关于矩阵行等价的一些思考 杨忠鹏 1 陈梅香 1 晏瑜敏 1 陈智雄 1 林志兴 1 林丽生 1 ， 2 1. 莆田学院数学系 2008 年 10 月 11 日 2. 辽宁工业大学机械工程及其自动化学院

目 录 引 言 引 言 1 广泛的应用 3 理论研究 4 参 考 文 献参 考 文 献参 考 文 献参 考 文 献 ５ 现 状 现 状 2

一、引言 矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法， 而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换．

性质 2 矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。 性质 3( 见 [3, 定理 ]) 对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列 向量的线性关系。 性质 1 （见 [1, 定理 3] ）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。

二 、现状 利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和 行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛， 如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解 线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计 算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器， Matlab(Octave), Mathematica,Maple 等，这些工具都可 以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置 、简化行阶梯形、行列式、 LU 分解、 QR 分解，其中最 重要的是简化行阶梯形 。但相比之下，其理论部分相

二 、现状 对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没有 像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视这种 等价关系．国外的一些教材（如 [3-5] ）都有给出行简化梯形 矩阵的定义及其应用, 并指出它是唯一的, 但对 “ 矩阵的行标准 形是唯一的 ” 这一结论的证明或略去，或在后面用更多更深刻 的知识作为附录给出证明的过程．现在使用这些知识的教材越 来越多（如 [6 － 9] 等），但很少将 “ 矩阵行最简形是唯一的 ” 的 证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在于 “ 矩阵的行标 准形是唯一的 ” 这个结论的证明是复杂的．3-5 [6 － 9]

三、广泛的应用 1 、教学中的基本要求 2 、课后讨论、研究 3 、能力提升（毕业论文选题）

1 、教学中的基本要求 （ 1 ）求行列式 （ 2 ）求矩阵或向量组的秩 （ 3 ）判定向量组的线性相关性

（ 4 ）求其极大无关组，并表示其他向量 （ 5 ）求矩阵的逆 （ 6 ）求解线性方程组 的矩阵形式为： 求解过程：

应用行化简算法解线性方程组步骤： 1 、写出方程组的增广矩阵. 2 、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形. 确定方程组是否有解，如 果没有解则停止；否则进行下一步. 3 、继续行化简算法得到它的简化阶梯形. 4 、写出由第 3 步所得矩阵所对应的方程组. 5 、把第 4 步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式. 计算技术日益成熟： 计算器、 Matlab 、 Octave 、 Sage 、 Maple 、 Mathematica 等 Matlab 中 “rref ” 命令是求矩阵的行最简形

2 、课后讨论、研究 （ 1 ）求解 (2) 求向量的坐标 [13] [13] (3) 求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式 [13] [13] 实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题

（ 5 ）化二次型为标准型及判断矩阵正定 [14] [14] 其中 T 是上三角阵 （ 6 ）把线性无关的向量组正交化 [14] [14] 1) 3) 若欲在正交化后得到正交阵，可令 则 D 的列向量组为标准正交组。 (7) 求正定阵 A 的分解式 [14] [14]

（ 8 ）初等变换在多项式理论中的应用 [15][15] （判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的 根，求最大公因式） （ i ）求两个多项式的最大公因式 (ii) 判定多项式有无重因式 (iii) 求商和余式 (9) 数学实验

(10) 利用行等价判断方程组同解（考研題題型）： 例 1 （ 1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学四） 已知两个线性方程组 为同解线性方程组，求参数 m 、 n 、 t 之值． （1）（1） （ 2 ）

要使（ 1 ）与（ 2 ）同解，只要保证这两个方程组对应的增广矩阵 有相同的行标准形即可！

由唯一性得 求 ，并求（ 4 ）的一般解． 例 2 （ [18 ， P 100 ，习题 23 ）已知线性方程组18 的解都满足方程组 （4） （4） （3）（3）

例 1‘ （ 2007 年北京交通大学硕士研究生入学考试试题 10 ） 设有两个线性方程组 （ 1 ）求（ I ）的通解； （ 2 ）当且仅当（ II ）中参数 a 、 b 、 c 为何值时，（ I ）和 （ II ）同解． （I）（I） （ II ）

例 1’’ （ 2007 年湖北大学硕士研究生入学考试 2 ） 已知两个线性方程组 同解，试确定参数 a 、 b 、 c 的值． （I）（I） （ II ）

例 3 （ 2008 年浙江理工大学硕士研究生入学考试 ）设 （5）（5） （6）（6） 为两个 n+1 维向量组，证明：若向量组（ 5 ）和向量组（ 6 ）等价，则线性方程组 （ 7 ）和 （8）（8） 同解。举例说明上述命题的逆命题不成立。

事实上，逆命题是成立的！

3 、能力提升（毕业论文选题） （ 1 ）在初等数论中的应用 （ i ）求整数的最大公因式及其线性表出 （ ii ）求自然数等幂和 ( 见 [20] ) [20] ( 见 [19] ) [19] （ 2 ）解线性不定方程 ( 见 [19] )[19] （ 3 ）解同余方程 ( 见 [21] ) [21] （ 4 ）求最小多项式（向量关于矩阵的最小多项式 )( 见 [22]) [22]) （ 6 ）化行简化梯形矩阵的初等变换次数 ( 见 [23] ) [23] （ 7 ）行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用 ( 见 [24] ) [24]

四 、理论研究 行简化梯形矩阵是矩阵的一种标准形，如上可以发 现，它在研究讨论矩阵的秩、矩阵的逆、向量的线性相 关性的判别、求向量组的极大线性无关组及其余向量用 极大无关组的线性表示式和线性方程组的解等多方面有 着重要的应用。但在很多的国内外教材中都未将此标准 形的唯一性证明放在课堂教学上. 文献【 25 】虽亦列有 唯一性定理, 但未给出证明，只是说： “ 这个定理的证明 是十分麻烦的, 我们省略它。 ”【 25 】

要怎样在教学的同步即可完成，是长期以来被众多学者 注意而还没有解决好的问题。目前，对行简化梯形矩阵唯一 性的证明，前人至少已给出四种证明方法（见文 [1] 、 [10] 、 [11] 、 [26] ）. 这些方法具有各自的特点，但所用的知识较多， 不适合将他们放在课堂上进行同步教学，这也是在教材中很 少见到行简化梯形矩阵唯一性证明的原因之一. 现结合学生的 毕业论文 [24] ，给出了此唯一性的另一种证明方法.四种证明方法 [1] [10] [11] [26] 毕业论文 [24]

唯一性定理 中任意一个矩阵 仅与唯一的行简化 梯形矩阵行等价，即 的行简化梯形矩阵是唯一的. 记 的唯一行简化梯形矩阵为. 设 ， 是 的两个行简化梯形矩阵，要证 。 根据行简化梯形矩阵的定义，可设 ★ 证明的主要过程

1 、先根据 和 是行等价的， 和 中列向量之间的线性关 系是一样的，这样可证得它们的主元列位置是相同的。 2 、再根据 和 行等价，存在一个 阶可逆阵 ，使得：. 将 ， 两个矩阵代入，比较等式两边可推出矩阵 的结构是 将矩阵 和 进行分块变成 和 ，则

可容易计算解得 于是 而 即. 这就证得了唯一性.

这种证法正是在这已有的四种证明方法上给出的， 它是采用了第三种证明方法中所提到的行等价矩阵的列 具有完全一样的线性相关性思想，以及第二种所提到的 两个行等价矩阵 ， 间存在一可逆阵 有 这个 知识点，较完整地表述了证明过程. 所以, 可以说它是前 人已有证明方法的一种结合, 与他们相比, 是有存在不同 之处的. 此种方法可以尝试用于课堂教学上或课外提高 内容，学生不需要积累太多的理论知识就可以理解这个 证明. 对于教师授课，教师也只要讲述大概的证明过程， 学生在课后可以自己去补充完成证明，让他们对此唯一 性的证明有更深刻的理解.四种证明

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2008 年 5 月 16 日

★与已有的证明方法进行比较 前人已有的四种证明方法的主要思路： (1) 文 [1] 中是应用线性空间的知识，先用行向量组 等价 的 理论来证得主元列是相同的，再根据等价向量组间可以互 相表示且表法唯一来证出对应的非零行向量是相等的，这 样即证得唯一性.

(2) 文 [11] 采用 “ 矩阵证法 ” ，设 ， 是矩11 阵 的两个行标准形，由于 ， 都是由 经过初等行变换得到的，所 以 ， 是行等价的，这样就存在两个可逆矩阵 ， 使 得： ，. 根据 ， 所具有的特别结构和特点进行比较并推 出可逆阵 ， 的结 构 : ，. 这样就 有： ， 即证得了此唯一性.

(3) 文 [10] 中作者 D.C.Lay 并没有将此唯一性的证明放在定理中, 而 是将它放在课本的附录 中, 且只是用很简炼的语言说明了证明的思 路. 但要详细写出来的话并不是一件简单的事.D.C.Lay 对此唯一性证 明的思路是：假设一个矩阵的两个行最简形是 和 ，先利用行等价 矩阵的列具有完全一样的线性相关性思想来证出主元列相等，然后 再考虑任意的非主元列，例如 的列 ， “ 这个列或者是零或者是左 边主元列的线性组合（因为这些主元列是第 列左边列生成空间的 一个基）. 两种情形下，对第 个元素为 1 的 都可表示写成 ，那 么也有. 这说明 的第 列或者是零或者同样是它左边的主元列 的线性组合，由于 和 对应的主元列是相等的， 和 的第 列也 相等，这个结果对 和 所有非主元列相等.”[10] 这就证明了 ， 即唯一性得证.10

(4) 文 [26] 将此唯一性作为矩阵行标准形的一种性质给出. 在文 [26, 性质 6] 中指出矩阵的行标准形是唯一的并给出了 证明. 先利用文 [26] 中的性质 4 ： “ 是 中最靠前的 个线性无关的列向量 ，即任取 的 个线性无关的列 向量 ，必26 有 ，其 中 ，.”[26] 证得主元列相同，再根据等价 向量组间可以互相表示且表法唯一来证出对应的非主元列 也是相等的，这样即证得唯一性.

爱荷华州立大学 Leslie Hogben