2.2.1 用样本的频率分布 估计总体分布 1 、用样本去估计总体，是研究统计问题的一个基本思想 2 、前面我们学过的抽样方法有 : 简单随机抽样、系统抽 样、分层抽样。要注意这几种抽样方法的联系与区别。 3 、 初中时我们学习过样本的频率分布，包括频数、 频率的概念，频数分布表和频数分布直方图的制作。

频率分布 样本中所有数据（或数据组）的频数和 样本容量的比，叫做该数据的频率。 频率分布的表示形式有： ①样本频率分布表 ②样本频率分布图 样本频率分布条形图 样本频率分布直方图 ③样本频率分布折线图 所有数据（或数据组）的频数的分布 变化规律叫做样本的频率分布。

1 、抛掷硬币的大量重复试验的结果： 反面向上 正面向上 频率 频数实验结果 样本容量为 频率分布条形图 试验结果 频率 “ 正面向上 ” 记为 0 “ 反面向上 ” 记为 1 频率分布表： 注意： ① 各长方形长条的宽度要相同。 ②相邻长条的间距要适当。 结论：当试验次数 无限增大时，两种试验 结果的频率大致相等。 ③长方形长条的高度 表示取各值的频率。

归纳 1 ：当总体中的个体所取的不同数值较少 时，其随机变量是离散型。则样本的频率分布表 示形式有： 试验结果 频率 （ 2 ）频率分布条形图 试验结果频数频率 （ 1 ）样本频率分布表

例 1. 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为 30 的样本， 检测结果为一级品 5 件，二级品 8 件，三级品 13 件，次品 4 件． (1) 列出样本的频率分布表； (2) 画出表示样本频率分布的条形图； (3) 根据上述结果，估计此种产品为二级品或三级品的概率约 是多少． 解： （ 1 ）样本的频率分布表为： 次品 三级品 二级品 一级品 频率频数产品 解： （ 2 ）样本频率分布 的条形图为： 一级品 二级品 产品 频率 三级品次品 (3) 此种产品为二级品或三级品的概率约为 0.27 ＋ 0.43 ＝ 0.7 ．

知识探究（一）：频率分布表 【问题】 我国是世界上严重缺水的国 家之一，城市缺水问题较为突出，某市 政府为了节约生活用水，计划在本市试 行居民生活用水定额管理，即确定一个 居民月用水量标准 a ，用水量不超过 a 的 部分按平价收费，超出 a 的部分按议价 收费. 通过抽样调查，获得 100 位居民 2007 年的月均用水量如下表（单位： t ）：

显然：这个例子与前面抛掷硬币的问题是不同的，这 里的总体可以在一个实数区间取值，称为连续型总体。 样本的频率分布表示形式有： 频率分布表 和 频率分布直方图

1. 极差：样本数据中的最大值和最小 值的差称为极差 2. 确定组距，组数：. 如果将上述 100 个数据按组距为 0.5 进行分组， 那么这些数据共分为多少组？ 0.2 ～ 4.3 （ ） ÷0.5=8.2

3 将数据分组，决定分点：以组距为 0.5 进行分组，上述 100 个数据共分为 9 组， 各组数据的取值范围可以如何设定？ 4 画频率分布表：如何统计上述 100 个数 据在各组中的频数？如何计算样本数据 在各组中的频率？你能将这些数据用表 格反映出来吗？ [0 ， 0.5 ）， [0.5 ， 1 ）， [1 ， 1.5 ）， … ， [4 ， 4.5].

分 组 频数累计 频数 频率 [0 ， 0.5 ） [0.5 ， 1 ） 正 [1 ， 1.5 ） 正 正 正 [1.5 ， 2 ） 正 正 正 正 [2 ， 2.5 ） 正 正 正 正 正 [2.5 ， 3 ） 正 正 [3 ， 3.5 ） 正 一 [3.5 ， 4 ） [4 ， 4.5] 合计

知识探究（二）：频率分布直方图 5 画频率分布直方图 为了直观反映样本 数据在各组中的分布情况，我们将上述 频率分布表中的有关信息用下面的图形 表示： 月均用水量 /t 频率 组距 O

上图称为频率分布直方图，其中横轴表 示月均用水量，纵轴表示频率 / 组距. 频 率分布直方图中各小长方形的宽度和高 度在数量上有何特点？ 月均用水量 /t 频率 组距 O 宽度：组距 高度： 频率 组距 2 图形的意义

图形的意义：频率分布直方图中各小长 方形的面积表示什么？各小长方形的面 积之和为多少？ 各小长方形的面积 = 频率 各小长方形的面积之和 =1 月均用水量 /t 频率 组距 O 宽度：组距 高度： 频率 组距

3 分析例题：频率分布直方图非常直观 地表明了样本数据的分布情况，使我们 能够看到频率分布表中看不太清楚的数 据模式，但原始数据不能在图中表示出 来. 你能根据上述频率分布直方图指出居 民月均用水量的一些数据特点吗？ 月均用水量 /t 频率 组距 O

（ 1 ）居民月均用水量的分布是 “ 山峰 ” 状的，而且 是 “ 单峰 ” 的； （ 2 ）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值 附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少； （ 3 ）居民月均用水量的分布有一定的对称性等. 月均用水量 /t 频率 组距 O

思考：对一组给定的样本数据，频率分 布直方图的外观形状与哪些因素有关？ 在居民月均用水量样本中，你能以 1 为组 距画频率分布直方图吗？ 与分组数（或组距）及坐标系的单位长 度有关. 月均用水量 /t 频率 组距 O

1 、求极差 ( 即一组数据中最大值与最小值的差 ) 知道这组数据的变动范围 =4.1 2 、决定组距与组数（将数据分组） 3 、 将数据分组 (8.2 取整, 分为 9 组 ) 画频率分布直方图的步骤 4 、列出频率分布表.( 填写频率 / 组距一栏 ) 5 、画出频率分布直方图。 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距 组数：将数据分组，当数据在 100 个以内时， 按数据多少常分 5-12 组。 小结

频率分布的条形图和频率分布直方图的区别 两者是不同的概念； 横轴：两者表示内容相同 思考： 频率分布条形图和频率分布直方图是两个 相同的概念吗？ 有什么区别？ 纵轴：两者表示的内容不相同 频率分布条形图的纵轴（长方形的高）表示频率 频率分布直方图的纵轴（长方形的高）表示 频率与组距的比值， 其相应组距上的频率等于该组距上长方形的面积。

理论迁移 例 某地区为了了解知识分子的年龄结构， 随机抽样 50 名，其年龄分别如下： 42 ， 38 ， 29 ， 36 ， 41 ， 43 ， 54 ， 43 ， 34 ， 44 ， 40 ， 59 ， 39 ， 42 ， 44 ， 50 ， 37 ， 44 ， 45 ， 29 ， 48 ， 45 ， 53 ， 48 ， 37 ， 28 ， 46 ， 50 ， 37 ， 44 ， 42 ， 39 ， 51 ， 52 ， 62 ， 47 ， 59 ， 46 ， 45 ， 67 ， 53 ， 49 ， 65 ， 47 ， 54 ， 63 ， 57 ， 43 ， 46 ， 58. (1) 列出样本频率分布表； (2) 画出频率分布直方图； (3) 估计年龄在 32 ～ 52 岁的知识分子所占的比例 约是多少.

(1) 极差为 67-28=39 ，取组距为 5 ，分为 8 组. 分 组 频数 频率 [27 ， 32 ） [32 ， 37 ） [37 ， 42 ） [42 ， 47 ） [47 ， 52 ） [52 ， 57 ） [57 ， 62 ） [62 ， 67 ） 合 计 样本频率分布表：

（ 2 ）样本频率分布直方图： 年龄 频率 组距 O （ 3 ）因为 =0.7 ， 故年龄在 32 ～ 52 岁的知识分子约占 70%.

次数 o 频率 / 组距 〖例 2 〗：为了了解高一学生的体能 情况, 某校抽取部分学生进行一分钟 跳绳次数次测试，将所得数据整理 后，画出频率分布直方图 ( 如图 ) ，图 中从左到右各小长方形面积之比为 2 ： 4 ： 17 ： 15 ： 9 ： 3 ，第二小组频 数为 12. (1) 第二小组的频率是多少？样本容 量是多少？ (2) 若次数在 110 以上（含 110 次）为 达标，试估计该学校全体高一学生 的达标率是多少？

频率分布直方图如下： 月均用水量 /t 频率 组距 连接频率分布直方图中 各小长方形上端的中点, 得到频率分布折线图

利用样本频分布对总体分布进行相应估计 （ 2 ）样本容量越大，这种估计越精确。 （ 1 ）上例的样本容量为 100 ，如果增至 1000 ， 其频率分布直方图的情况会有什么变化？假如增 至 呢？

总体密度曲线 频率 组距 月均用 水量 /t a b （图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。 当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么 频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线 —— 总体密 度曲线． 总体密度曲线

用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布 规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值 百分比。 总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的 百分比, 精确地反映了总体的分布规律。是研究总 体分布的工具. 总体密度曲线

茎 叶 图茎 叶 图 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的 原始记录如下： (1) 甲运动员得分 ： 13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 (2) 乙运动员得分： 49 ， 24 ， 12 ， 31 ， 50 ， 31 ， 44 ， 36 ， 15 ， 37 ， 25 ， 36 ， 39

甲 乙 注：中间的数字表示得分的十位数字。 旁边的数字分别表示两个人得分的 个位数。

茎叶图 当样本数据较少时，用茎叶 图表示数据的效果较好，它不但 可以保留所有的信息，而且 可以 随时记录，给数据的记录和表示 都方便。

练习：某中学高一（ 2 ）班甲，乙两 名同学自高中以来每场数学考试成 绩情况如下： 甲的得分： 95 ， 81 ， 75 ， 91 ， 86 ， 89 ， 71 ， 65 ， 76 ， 88 ， 94 乙的得分： 83 ， 86 ， 93 ， 99 ， 88 ， 96 ， 98 ， 98 ， 79 ， 85 ， 97 画出两人数学成绩茎叶图，请根据 茎叶图对两人的成绩进行比较。

小 结 图形 优点 缺点 频率分布 1 ）易表示大量数据 丢失一些 直方图 2 ）直观地表明分布地 情况 信息 1 ）无信息损失 只能处理样本 茎页图 2 ）随时记录方便记录和表示 容量较小数据

课堂小结 表示样本分布的方法： （ 1 ）频率分布表 （ 2 ）频率分布图（包括直方图和条形图） （ 3 ）频率分布折线图 （ 4 ）茎叶图

1. 频率分布表 表示样本的分布的方法： 分组个数累计频数频率 频率 / 组距 产品尺寸 (mm) 2. 频率分布直方图 样本频率分布中， 当样本容量无限增 大，组距无限缩小 样本频率分布直方图接近 于一条光滑曲线 —— 总体 密度曲线，反映了总体分 布。 3. 频率分布折线图

1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律， 由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本 的频率分布去估计总体的分布。 2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取 值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体 中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组， 用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用 频率分布表或频率分布直方图。 小结