第三章第六课时： 二次函数(三) 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦 1.已知点的坐标，或通过已知条件获得点的坐标求函 数的解析式是常考的重点之一. 2.二次函数图像与圆、三角形的综合应用问题是重点 之二. 3.有关二次函数的问题常运用到待定系数法、配方法、 换元法、消元法等数学方法，要灵活掌握其应用. 4.充分运用分类讨论思想，由特殊到一般思想，数形 结合思想，函数与方程问题转化思想. 5.灵活运用二次函数图像和性质解题，结合顶点式解 最值问题、平移问题、应用问题.

课前热身 1.若抛物线y=2kx2+(8k-1)x+8k的顶点在x轴的上方，则 k的取值范围是. 2.(2002年·重庆)已知二次函数y=-4x2-2mx+m2与反比例 函数y=(2m+4)/x的图像在第二象限内的一个交点的横坐标为-2，则m的值是 . -7 3.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴交于两点，则 必有 ( ) A.b2-4ac＞0，c/a＜0 B.b/a＞0，c/a＜0 C.b2-4ac＞0，b/a＞0 D.b2-4ac＞0，b/a＞0，c/a＞0 D

课前热身 4.(2004年·济南市)已知抛物线 与x轴有A、B两个交点，且A、B两点关于y轴对称。 （1）求m的值； （2）写出抛物线的解析式及顶点坐标； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来。   解：（1）m＝6 （2）求得 （3）

课前热身 5.(2003年·辽宁省)如图所示，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图像(部分)展示了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和s与t之间的关系)，根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)由已知图像上的三点坐标， 求累积利润s(万元)与时间t(月) 之间的函数关系式. (2)求截止到几月末公司累积利 润可达到30万元? (3)求第8个月公司所获利润是 多少万元? (1)s=t2/2-2t (2)截止到10月末 (3)第8个月公司获利润5.5万元.

典型例题解析 【例1】已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长； ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

例2.如图所示,在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于点O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上。 （1）请写出点P、M两点的坐标，并求出这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD的周长为CABCD，求CABCD的最大值； （3 连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请你判断在抛物线上是否还存在点Q（除M点外），使得△POQ也是等腰三角形，简要说明你的理由。

【例3】 (2003年·陕西省)如图 所示的直角坐标系中，以点 A( ，0)为圆心，以 为半径 的圆与x轴交于B、C两点，与 y轴交于D、E两点. (1)求D点的坐标； (2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式； (3)若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，且∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线顶点?说明理由. D的坐标为(0，-3) 抛物线的顶点在直线MN上.

【例3】 (2003年·武汉市)已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图像与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且满足 . (1)求这个二次函数的解析式. (2)是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积?若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由. y=x2-2x-3. 当k=-2且b＞-3时直线y=kx+b与抛物线交于点P， Q使y轴平分△CPQ的面积

【例4】 (2003年·山西省)如图3-6-5所示，已知圆心A(0，3)，⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N. (1)若sin∠OAB=4/5，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式. (2)若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究： ①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明. ②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由.

答案： (2)①四边形MOBC是矩形 ②存在

方法小结： 1.于一些二次函数与几何图形相结合的问题应充分理 解根与线段长度的关系，根有正有负，而线段为正的 ，故求出根后要转化为线段的长度要考虑加绝对值. 2.对一些实际问题要考虑抽象出一次函数或二次函数 的数学模型，再用函数的规律解决实际问题，同时对 实际问题还要考虑其合理的取值范围问题.

课时训练 1.无论k为何实数时，直线y=2kx+1和抛物线 y=x2+x+k ( ) A.仅有一个公共点 B.有两个公共点 B C.没有公共点 D.公共点的个数不能确定 B 2.下列函数关系中，可以看做二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是 ( ) A.在一定距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系. C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D.圆的周长与圆的半径之间的关系 C

3.若直线y=ax+b(ab≠0)不经过第三象限，那以抛物线y=ax2+bx的顶点在 ( ) C.第三象限 D.第四象限 A 4.抛物线y=mx2-3x+2m-m2经过原点，则m的值等于 . 5.如果抛物线y=x2+bx+8的顶点的在x轴的正半轴上，那么b的值是 . 6.已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A(α，0)，B(β，0)，且α2＋β2=17.则k= . 2 2

再见！