生男生女? 某太太在生了女孩後，不停地求註生娘娘，希望下一胎是男孩，結果她下一仍是女孩。 這太太不死心，仍繼續去祈求下一胎生男孩，結果仍然生了女孩。 這太太仍不絕望，仍然繼續去求，結果下一胎仍然是．．．

如有雷同純屬巧合，與機率無關 最後這 太太受不了了：「我決定了．．． ,我要換一間廟！！！」 結果這次她終於如願生了男孩。 她的親朋好友問她：「到底是哪間的註生娘娘廟那麼靈讓您生了男孩？？？ 答：「誰說我這次拜的是註生娘娘？？？我這次拜的是包公！！！」

７　你的曲線是常態的嗎？ －機率和機率的重要性

如何證明你是真的… 你有多大把握(信心)保證你這次會投進籃? 你有多大信心，這次一定會追婚成功? 你有多大把握，放心將這個案子交給他? 你有多大信心，這個案子絕對能成功? 上面的這些問題都需要好好了解以下要講的內容。

機率的重要性？ 常態曲線是自然界的奇蹟，它提供宇宙萬物與結果有關的機率。 學習機率是說明/決定我們在敘述某項特定的發現或結果是「真」時，所具有之信心程度的基礎。 所有的東西都可以放到這個系統中加以衡量

教學心得 要將不同的數值進行比較 先將其標準化變成標準分數(z分數)

常態曲線（或鐘型曲線） 常態曲線可表示一個平均數、中位數和眾數彼此相等的分布之發生機率。 常態曲線完全對稱於平均數。如果沿著中心線將曲線對折，這兩半會完全重疊，這兩邊是完全相同的，曲線的一半是另一半的鏡像。 常態曲線的雙尾是一個很陌生的字－漸近的。這個字的涵義是曲線的雙尾越來越逼近橫軸，但是永遠不會碰到。

如何知道10年後 生女兒比較好？ 我們可以從一個母群中抽取1000個人，藉以估算此母群之男、女生比例。 原則上，母群基本上夠大，所以每次抽取得到男、女的機率，原則上是各佔50%。換言之，該母群之男女生分配屬常態分佈。 因此，若在該母群中抽取100次，其男女生比例可以繪成一個鐘形分佈圖，且近似於常態分佈。

　嘿，那不是常態曲線！ 當我們處理大資料集（超過30）時，並且當我們從母體中抽取重複的樣本，曲線中的數值就接近常態曲線的形狀。 (這很重要)當我們的討論是由樣本推論母體時，都是基於這樣的假設，意即由母體中抽取的樣本都是屬於常態分佈的。

以100為中心，10為距，左右設定標準差，即可將所有分數放入圖中 　更常態的曲線101 以100為中心，10為距，左右設定標準差，即可將所有分數放入圖中

這裡所顯示的分布平均數是100，標準差是10。我們已經在軸上標準差表示分布中偏離平均數的距離。 對任何分布來說（不論平均數和標準差的數值），如果分數是常態分布的，幾乎100%的分數將處於平均數的-3到3個標準差範圍內。 算算看，並與下一頁比較

左右分別(完全)對稱？ 常態曲線之下，平均數和平均數右(左)側所有分數的距離範圍內包括了50%的分數。 1個標準差 68.26% (34.13) 2個標準差 95.44% (47.72) 3個標準差 99.74% (49.87)

將不同分布標準化，因此，我們就可以放在一起比較了 貢獻最大最實用的標準值：z分數 如何在不同的分布中進行相互比較。 要進行這樣的比較，我們需要一定的標準。這就是標準分數。 因為這些分數以標準差為單位進行了標準化，所以是可以比較的。 將不同分布標準化，因此，我們就可以放在一起比較了

　下面是平均數為12、標準差為2的10個分數樣本的原始分數和相應的分數。平均數之上的原始分數對應的分數是正數，反之，平均數之下的原始分數對應的分數是負數。

　z分數表示什麼 　特定的z分數代表一個原始分數，但也代表一個分布在橫軸上的特定位置。此z分數越極端（例如-2或+2.6），距離平均數就越遠。 　‧所有分數的84%落在分數為+1之下（50%落在平均數之下，34%落在平均數和值為+1的分數之間）。 　‧所有分數的16%落在分數為+1之上（曲線下的全部面積是100%，84%的分數落在值為+1的分數之下）

標準常態分配表 附表I ：標準常態分配曲線下方，z＝0與其他 z 值之間的面積 (機率值)

解答： 介於 -1.20 與 0 之間的面積 ＝ 介於 1.20 與 0 之間的面積(對稱) 查附表I ，面積 ＝ 0.3849。

解答： (a) z＝0.94的面積加上 0.5，得到0.5＋0.3264＝0.8264。   (b) z＝0.65的面積，加上 0.5，得到0.7422。  

(c) 0.5扣掉 z＝1.76的面積(0.4608)，得到 0.0392。   (d) 0.5扣掉 z＝0.85的面積(0.3023)，得到 0.1977。   (e) z＝0.87與 z＝1.28的面積差異： 0.3997－0.3078＝0.0919。   (f) z＝- 0.34與 z＝0.62的面積總和： 0.1331＋0.2324＝0.3655。

範例 某隨機變數服從常態分配，已知平均數=10，標準差=5，請問此隨機變數出現在12與15間之機率? 某隨機變數服從常態分配，已知平均數=10，變異數=25，請問此隨機變數出現在15與20間之機率?

將 x＝12與 x＝15轉換成標準單位，得到 查附表I，得到0.1554與0.3413， 機率為 0.3413－0.1554＝0.1859。 解答： 將 x＝12與 x＝15轉換成標準單位，得到 查附表I，得到0.1554與0.3413， 機率為 0.3413－0.1554＝0.1859。

某餐飲集團服從常態分配，已知其月平均盈餘為10萬元，標準差為2萬元。請問在此情況下，可能產生月平均盈餘低於6萬元之機率? 如何當個不被騙的聰明老闆

解答： 已知-2 之機率值為.4772(位於平均值左 側)，故落於此值之機率為 0.5－0.4772＝ 0.0228。

z 0.01 表示附表 I 的數值為0.5－0.01＝0.49， 0.4901對應的 z 值為2.33，所以 z0.01＝2.32667。 發生1%、5%的可能性 解答： z 0.01 表示附表 I 的數值為0.5－0.01＝0.49， 0.4901對應的 z 值為2.33，所以 z0.01＝2.32667。

z0.05 表示附表I當中的數值為0.4500， 最接近的數值，有0.4495與0.4505， 對應的 z 值分別為1.64與1.65，所以 z0.05＝1.645。

σ= 0.04 、x＝6.00，面積 = 2% 最接近的數值是 0.4798 對應的 z 值為 2.05 解方程式，得 解答： σ= 0.04 、x＝6.00，面積 = 2% 最接近的數值是 0.4798 對應的 z 值為 2.05 解方程式，得 μ= 6.00+2.05(0.04)=6.082

　有關於標準分數的兩件事。首先，即使我們關注的是z分數，但還有其他類型的標準分數。 　一個標準分數和一個標準化分數是完全不同的動物。標準化分數來自事先已確定平均數和標準差的分布。

　z分數真正表示什麼 我們將使用一些準則來判斷我們認為該事件的可能性是等於、高於或低於我們預期的隨機。 研究假設提出了預期中事件的命題，而我們將使用我們的統計工具來評估該事件的可能性有多大。

　假設檢定和z分數：第一步 任何事件都有一個相關的機率，而我們用這些機率值來對我們預期某個事件有多麼不可能，並據為判定而做出決策。 由研究假設的檢定，我們發現事件發生的可能性是有些極端的，那麼研究假設就是比虛無假設更有力的解釋。

使用電腦計算z分數