义务教育课程标准实验教科书 九年级 上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 人民教育出版社.

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1 义务教育课程标准实验教科书 九年级 上册 弧、弦、圆心角 人民教育出版社

2 一、思考 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心.

3 二、概念 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. B A O

4 1.有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 , 圆心角 所对 的弧为 AB， 所对的弦为AB； 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M,
如 , B O 圆心角 所对 的弧为 AB， M 所对的弦为AB； A 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。

5 · · 探究 三、 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ A′ B B′ B′ O O A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合． 因此， 重合，AB与A′B′重合．

6 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等. ⌒ ⌒ A B A B A′ B′ A′
●O ●O ●O′ A′ B′ A′ B′ ②AB=A′B′ ⌒　⌒ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′ 可推出 ③AB=A′B′

7 · 练习 AB=CD AB=CD 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（2）如果 ，那么____________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ AB=CD AB=CD C A B D E F O

8 四、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。 这样，我们就得到下面的定理：
同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________，所对的弦的弦心距________ 。 ； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________，所对的弦的弦心距________ ． 同圆或等圆中， 两个圆心角、 两条弧、两条 弦中有一组量 相等，它们所 对应的其余各 组量也相等． 相等 相等 相等 相等 相等 相等

9 · 五、例题 例1 如图在⊙O中， ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵ ∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. B C ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

10 练习 如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解： A O B C D E

11 七、思考 如图，已知AB、CD为 的两条弦， ，求证AB＝CD.

12 如图，点O是∠EPF平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D 求证：AB=CD
证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M、N为垂足，∠MPO=∠NPO OM⊥AB ON⊥CD OM＝ON AB＝CD B M A P O C N D

13 如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD. 求证：∠AMN＝∠CNM
• M N O B D

14 想一想？ 已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？ A C •O

15 圆心角 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD).
如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. A B ┓ D A B A′ B′ ┓ D′ A B A′ B′ A B A B A B A B A B ●O ●O ●O ┓ D ┓ D′ ┓ D ┓ D ┓ D ┓ D ┓ D 你能发现那些等量关系?说一说你的理由.

16 圆心角 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. A′ B′ A B A B A B A B A B A B ●O′ A B ●O A′ B′ A B ●O ●O′ ┓ D′ ┓ D′ ┓ D′ ┓ D′ 你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.

17 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. ⌒ ⌒ A B A B
┓ D A B ┓ D ●O ●O ●O′ 在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件: A′ B′ D′ ┏ A′ B′ D′ ┏ ②AB=A′B′ ⌒　⌒ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′ 可推出 ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

18 推论 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. ⌒ ⌒ A
B ┓ D A B ┓ D ●O ●O ●O′ A′ B′ D′ ┏ A′ B′ D′ ┏ ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ⌒　⌒ 可推出 如由条件: ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′