第五章 不确定性分析 §1 绪论 §2 盈亏平衡分析 §3 敏感性分析 §4 概率分析

（1）了解不确定性分析的目的和意义； （2）掌握盈亏平衡分析方法； （3）掌握敏感性分析方法和步骤； （4）熟悉概率分析方法。 本章内容

本章要求 了解不确定性分析的目的和意义； 掌握盈亏平衡分析方法； 掌握敏感性分析方法和步骤； 熟悉概率分析方法。

本章重点 线性盈亏平衡分析 互斥方案的盈亏平衡分析 单因素敏感性分析 概率分析方法 敏感性分析 概率分析 本章难点

§1 绪论 一、不确定性与风险 1.不确定性——缺乏足够信息的条件下所造成的实际值和期望值的偏差，其结果无法用概率分布规律来描述。 2.风险——由于随机的原因而造成的实际值和期望值的差异，结果可用概率分布规律来描述。

二、不确定性或风险产生的原因 1. 项目数据的统计偏差 2. 通货膨胀 3. 技术进步 4. 市场供求结构变化 5. 其他外部因素（政府政策、法规的变化）

三、不确定性（包含风险）分析的含义 ——计算分析不确定因素的假想变动对技术经济效果评价的影响程度，以预测项目可能承担的风险，确保项目在财务经济上的可性。 产量Q 单价P 投资K 经营成本C （波动） （波动） 评价 结论 行 否 计算 基础数据 指标 （标准） 出入 估计值 实际值

四、不确定性分析的方法： 1. 盈亏平衡分析 2. 敏感性分析 3. 概率分析 ——只适用于财务评价 可同时用于财务评价和国民经济评价

§2 盈亏平衡分析 一. 概念 1.定义 根据项目正常年份的产品产量（销售量），固定成本、可变成本、税金等，研究项目产量、成本、利润之间变化与平衡关系的方法，也称量、本利分析。

2.目的 主要任务是找出不确定因素变化的临界值，断定投资方案对不确定因素变化的承受能力，为决策提供依据。 3. 产品的生产成本 C 和销售收入 R 生产成本C＝固定成本F+单位可变成本V ×产量Q 总可变成本

固定成本和可变（变动）成本的区别： 区别 固定成本F 可变成本V × Q 定义 不随产量变化而 变化的费用成本 随产量变化而变化的费用有 线性变化和非线性变化两种 组成 固定资产折旧费 车 间 经 费 企业管理费 … 原 材 料 费 燃 料 动 力 费 工 资 及 附 加 废品损失费 …

二. 独立方案的盈亏平衡分析 销售收入R ＝（单价P－单位产品税金t）Q 当（P－t）一定时， R随Q的增加成比例增加，即呈线性变化。 当（P－t）不定时， R不单只取决于Q，还要考虑（P－t）的变化，这时呈非线性变化。

（一）线性盈亏平衡分析 1. 基本假设 （1）产品的产量等于销售量； （2）单位产品的可变成本不变； （3）单位产品的销售单价不变； 　　（1）产品的产量等于销售量； 　　（2）单位产品的可变成本不变； 　　（3）单位产品的销售单价不变； （4）生产的产品可以换算为单一产品计算。

2. 基本公式 年销售收入 费用 盈亏平衡点（BEP） 利润B 盈利区 年总成本 V×Q 固定成本线 亏损区 可变成本线 F 利润 Q年产量

3. 盈亏平衡分析的应用 ①求产量 ◆达到目标利润B的产量 ◆盈亏平衡时的产量（B=0） ②求收入 ◆平衡点销售收入：

③此外还可求： ◆ 按设计生产能力，盈亏平衡销售价格 ◆ 按设计生产能力生产，且销售价格已定，则盈亏平衡时单位产 品变动成本 ◆ 按设计生产能力，盈亏平衡销售价格 ◆ 按设计生产能力生产，且销售价格已定，则盈亏平衡时单位产 品变动成本 ◆ 平衡点生产能力利用率 ◆ 经营安全率 经营安全率一般不应小于25% ；即平衡点的生产能力利用率一 般不应大于75%。

【例5.2.1】建厂方案，设计能力为年产某产品4200台，预计售价6000元/台，固定总成本费用为630万元，单台产品变动成本费用为3000元，求盈亏平衡时生产能力利用率及达到设计生产时获利。 解（1）求盈亏平衡时产销量： （2）盈亏平衡时生产能力利用率为： （3）达到设计生产能力时获利为：

（二）非线性盈亏平衡分析 1. 产生原因 在垄断竞争条件下，项目产量增加导致市场上产品价格下降，同时单位产品的成本也会增加，则销售收入和成本与产销量间可能是非线性的关系。

2. 非线性盈亏平衡分析的原理 同线性盈亏平衡分析：C=R Qmax——最优投产量，即企业按此产量组织生产会取得最佳效益Emax B BEP2 R 盈 BEP1 C 亏 Q Q2 Q1 Qmax

【例5. 2. 2】某企业年固定成本为66000元，单位变动成本为28元，销售价格为55元，每多生产一件产品，单位变动成本下降0 【例5.2.2】某企业年固定成本为66000元，单位变动成本为28元，销售价格为55元，每多生产一件产品，单位变动成本下降0.001元，售价下降0.0035元，求盈亏平衡点及最大利润时的销售量。 解：单位产品变动成本为： 28－0.001Q 单位产品售价为： 55－0.0035Q （1）求盈亏平衡时的产量 成本函数： 收入函数：

解得： （2）求最大利润时的产量 由B=R－C得： 令： 得： 即：

三. 互斥方案的盈亏平衡分析 原理：对若干互斥方案进行比选时，如有某个共同的不确定性因素影响互斥方案的取舍时，可先求出两两方案的盈亏平衡点（BEP），再根据BEP进行取舍。

【例5.2.3】：某产品有两种生产方案，方案A初始投资为70万元，预期年净收益15万元；方案B初始投资170万元，预期年收益35万元。该项目产品的市场寿命具有较大的不确定性，如果给定基准折现率为15%，不考虑期末资产残值，试就项目寿命期分析两方案的临界点。 方案B NPV 解：设项目寿命期为n 方案A n N=10年 当NPVA＝NPVB时，有 －70＋15（P/A，5%，n）＝－170＋35（P/A，5%，n） 即： (P/A，5%，n）＝5 查复利系数表得n≈10年 盈亏平衡图

这就是以项目寿命期为共有变量时方案A与方案B的盈亏平衡点。由于方案B年净收益比较高，项目寿命期延长对方案B有利。

§3 敏感性分析 一. 概念 1.定义 指预测分析项目不确定因素发生变动而导致经济指标发生变动的灵敏度，从中找出敏感因素，并确定其影响程度与影响的正负方向，进而制定控制负敏感因素的对策，确保项目的经济评价总体评价的安全性。

2.分类方法： 单因素敏感性分析 多因素敏感性分析 ——每次只变动一个参数而其他参数不变的敏感性分析方法。 ——考虑各种因素可能发生的不同变动幅度的多种组合，分析其对方案经济效果的影响程度。

3.敏感性分析的指标 A. 敏感度系数 ——项目效益指标变化的百分率与不确定因素变化的百分率之比。 敏感度系数高，表示项目效益对该不确定因素敏感程度高，提示应重视该不确定因素对项目效益的影响。 敏感度系数计算公式如下: 某不确定因素敏 感 度 系 数 评价指标相对基本方案的变化率 该不确定因素变化率 =

B.临界点（又称开关点） ——指不确定因素的极限变化，即该不确定因素使项目财务内部收益率等于基准收益率时的变化百分率。 临界点的高低与设定的基准收益率有关，对于同一个投资项目，随着设定基准收益率的提高，临界点就会变低（即临界点表示的不确定因素的极限变化变小）。而在一定的基准收益率下，临界点越低，说明该因素对项目效益指标影响越大，项目对该因素就越敏感。

4.敏感性分析的步骤 ： ①确定分析指标 ②设定不确定因素 即确定敏感性分析的具体对象。在选择分析指标时，应与确定性分析指标相一致。 根据经济评价的要求和项目特点，将发生变化可能性较大，对项目经济效益影响较大的几个主要因素设定为不确定因素。

③找出敏感因素 计算设定的不确定因素的变动对分析指标的影响值，可用列表法或绘图法，把不确定因素的变动与分析指标的对应数量关系反映出来，从而找出最敏感的因素，还要说明敏感因素的未来变动趋势如何。 ④敏感性分析结果及分析 对敏感性分析的结果应进行汇总，通常是将敏感性分析的结果汇集于敏感性分析表。敏感性分析表应同时给出基本方案的指标数值，所考虑的不确定因素及其变化率，在这些不确定因素变化的情况下项目效益指标的计算数值以及各不确定因素的敏感度系数和临界点。当针对某种不确定因素的敏感性指标不能被计算时，应采用文字描述的形式说明该不确定因素的影响。

二. 单因素敏感性分析 【例5.3.1】设某项目基本方案的参数估算值如下表，试进行敏感性分析。（ 基准收益率ic=9%) 每次只考虑一个因素的变动，而让其他因素保持不变时所进行的敏感性分析，叫做单因素敏感性分析。 【例5.3.1】设某项目基本方案的参数估算值如下表，试进行敏感性分析。（ 基准收益率ic=9%) 基本方案参数估算表 因 素 期初投资 I（万元） 年销售入 B（万元） 年经营本 C（万元） 期末残值 L（万元） 寿 命 n（年） 估算值 1500 600 250 200 6 解： （1）以销售收入、经营成本和投资为拟分析的不确定因素。 （2）选择项目的内部收益率为评价指标。 （3）计算基本方案的内部收益率IRR。现金流量图如下：

式中I=1500，B=600，C=250，L=200。则上式可写成： 600 600 600 600 600 800 0 1 2 3 4 5 6 250 250 250 250 250 250 1500 则方案的内部收益率IRR由下式确定： 式中I=1500，B=600，C=250，L=200。则上式可写成： 采用线性内插法可求得： NPV(i=12%)=40.31>0 NPV(i=13%)=-47.87<0

（4）计算销售收入、经营成本和投资变化对内部收益率的影响。 考虑当销售收入变化为X时对IRR的影响，内部收益率计算公式为： 不确定因素对内部收益率的影响（%） 变 化 幅 度 变化因素 -10% -5% 0 +5% +10% 销售收入 7.112 10.121 12.457 15.633 18.286 经营成本 10.61 11.758 12.457 14.017 15.137 投 资 15.629 13.360 12.457 11.288 9.754

以内部收益率为纵坐标，参数变化的幅度为横坐标，绘制敏感性分析图：

（5）计算方案对各因素的敏感度 年销售收入平均敏感度 年经营成本平均敏感度 建设投资平均敏感度

三. 多因素敏感性分析 单因素敏感性分析忽略了因素之间的相关性。实际上，一个因素的变动往往也在伴随着其他因素的变动，多因素敏感性分析考虑了这种相关性，因而能反映几个因素同时变动对项目项目产生的综合影响。 多因素敏感性分析的基本思路为：分析各变动因素的各种可能的变动组合，每次改变全部或若干个因素进行敏感性计算。

【例5.3.2】某项目有关数据如下表，可变因素为投资、年收入和寿命，考虑因素间同时变动，试对该项目进行敏感性分析。 指标 投资 寿命 年收入 年支出 残值 折现率 估计值 10000元 5年 5000元 2200元 2000元 8% 解：令x及y分别代表投资和年收入的变化百分数，寿命为n年，则若项目可行须满足下式：

该不等式中含有三个未知数，无法用平面表示，可假定某个量为定值，将其转化为二维不等式。 令n=2得： 即： 令n=3得： 令n=4得： 令n=5得： 令n=6得：

根据上面不等式可绘制一组损益平衡线如下： Y 年销售收入变化率% -40 -20 0 20 50 70 X 投资变化率% 50 20 -20 -50 n=2 n=3 收入变化高于该点方案可行 n=4 n=5 n=6 n=7 注：每条线代表一个寿命方案，线上方NAV为正，线下方为负。 投资变化低于该点方案可行 年值敏感性分析图（多因素） n=2时，收入增加36.9%，或投资减少32.9%，净年值为正，即原方案可行。 只要n≥4，方案就有一定的抗风险能力。 n值越大，方案抗风险能力越强。

四. 总结 敏感性分析研究是在预测和假设的基础上进行的，对预测的准确性有较高要求。 优点：定量地分析了不确定因素变化对方案经济效果造成的影响。 缺点：未考虑各种不确定因素发生的概率，不知道其发生的可能性有多大，影响分析的准确性。 如上例中市场上相同项目寿命期一般为5年，则寿命为2年的概率极低，可以不考虑该种可能性。

§4 概率分析 一.概念 1. 定义 概率分析是使用概率预测各种不确定性因素和风险因素的发生对项目评价指标影响的一种定量分析法。 2. 损益期望值 数学含义为：

其中：E（Ai）——Ai方案的损益期望值 P（θj） ——自然状态θj的发生概率 aij ——Ai方案在自然状态θj下的损益值 n——自然状态数 通常用期望值进行决策必须具备以下条件: ★目标 ★几个可行方案 ★所对应的自然状态 ★相应的可计算出的损益值——加权平均值 ★概率

3. 常用的的概率分布 ①均匀分布 均值： 方差： ②β分布 对参数作出三种估计值：悲观值P、最可能值M、乐观值O 均值： 方差：

③正态分布 4. 常用的概率分析方法 ★解析法 ★概率树分析 ★蒙特卡罗（模拟）法

二. 解析法（以净现值作为分析的主要指标） 1. 净现值的期望与方差 设各年的净现金流量为独立同分布随机变量，则 净现值的方差与净现值是不同的量纲，为了方便分析，通常用标准差来反映随机变量取值的离散程度。

【例5.4.1】某项目在寿命期内可能出现的五种状态的净现金流量和发生概率如下，基准收益率为10%，求方案的期望值、方差和标准差。 由中心极限定理，当n很大时有: 作标准化处理： 【例5.4.1】某项目在寿命期内可能出现的五种状态的净现金流量和发生概率如下，基准收益率为10%，求方案的期望值、方差和标准差。

解：对应于状态θ1有： 对应于状态θ2有： 不同状态发生概率及现金流量 单位：百万元 不同状态发生概率及现金流量 单位：百万元 P1=0.1 P2=0.2 P3=0.4 P4=0.2 P5=0.1 θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 0 -22.5 -22.5 -22.5 24.75 27 1 0 0 0 0 0 2～10 2.445 3.93 6.9 7.59 7.785 11 5.445 6.93 9.9 10.59 10.935 概率 状态 年末 解：对应于状态θ1有： 对应于状态θ2有：

对应于状态θ3有： 对应于状态θ4有： 对应于状态θ5有： 方案净现值的期望值为：

【例5.4.2】某项目投资1000万元，每年的净现金流量为300万元，寿命分布概率如下，基准折现率为15%，求净现值大于零的概率。 方案净现值的方差为： 方案净现值的标准差为： 2. 方案的风险分析 【例5.4.2】某项目投资1000万元，每年的净现金流量为300万元，寿命分布概率如下，基准折现率为15%，求净现值大于零的概率。 N（年） 1 2 3 4 5 6 7 P（n） 0.1 0.15 0.20 0.25 0.15 0.10 0.05

查复利系数表知，当n≥5时，（P/A，15%，n）＞3.33 解： 由： 得： 查复利系数表知，当n≥5时，（P/A，15%，n）＞3.33 故：

三. 概率树分析 作图方法： 概率分枝 方案分枝 2 可能结果点 决策点 1 3 淘汰 自然状态点 画 图 计 算

【例5.4.3】某地区为满足水泥产品的市场需求拟扩大生产能力规划建水泥厂，提出了三个可行方案： 1.新建大厂，投资900万元,据估计销路好时每年获利350万元，销路差时亏损100万元,经营限期10年； 2.新建小厂，投资350万元，销路好时每年可获利110万元，销路差时仍可以获利30万元，经营限期10年； 3.先建小厂，三年后销路好时再扩建，追加投资550万元，经营限期7年，每年可获利400万元。 据市场销售形式预测，10年内产品销路好的概率为0.7，销路差的概率为0.3 。按上述情况用静态方法进行决策树分析,选择最优方案。

解： 好 P1=0.7 1250 350 1 建大厂 差 P2=0.3 -100 2250 -900 I P＝1.0 扩建 3 400 -350 好P1=0.7 Ⅱ -550 1546 建小厂 P＝1.0 2 4 110 不扩建 差 P2=0.3 770 30 后 7 年 前 3 年 共 10 年

节点①: (350×0.7－100×0.3)×10－900＝1250万元 节点③: 400×1.0 × 7－550＝2250万元 节点④： 110×1.0 ×7＝770万元 决策点Ⅱ：比较扩建与不扩建 ∵2250>770，应选3年后扩建的方案。 节点②: 2250×0.7+110×0.7×3+30×0.3×10－350=1546万元 决策点I：比较建大厂建小厂 ∵1546>1250 ∴应选先建小厂。 问题: 若已知ic＝5％，试用动态分析法计算此题。

四. 蒙特卡罗（模拟）法（Monte Carlo） （一）实施步骤 （1）通过敏感性分析，确定风险随机变量； （2）确定风险随机变量的概率分布； （3）通过随机数表或计算机求出随机数，根据风险随机变量的概率分布模拟输入变量； （4）选取经济评价指标，如净现值、内部收益率等。 （5）根据基础数据计算评价指标值； （6）整理模拟结果所得评价指标的期望值、方差、标准差和它的概率分布及累积概率，绘制累计概率图，计算项目可行或不可行的概率。

解：根据概率分布情况画出累计概率分布图如下： （二）模拟试验结果的产生 1. 离散型： 【例5.4.4】某项目现金流量为随机变量，概率分布如下，试进行模拟试验。 年金现金流量 10000 15000 20000 25000 概率分布P 0.1 0.5 0.25 0.15 解：根据概率分布情况画出累计概率分布图如下：

由图可知随机数与年金现金流量的关系为： 随机数RN 0.00～0.09 0.10～0.59 0.60～0.84 0.85～0.99 年金现金 累计概率分布 1.00 0.8 0.6 0.4 0.2 10000 15000 20000 250000 30000 年金现金流量（元 ） 由图可知随机数与年金现金流量的关系为： 随机数RN 0.00～0.09 0.10～0.59 0.60～0.84 0.85～0.99 年金现金 流量 10000 15000 20000 25000

用0.00～0.99范围内的随机数为累计概率的随机值，在此范围内抽取年金现金流量的随机值。 0.47 0.91 0.02 0.88 0.81 0.74 0.24 0.05 0.51 0.74 随机数RN 15000 25000 10000 25000 20000 20000 15000 10000 15000 20000 年金现金流量 注：模拟试验得到净现金流量的均值为17500，题目所给均值为17250，两者并不吻合，但随着试验次数的增加，两者会趋于一致。

随机数（RN）作为随机变量累积概率的随机值，这样，每个随机数都可找到对应的一个随机正态偏差（RND），如图： 2. 连续型 （1）正态分布试验结果的产生 随机数（RN）作为随机变量累积概率的随机值，这样，每个随机数都可找到对应的一个随机正态偏差（RND），如图： 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -3σ -2σ -1σ 0 1σ 2σ 3σ 累计概率分布 随机正态分布（方差） 均值点 试验结果＝均值+随机正态偏差×标准差

随机数（RN）作为随机变量累积概率的随机值，设RN—随机数，RNm—最大随机数 （2）均匀分布试验结果的产生 随机数（RN）作为随机变量累积概率的随机值，设RN—随机数，RNm—最大随机数 累计概率分布 结果值 RNm RN a b 根据三角形相似原理可得：

解：该方案中随机变量为寿命和年净收益，且变量间相互独立。 【例5.4.5】某项目初始投资150万元，投资当年获益，寿命估计为12年到16年，均匀分布，年净收益为正态分布，期望值为25万元，标准差为3万元，试用模拟法描述该方案的内部收益率的概率分布。 解：该方案中随机变量为寿命和年净收益，且变量间相互独立。 由已知条件，项目寿命的模拟结果为：

年净收益的模拟结果为： 均值+随机正态偏差×标准差 现抽取一套随机变量（一组随机变量包含寿命和收益两个变量），并计算其相应的内部收益率如下表：

序号 随机数 项目寿命 随机数 年净收益的随机 年净收益内部收益率 （RN） （年） （RN） 正态偏差（RND）（百万） （%） 序号 随机数 项目寿命 随机数 年净收益的随机 年净收益内部收益率 （RN） （年） （RN） 正态偏差（RND）（百万） （%） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.303 0.871 0.274 0.752 0.346 0.365 0.466 0.021 0.524 0.748 13.21≈13 16 13 15 14 12 0.623 0.046 0.318 0.980 0.413 0.740 0.502 0.069 0.221 0.325 -1.685 -0.475 2.055 -0.220 0.640 0.005 -1.485 -0.770 25.98 19.95 23.58 31.15 24.34 27.22 25.02 20.55 22.69 14.3 10.7 12.2 13.2 18.5 12.9 15.8 12.7 10.2 12.6

将内部收益率计算结果以1%为级差划分为若干级，可画出内部收益率频率分布的直方图： 0.3 0.2 0.1 IRR（%） 9 10 11 12 13 14 15 16

由图可以求出内部收益率取值发生在某一区间的相对频率，这个频率可以近似看作内部收益率取值发生的概率。模拟中样本数量越多，相对频率与实际取值越接近。 了解了内部收益率的概率分布，结合给定的基准折现率，就可以对方案的风险情况作出判断。 若本例中基准折现率为10%，则内部收益率大于10%的概率为0.92，故可知方案抗风险能力很强。

先求出两两方案的盈亏平衡点（BEP），再根据BEP进行舍。 本章小结 1. 盈亏平衡分析 ★线性盈亏平衡分析 基本原理：C=R ——固定成本、可变成本、税金等相关变量中仅有一个未知量 ★非线性盈亏平衡分析 基本原理： C=R ——固定成本、可变成本、税金等相关变量中有两个未知量 ★互斥方案的盈亏平衡分析 先求出两两方案的盈亏平衡点（BEP），再根据BEP进行舍。

2. 敏感性分析 3. 概率分析 ★单因素敏感性分析 ——只变动一个参数 ★多因素敏感性分析 ——考虑各种因素可能发生的多种组合 ★解析法 ★概率树分析 ★蒙特卡罗（模拟）法

【参考文献】 [1]《技术经济学》（第三版），刘晓君编著，西北大学出版社，2003.8。 [2]《工程经济学》（普通高等教育“十五”国家及规划教材、高校工程管 理专业指导委员会规划推荐教材），刘晓君主编，中国建筑工业出版社，2003.8。 [3]建设项目经济评价方法与参数（第三版）国家发展改革委 建设部发布 中国计划出版社 2006年。 [4]傅家骥、雷家骕、程源.《技术经济学前沿问题》.经济科学出版社，2003。 [5]黄渝祥、邢爱芳.工程经济学（第三版）.同济大学出版社，2005。 [6]建设项目经济评价方法与参数.中国计划出版社.2006 [7]刘长滨.建筑工程技术经济学.中国建筑工业出版社.1992

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