第三章 導函數 ‧ 函數的極限與連續 函數的極限與連續 ‧ 導數及其基本性質 導數及其基本性質 ‧ 微分公式 微分公式 ‧ 高階導函數 高階導函數 總目錄

3-1 函數的極限與連續 區間表示法 函數極限的定義 函數極限的求法 極限的運算性質 左、右極限 函數的連續性 目 錄

區間表示法 節目錄下一頁上一頁 若 a 、 b 、 x 為實數，且 a < b (1) 閉 區 間： (2) 開 區 間： (3) 半開區間 ( 半閉區間 ) ：

函數極限的定義 當函數 f (x) 定義域中的 x 逐漸趨近於定數 a 時 (x≠a) ， 則對應的函數值 f (x) 也逐漸趨近於 α ，即若 x→a (x≠a) ，則 f (x)→α 此時我們稱為 x 趨近 a 時， f (x) 的極限為 α ，記為 節目錄下一頁上一頁

函數極限的求法 計算 之值： (f (x) 為多項式、有理式或根式 ) (1) 以 x ＝ a 直接代入 f (x) ，函數值不會出現分母 為 0 的情形，則 。 (2) 以 x ＝ a 直接代入 f (x) ，函數值出現 的情形， 通常要把使分子、分母產生 0 的公因式約去之 後，再把 x ＝ a 代入，便可求得極限。 節目錄下一頁上一頁

極限的運算性質 節目錄下一頁上一頁

左、右極限 (1) 當 x > a 且 x →a ( x 從 a 的右側趨近 a ) ， 我們稱為 f (x) 於 a 的右極限， 記作 。 (2) 當 x < a 且 x →a ( x 從 a 的左側趨近 a ) ， 我們稱為 f (x) 於 a 的左極限， 記作 。 節目錄下一頁上一頁

函數的連續性 函數 f (x) 若滿足下列三個條件， 則稱函數 f (x) 於點 x ＝ a 為連續： (1) f (a) 存在 (2) 存在 (3) 節目錄下一頁上一頁

3 - 2 導數及其基本性質 變化率 導數的定義 導數的幾何意義 導數的物理意義 導函數 可微分與連續的關係 目 錄

變化率 (1) 為函數 f (x) 在區間 [a,b] 的平均變化率。 (2) 為函數 f (x) 於 a 的瞬時變化率。 節目錄下一頁上一頁

導數的定義 (1) a 為函數 f (x) 定義域內一點， 我們稱極限值 為 f (x) 在 x ＝ a 處的 導數，以 f '(a) 表示之，即 節目錄下一頁上一頁

導數的定義 (2) 在 導數的定義中， 設 x － a ＝ h ，則 x ＝ a ＋ h ， 當 x→a 時，意指 h →0 ， 那麼 f (x) 在 x ＝ a 的導數我們也可以表示成： 節目錄下一頁上一頁

導數的幾何意義 曲線 y ＝ f (x) 在 x ＝ a 的導數 f '(a) ， 即為此曲線在點 (a,f (a)) 的切線斜率。 節目錄下一頁上一頁

導數的物理意義 (1) 位移函數 f (t) 在 t ＝ a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時速度。 (2) 速度函數 v(t) 在 t ＝ a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時加速度。 節目錄下一頁上一頁

導函數 如果定義域中的每一個點 a ，函數 f (x) 都有導數 f '(a) ，此時 f '(x) 形成一個新的函數，我們就稱 f '(x) 為 f (x) 的導函數。求導函數的過程稱為微分。 對於導數、導函數、微分、可微分這些名稱，實際 上是指同樣的概念，只不過是名詞、動詞、形容詞 的差別而已。 函數 y ＝ f (x) 的導函數，有下列的表示方法： 節目錄下一頁上一頁

可微分與連續的關係 (1) 可微分的函數必定是連續。 (2) 連續函數不一定可微分。 例如： 函數 f (x) ＝ │x│ 在 x ＝ 0 處雖然為連續， 但是在 x ＝ 0 處卻不可微分， 所以函數 f (x) ＝ │x│ 不是一個可微分函數。 節目錄下一頁上一頁

3 - 3 微分公式 微分公式 連鎖規則 目 錄

微分公式 (1) 公式 1 ：若 f (x) ＝ x n ，則 ( n 為自然數 ) 公式 2 ：若 f (x) ＝ k ，則 ( k 為常數 ) 公式 3 ：若 y ＝ kf (x) ，則 ( k 為常數 ) 節目錄下一頁上一頁

微分公式 (2) 公式 4 ：若 y ＝ f (x) ＋ g(x) ，則 y ＝ f '(x) ＋ g'(x) 公式 5 ：若 y ＝ f (x) － g(x) ，則 y ＝ f '(x) － g'(x) 公式 6 ：若 y ＝ f (x)g(x) ，則 y ＝ f '(x)g(x) ＋ f (x)g'(x) 公式 7 ：若 ，則 節目錄下一頁上一頁

連鎖規則 (1) 設 y ＝ g(f (x)) ，且 f '(x) 、 g'(f (x)) 均存在， 則 y ' ＝ g'(f (x))×f '(x) (2) 設 n 為有理數， f (x) 為可微分函數， 若 y ＝ (f (x)) n ，則 y ' ＝ n(f (x)) n － 1 ×f '(x) 節目錄下一頁上一頁

3 - 4 高階導函數 第一、二階導函數 第三階與第 n 階導函數 第三階與第 n 階導函數 目 錄

第一、二階導函數 (1) 對一般可微分的函數 f (x) 而言， 其導函數為 f '(x) ，或者記為 (2) 若函數 f '(x) 仍可微分， (f '(x)) ' 稱為 f (x) 的第二階導函數，其記號為 節目錄下一頁上一頁

第三階與第 n 階導函數 (1) 若函數 f ''(x) 仍可微分， (f ''(x))' 稱為 f (x) 的第三階導函數，其記號為 (2) 依此類推， f (x) 的第 n 階導函數，其記號為 節目錄上一頁