同，如图2-23(d)所示。 (a) 信号线 (b) 比较点 (c) 方框 (d) 引出点 X(s) Y(s)= Y(s) B(s)  B(s) Y(s) G(s) 图2-23 方框图的基本单元

32 (2) 求取各环节的传递函数，绘制各环节的方框图；
绘制控制系统方框图的一般步骤： (1) 写出组成系统各环节的微分方程； (2) 求取各环节的传递函数，绘制各环节的方框图； (3) 从输入端开始，按信号流向依次将各环节方框图用信号 线连接成整体，即得控制系统方框图。 例2-11 试绘制如图2-24所示的RC网络的方框图。设输入为u1(t)，输出为u2(t)。 解 将图2-24所示RC网络视为一个系统，组成网络的元件就对应于系统的元件，选取变量如图2-24所示。根据基尔霍夫定律 图2-24 RC网络 在零初始条件下对 方程取拉式变换

33 从输入量开始，将同一变量的信号线连接起来，得到系统的方框图，如图2-26所示。
将每式用方框图表示，如图2-25所示。 U1(s) I1(s) - U0(s) I2(s) U2(s) I3(s) 图2-25 各环节方框图 从输入量开始，将同一变量的信号线连接起来，得到系统的方框图，如图2-26所示。 U1(s) -- - I1(s) I3(s) I2(s) U0(s) U2(s) 图2-26 RC网络方框图

34 2.4.2 方框图的等效变换 1.串联 传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若G1(s)的输出量为G2(s)的输入量，则G1(s)和G2(s)的方框连接称为串联，如图2-27(a)所示。 图2-27 方框串联的等效变换 R(s) U(s) G1(s) C(s) G2(s) G1(s) G2(s) (a) (b) 由图2-27(a)可知 消去中间变量，得 (2-57) 式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明两个方框串联的等效传递函数等于各环节传递函数的乘积，如图2-27(b)所示。这个结论可推广到n个方框串联的情况。

35 2.并联 传递函数分别为G1(s)和G2(s)的两个方框，若它们有相同的输入量，而输出量等于两个方框输出的代数和，则G1(s)和G2(s)的方框连接称为并联。如图2-28(a)所示。 图2-28 方框并联的等效变换 R(s)  G1(s) C(s) G2(s) G1(s) G2(s) (a) (b) C1(s) C2(s) 由图2-28(a)可知 消去中间变量C1(s)和C2(s) ，得 (2-58) 式中G(s)=G1(s)G2(s)，表明两个方框并联的等效传递函数等于各环节传递函数的代数和，如图2-28(b)所示。这个结论可推广到n个方框并联的情况。

36 3.反馈连接 传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方框，如图2-29(a)形式连接，则称为反馈连接。“+”表示正反馈，可省略，“-”表示负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。若反馈环节H(s)=1，则称为单位反馈。 E(s) H(s) C(s) G(s) R(s) 图2-29反馈连接的等效变换 (a) (b)  B(s) 由图2-29(a)可知 消去中间变量E(s)和B(s) ，得 (2-59) 式中 ，称为系统的闭环传递函数，如图2-29(b)所示。

37 4.比较点和引出点的移动 在系统方框图简化过程中，除了进行方框的串联、并联和反馈连接的等效变换外，还需要移动比较点和引出点的位置。这时应注意在移动前后保持信号的等效性。

38     比较点的移动 G(s) A B C ± 比较点后移 G(s) A B C ± 比较点前移 G(s) A B C ± G(s)

39 引出点的移动 引出点前移 G(s) A C 引出点后移 G(s) A C G(s) A C G(s) A C

40 表2-1 方框图等效变换法则 R(s) G1(s)G2(s) C(s) G1(s) G2(s)  G1(s) G2(s) H(s)

41 一般系统方框图简化方法： 注意：引出点和比较点之间不能相互移动。
1)明确系统的输入和输出。对于多输入多输出系统，针对每个输入及其引起的输出分别进行化简； 2)若系统传递函数方框图内无交叉回路，则根据环节串联，并联和反馈连接的等效从里到外进行简化； 3)若系统传递函数方框图内有交叉回路，则根据比较点、引出点等移动规则消除交叉回路，然后按每2）步进行化简； 注意：引出点和比较点之间不能相互移动。

42 例2-12 试简化图2-30所示系统结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。
图2-30 例2-12系统结构图 G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s) H2(s) H3(s) 解 这是一个多回路系统结构图，且有引出点、比较点的交叉，为了从内回路到外回路的逐步简化，首先要消除交叉连接。 第一步，将引出点后移，如图2-31(a)所示。 R(s) - C(s) 图2-31(a) 等效变换图 G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s) H2(s) H3(s) 1

43 第二步，对图2-31(a)中由G3(s)、G4(s)和H3(s)构成的回路1进行等效变换，简化为图2-31(b)。
R(s) - C(s) 图2-31(b) 等效变换图 G1(s) G2(s) H1(s) 第三步，对图2-31(b)中的回路2进行等效变换，简化为图2-31(c) 3 R(s) - C(s) 图2-31(c) 等效变换图 G1(s) H1(s)

44 最后，对图2-31(c)中的回路3进行等效变换，简化为图2-31(d)。
R(s) C(s) 图2-31(d) 等效变换图 系统的传递函数

45 例2-13 试简化图2-32所示系统结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。
图2-32 例2-13系统结构图 G1(s) G2(s) H1(s) 解 在图2-32中，由于G1(s)和G2(s)之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，也不可简单地互换其位置。在此首先要消除交叉连接。 第一步，将引出点后移，简化为图2-33(a)。 R(s) - C(s) 图2-33(a) 等效变换图 G1(s) G2(s) H1(s)

46 第二步，对图2-33(a)中由G2(s)构成的内回路进行等效变换，简化为图2-33(b)。
R(s) - C(s) 图2-33(b) 等效变换图 G1(s)

47 最后，对图2-33(b)中的回路进行等效变换，简化为图2-33(c)。
R(s) C(s) 图2-33(c) 等效变换图 系统的传递函数

48 例：系统传递函数方框图简化 解：1、消除第二个比较点和第二个引出点:

49 2、消去H1(s) 反馈回路和 H3(s) 反馈回路。 3、消去整个反馈回路。

50 2.5 信号流图及其应用 信号流图是表示控制系统各变量间相互关系的另一种图示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程或进行预先的等效变换就可得到各变量间的关系。因此，当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并根据Mason公式求解系统的传递函数。

51 2.5.1 信号流图的定义与术语 节点 表示变量或信号的点，用符号“o”表示。
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 -H1 -H2 -H3 -H4 图2-34 信号流图 节点 表示变量或信号的点，用符号“o”表示。 传输 两节点间的增益或传递函数。如图2-34中的G1，G2，G3，G4，G5，G6，G7。 支路 连接两个节点并标有信号流向的定向线段。支路的增益即是传输。如图2-34中支路x2→x3的传输为G2，支路x3→x2的传输为-H1。

52 源点 只有输出支路而无输入支路的节点，也称为输入节点。它与控制系统的输入信号相对应。如图2-34中节点x1。
G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 -H1 -H2 -H3 -H4 图2-34 信号流图 源点 只有输出支路而无输入支路的节点，也称为输入节点。它与控制系统的输入信号相对应。如图2-34中节点x1。 阱点 只有输入支路而无输出支路的节点，也称为输出节点。它与控制系统的输出信号相对应。如图2-34中节点x7。

53 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 -H1 -H2 -H3 -H4 图2-34 信号流图 混合节点 既有输入支路也有输出支路的节点。如图2-34中节点x2，x3，x4，x5，x6。通路 沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的路径。如果通路与任一节点相交的次数不多于一次，则称为开通路；如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其它节点相交的次数不多于一次，则称为闭通路或回路。如图2-34中有五个回路，分别为x2→x3→x2，x4→x5→x4，x5→x5，x2→x3→x4→x5→x6→x2，x2→x3→x5→x6→x2。

54 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 -H1 -H2 -H3 -H4 图2-34 信号流图 回路增益 回路中各支路传输的乘积。如图2-34中的五个回路增益分别为-G2H1，-G4H2，-H3，- G2G3G4G5H4，- G2G7G5H4。 不接触回路 如果回路间没有任何共有节点，则称它们为不接触回路。如图2-34中有两对不接触回路，x2→x3→x2与x4→x5→x4，x2→x3→x2与x5→x5。

55 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 -H1 -H2 -H3 -H4 图2-34 信号流图 前向通路 如果在从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。如图2-34中有两条前向通路，分别为x1→x2→x3→x4→x5→x6→x7，x1→x2→x3→x5→x6→x7。前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益。

56 2.5.2 信号流图的基本性质 2.5.3 信号流图的绘制 (1) 信号只能沿着支路上箭头表示的方向传递。
(1) 信号只能沿着支路上箭头表示的方向传递。 (2) 节点将所有输入支路的信号叠加，并把叠加结果送给所有相连的输出支路。 (3)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的线路，可将其变为输出节点。 (4)对于给定的系统，其信号流图不唯一。 2.5.3 信号流图的绘制 信号流图可以根据系统的运动方程绘制，也可以由系统方框图按照对应关系得出。

57 例2-14 试绘制例2-11的信号流图。 解 由例2-11的分析得到下列方程组
式中，六个节点分别为I1(s)，I2(s)，I3(s)，U0(s)，U1(s)，U2(s)。其中U1(s)为源点，U2(s)为阱点。按照数学方程式表示的关系，将各变量用相应增益的支路连接，即可得系统的信号流图如图2-35所示。 U0 图2-35 例2-14的信号流图 U1 I1 I3 I2 U2 -1 1/R1 1/R2 1/C1s 1/C2s 1

58 表2-2 控制系统方框图与信号流图对照表 G(s) R(s) C(s) E(s) G1(s) - G2(s) H(s) N(s) C1(s)

59 2.5.4 信号流图的Mason公式 应用Mason公式，不需要简化处理而通过对信号流图的分析和观察，便可直接得到系统的传递函数。在信号流图中计算输入节点与输出节点间传递函数的Mason公式为 式中，n—前向通路的条数；P—总增益；Pk—第k条前向通路的增益；Δ—信号流图的特征式，即

60 —所有回路增益之和； —每两个不接触回路增益乘积之和； —每三个不接触回路增益乘积之和； Δk—在Δ中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征式的余因子。

61 例2-15 试应用Mason公式，求图2-36所示系统的传递函数C(s)/R(s)。
图2-36 例2-15的信号流图 R(s) 1 -H1 G3 G2 G4 G1 C(s) -H2 -H3 解 由图2-36可知，该系统有一条前向通路，其通路增益为 有三个回路，各回路的增益分别为 ， ， 没有不接触回路，则系统的特征式 所有回路与前向通路均有接触，则 根据Mason公式，系统的传递函数

62 解 由图2-37可知，该系统有四条前向通路，它们的通路增益分别为
例2-16 试应用Mason公式，求图2-37所示系统的传递函数C(s)/R(s)。 图2-37 例2-16的信号流图 R(s) 1 -H3 G1 G4 G3 G5 G2 C(s) G7 G6 -H2 -H1 ， 解 由图2-37可知，该系统有四条前向通路，它们的通路增益分别为 ， ， 有六个回路，各回路的增益分别为 ， ， ， ， ，

63 其中，有一对不接触回路L1和L2，其增益之积
图2-37 例2-16的信号流图 R(s) 1 -H3 G1 G4 G3 G5 G2 C(s) G7 G6 -H2 -H1 其中，有一对不接触回路L1和L2，其增益之积 系统的特征式

64 所有回路与前向通路均有接触，则 根据Mason公式，系统的传递函数 图2-37 例2-16的信号流图 R(s) 1 -H3 G1 G4 G3
C(s) G7 G6 -H2 -H1 所有回路与前向通路均有接触，则 根据Mason公式，系统的传递函数

65 例 求C(s)/R(s)

66 2.6 控制系统的传递函数 自动控制系统在工作过程中，经常会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或称为干扰，常用n(t)表示。输入r(t)通常是加在系统的输入端，而干扰n(t)一般是作用在受控对象上，但也可能出现在其它元部件上，甚至夹杂在输入信号之中。一个闭环控制系统的典型结构可用图2-40表示。 E(s) C(s) G1(s) 图2-40 闭环控制系统典型结构图 R(s) - B(s) G2(s) H(s) N(s)

67 一、系统开环传递函数 在图2-40中，将H(s)的输出通路断开，即断开系统的主反馈通路，则将前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s) G2(s) H(s)称为该系统的开环传递函数。它等于B(s)与E(s)的比值，即 (2-61) 开环传递函数=

68 二、R(s)作用下系统的闭环传递函数 令N(s)=0，则图2-40简化为图2-41，则输入R(s)作用下系统的闭环传递函数
(2-62) 当系统中只有R(s) 作用时，系统输出C(s)完全取决于Φcr(s)及R(s)的形式。 C(s) G1(s) 图2-41 R(s)作用下系统的结构图 R(s) - B(s) G2(s) H(s) C(s) G1(s) 图2-42 N(s)作用下系统的结构图 N(s) - B(s) G2(s) H(s)

69 三、N(s)作用下系统的闭环传递函数 为研究干扰对系统的影响，需要求出C(s)对N(s)之间的传递函数。
令R(s)=0，则图2-40简化为图2-42。则干扰N(s)作用下系统的闭环传递函数 (2-63) 由于干扰N(s)在系统中的作用位置与输入信号R(s)的作用点不一定是同一个地方，故两个闭环传递函数一般是不相同的。这也表明引入干扰作用下系统闭环传递函数的必要性。

70 四、系统的总输出 当给定输入和干扰同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出等于各外作用引起的输出的总和。 (2-64)

71 五、闭环系统的误差传递函数 在分析一个实际系统时，不仅要掌握输出量的变化规律，还经常要关心控制过程中误差的变化规律。误差的大小，直接反映了系统工作的精度，因此得到误差与系统的给定信号R(s)及干扰N(s)之间的数学模型，是非常必要的。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即 (2-65)

72 令N(s)=0，则图2-40简化为图2-43，则输入R(s)作用下系统的误差环传递函数
(2-66) E(s) G1(s) 图2-43 R(s)作用下误差输出的结构图 R(s) - G2(s) H(s) E(s) G2(s) 图2-44 N(s)作用下误差输出的结构图 N(s) + -H(s) G1(s)

73 令R(s)=0，则图2-40简化为图2-43，则输入N(s)作用下系统的误差环传递函数
(2-67) (3) 系统的总误差 根据线性叠加原理，系统的总误差 (2-68)

74 对比传递函数 (2-62)、(2-63)、(2-64)、(2-66)、(2-67)及(2-68) ，虽然它们各不相同，但分母却完全相同，这是因为它们的特征式Δ=[1+G1(s)G2(s)H(s)] 相同，这是闭环控制系统的本质特征，即同一系统的特征式具有唯一性。