学习任务三 初等函数 1. 常见的五种函数 (1) 幂函数 y = x(是常数)

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1 学习任务三 初等函数 1. 常见的五种函数 (1) 幂函数 y = x(是常数)
学习任务三 初等函数 1. 常见的五种函数 (1) 幂函数 y = x(是常数) (2) 指数函数 y = ax(a > 0, a  1) (3) 对数函数 y = logax(a > 0, a  1) (4) 三角函数 y = sinx, cosx, tanx, cotx. (5) 反三角函数 y = arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx.

2 2. 复合函数 复合函数的定义 设y是u的函数: y = f(u)和u是x的函数: u = (x), 则y = f((x))称为y = f(u)和u = (x)的复合函数, 其中u称为中间变量. 根据复合函数的定义知道, 将两个函数进行复合是一件很容易的事：只需要将y = f(u)中的中间变量u用(x)代换即可. 看下面的例子.

3 例(函数的复合) 求 和u = 3 – x2的复合函数. Solution 因为 和u = 3 – x2 ，所以 注意1 两个函数y = f(u)和u = (x)进行复合之前, 在y = f(u)中u是自变量, y是因变量；在u = (x)中x是自变量, u是因变量. 注意2 函数的复合可以多次进行.

4 例(函数的复合过程) 写出下列函数的复合过程.
(1) y = sin3x . (2) y = sin3(8x + 5) . Solution (1) 是由y = u3和u = sinx复合得到的. (2) 是由y = u3，u = sinv和v = 8x + 5复合得到的.

5 由常数和常见的五种函数经过有限次加、减、乘、除以及复合得到的函数称为初等函数.
我们经常遇到的函数是初等函数，但分段函数不是初等函数.

6 学习任务四 极限 极限是第一部分的重点,每次必考.
学习任务四 极限 极限是第一部分的重点,每次必考. 极限是在一个无限变化过程得出的变化趋势, 因此在理解极限定义时有一定困难. 由于大家在中学学过一点极限, 这对于我们学习极限内容有很大帮助. 先看较简单的数列极限.

7 由无限多个数x1, x2,…, xn,…按一定顺序排列起来就是数列, 记为{xn}. 如
(1) ,记为 (2) ,记为

8 很显然，数列 无限接近0，因此

9 数列 无限接近1，因此

10 2. 函数的极限 给定函数y = f(x),考虑当自变量x在某变化过程变化时,所求出的因变量y的变化趋势. 只讨论以下两种情况：x   和x  x0. (1) x   “x  ”就是自变量x的绝对值无限增大,在这种情况下,考虑所求出的函数值y = f(x)是否无限接近某常数A. 若是的话, 则称A为函数y = f(x)在x   时的极限，记为

11

12 (2) x  x0 设函数y = f(x)在x0附近(但在x0点本身可能没有)均有定义，当x无限接近x0时，所求出的函数值y = f(x)无限接近某常数A，则称A为函数y = f(x)在x  x0 时的极限，记为

13 对于函数y = x2，当x  2 时，所计算出来的函数值y = x2会无限接近于4，因此

14 y = f(x)在x0点的极限与该函数y = f(x)在x0点有无定义本身是没有关系的.

15 3. 极限的运算法则 极限的运算法则就是计算极限的方法,这些方法在计算极限时会用到. 设 且 (1) (2) 特别地,

16 (3) (4) 若 , 则 注意1 法则(4)只有在分母的极限不等于0时, 才能分子、分母分别取极限. 注意2 对于x  也有类似结论. 另外，对于数列极限的计算也有相应的结论.

17 极限的四则运算法则，在计算极限时会经常用到，但要求记住下列几个极限.

18 例(利用四则运算法则求极限) 求下列极限. (1) (2) (3) Solution (1)

19 (2) (3) 4. 函数的连续性 利用函数的极限,可以方便地讨论函数的连续性.

20 了解函数y = f(x)在x0点连续的定义,能熟练利用“初等函数在其定义域内均连续”这个结论即可,因为这对于计算函数极限是非常有用的.
函数y = f(x)的图形在(x0, f(x0) )点没有断开,就说函数y = f(x)在x0点是连续的.

21 如果函数y = f(x)的图形在(x0, f(x0) )点断开了, 就说函数y = f(x)在x0点是不连续的(即间断).

22 函数y = f(x)在x0点连续意味着不仅f(x0)有定义, 而且极限 存在, 更关键的是
可以证明 定理 初等函数在其定义区间内每个点都是连续的. 记住上述结论对于计算极限是非常有帮助的. 看下面的几个例子.

23 例(直接利用连续函数求极限) 求下列极限. (1) (2) Solution (1)

24 例(通过想办法利用连续函数求极限) 求下列极限.
(1) (2) (3) Solution (1) (约分)

25 (2)(通分) (3) (有理化分子)

26 例 已知 , 求a的值. Solution 因为函数 在x = 1处连续, 于是 由 得a = 7.