第六节 微分及其应用 一、微分的概念 二、常数和基本初等函数的微分 公式与微分运算法则 三、微分的应用

一、微分的概念 例 1 一块正方形金属薄片由于温度的变化， 面积改变了多少 ? 其边长由 x 0 变化为 x 0 +Δx ，此时薄片的 解 设此薄片的边长为 x 、面积为 A ，则 A=x 2 当自变量 x 在 x 0 有增量 Δ x 时，相应的 面积函数的增量为 ΔA ，则

ΔA 由两部分组成，一部分 是 Δx 的线性函数 2x0 2x0 Δx，Δx， 即右图中带有斜阴影线的 两个矩形面积之和；另一 的主要部分， 部分是 (Δx) 2 ，即图中带有交叉斜线的小正方 形的面积．只要 |Δx| 很小， 2x0 2x0 Δx是ΔAΔx是ΔA 特别 Δx→0 时， (Δx) 2 是 Δx 的高阶无穷小．

定义 设函数 y=f(x) 的自变量 x 在 x 0 的某个邻域 N(x 0,δ) 内有定义，任意的 相应的函数增量 可表 示为 Δy=AΔx+o(Δx), 记作 dy ．即 其中 A 是与 Δx 无关的量，则称函数 y=f(x) 在 x 0 处可微，且称 AΔx 是 f(x) 在 x 0 处的微分， dy=AΔxdy=AΔx (1)

(AΔx) 称为 Δy 的线性主部 (Δx→0) ；且当 当 A≠0 时， AΔx 是 Δy 的主要部分 (Δx→0) ， 由于 AΔx 是 Δx 的线性式，因此微分 dy |Δx| 很小时，有 Δy≈dy

定理 1 函数 y= f(x) 在 x 0 处可微的充要条件 是 f(x) 在 x 0 处可导且 ． 证 ( 必要性 ) 函数 f(x) 在 x 0 可微，由 (1) 式有 令 Δx→0 ，得到 ． 即 f(x) 在 x 0 可导且 ．

( 充分性 ) 函数 f(x) 在 x 0 可导，则 因此 时， 与 Δx 无关，故有 (1) 式成立， f(x) 在 x 0 处可微．

由于函数 y=x 的微分 dy=1·Δx ，即 dx=Δx ， 因此 dx 又称为自变量的微分，通常把函 数 y=f(x) 在 x 处的微分写成 例如函数 y=sinx 的微分为 dy=cosxdx. 函数 y=lnx 的微分为. 即导数可用函数的微分与自变量的微分 的商表示，所以导数又叫微商． (2) 由 (2) 式，

例 2 求函数 y=x 2 在 x=1 处、 Δx 分别为 0.1 和 0.01 时的增量与微分． 解 Δx=0.1 时， Δy=(1+0.1) =0.21, Δx=0.01 时， Δy=(1+0.01) = ,

例 3 将单摆的摆长 l 由 100cm 增长 1cm ， 求周期 T 的增量与微分． 因为周期 T 与摆长 l 的函数关系是 ，于是 ΔT=2π ≈ ≈ 解

例 4 求函数 y=xln x 的微分． 解 由于 (xln x)′=1+ln x，x， 因此 dy=(1+ln x)dx ．

微分的几何意义 ： 设函数 y=f(x) 的图象如下图所示，曲线 上有点 有向线段 ，则 过点 M 0 作曲线的切线 M 0 T 交 QN 于 P 点， M0T的M0T的 倾角为 α ，则有向线段 QP=M 0 Q·tanα=Δx· =dy ．即微分 dy 是曲线在 M 0 处的切线上点的纵坐标相应 于 Δx 的增量．

二、常数和基本初等函数的微分公式  1 ．常数和基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 (1) (c 为常数 ) ； (2) (3) d sinx=cosx dx;dx; (4) d cosx= - sinx dx;dx; (5) d tanx=sec 2 x dx;dx; (6) d cotx=-cot2x dx；dx； (7) d sec x=sec xtan xdx;xdx; (8) d cscx= - csc xcot xdx;xdx;

(9) (10) (11) (12) (13) (14) (16) (a>0,a≠1) (15) (17)

 2. 函数的和差积商的微分法则 设函数 u=u(x),v=v(x) 可微，则 由函数的和差积商的求导法则、导数与微分 的关系，便得函数的和差积商的微分法则． d(u±v)=du±dv; d(uv)=vdu+udv, d(cu)=cdu(c 为常数 ) ；

 3. 复合函数的微分法则 还是另一个变量的可导函数，微分 定理 2 设函数 y=f(u) 可导，无论 u 是自变量 总成立，这个法则称为一阶微分形式不变性．

可导，且 证 设 u=φ(x) 且 φ(x) 可导，因为 y=f(u) 可导， 所以 y=f(u) 与 u=φ(x) 的复合函数 y=f[φ(x)] 它与 u 是自变量时的微分形式是一样的． 又 ，代入上式，得

例 5 函数 解一 把 cos 2x 看成中间变量，由一阶微分 ． ，求 形式不变性， dy=d(cos 2 2x)=2cos2x d(cos 2x)2x) 求 d(cos 2x) 时，再把 2x 看成中间变量，有 dy=2cos 2x 2x (-sin 2x)d(2x)=-2sin 4xdx4xdx 解二 由于 ，因此

例 6 用一阶微分形式不变性求函数 的导数． 解 从而

例 7 证明参数式函数的求导公式 证 变性，有 设参数方程 x=φ(t),y=ψ(t) 确定函数 y=y (x)，(x)， φ(t),ψ(t) 可导且 φ′(t)≠0 ． 由导数与微分的关系和一阶微分形式不 这正是第四节的求导法则Ⅵ．

例 8 用微分求由方程 解 确定的函数的导数. (a 为常数，

例 9 用微分求由方程 解 方程两端分别求微分，有 的隐函数 y= y(x) 的微分与导数 (x+2y≠0) ． 确定 8xdx-(y dx+xd y)-2ydy =0 故 (x+2y)dy=(8x-y)dx, 当 x+2y≠0 时，

三、微分的应用  1 ．在近似计算中的应用 ， |Δx| 很小时， Δy≈dy ，即当 记 ，由 (3) 式可得 (3) (4) x 0 =0 有 (3) ， (4) 两式分别表示了用微分近似计算 函数增量与函数值的公式．在 (4) 式中令 (5)

(i) 应用 (5) 式可得工程上常用的近似公式： 当 | x | 很小时，有 (ii) sin x ≈ x(x 以弧度为单位 ) ； (iii) (iv) tan x ≈x(x 以弧度为单位 ) ； (v) ln(1+x)≈x ．

取 证 现在证明 (i) ，其余 4 个式子可类似证明． ，于是 由代入 (5) 式，有

例 1 计算 解 因为用近似公式 (i) ，要求 |x| 较小， 的近似值． 所以先作恒等变形再用 (i) ，有 =