精品课程《解析几何》 第三章 平面与空间直线
精品课程《解析几何》 §3.6 空间两直线的相关位置
精品课程《解析几何》 空间两直线的相关位置有异面与共面，在共面中又有相交、平行于重合： 相交 共面 平行 重合 异面
精品课程《解析几何》 ， 设两直线 与 容易看出，两直线 的相关位置决定于三向量 的相互关系。
一、空间两直线的相关位置 精品课程《解析几何》 定理3.7.1 判定空间两直线 的相关位置的充要条件为： ⅰ 异面 ⅳ 重合 ii 相交 定理3.7.1 判定空间两直线 的相关位置的充要条件为： ⅰ 异面 ii 相交 ⅲ 平行 ⅳ 重合
二、空间两直线的度量关系 精品课程《解析几何》 1. 两直线的夹角公式 定义3.7.1 平行于空间两直线的两向量间的角，叫做空间两直线的夹角。两直线 的夹角记做 。 定理3.7.2 在直角坐标系里，空间两直线 夹角的余弦为：
精品课程《解析几何》 推论 两直线 垂直的充要条件是： 注：以上公式也适用于异面直线.
精品课程《解析几何》 例2 设 和 分别是坐标原点到点 和 的距离，证明：当 时,直线 通过原点。
精品课程《解析几何》 2.两直线的交点 ① 均变为参数式; ②令同名坐标相等解出 ; ③将 t 代入相应的方程中解出交点.
精品课程《解析几何》 三、两异面直线间的距离与公垂线方程 定义3.7.2 空间两直线上的点之间的最短距离，叫做这两条直线之间的距离。 定义3.7.3 与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长。
精品课程《解析几何》 定理3.7.3 两异面直线间的距离等于它们公垂线的长。
精品课程《解析几何》 1、两异面直线的距离公式 定理3.7.4 两异面直线 之间的距离公式是：
精品课程《解析几何》 几何意义：两条异面直线 之间的距离等于以 为棱的平行六面体的体积除以以 为邻边的平行四边形的面积。
精品课程《解析几何》 2、公垂线的方程 公垂线 的方向向量可以取作 ,而公垂线 可以看做：由过 上的点 ,以 ， 为方位向量的平面与过 公垂线 的方向向量可以取作 ,而公垂线 可以看做：由过 上的点 ,以 ， 为方位向量的平面与过 上的点 ,以 ， 为方位向量的平面的交线。
精品课程《解析几何》 公垂线的方程为: 式中 是向量 的分量，即 的方向数。
精品课程《解析几何》 例3 已知两直线 试证明两直线 与 为异面直线，并求 与 间的距离 与它们的公垂线方程。