第6章 向量代数与空间解析几何 一、内容提要 （一）主要定义 第6章 向量代数与空间解析几何 一、内容提要 （一）主要定义 1.=ax i+ ay j+ az k 的模为 方向余弦为 2. a=ax i+ ay j+ az k , b= bx i+ by j+ bz k 数量积(点积)为：a  b=a b cos(a  b) 向量积(叉积)为：a  b, 其模为a  b =a b sin(a  b) 其方向服从右手法则 3.混合积：[abc]= (a  b)  c

（二）主要结论 1.设 a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz), 则 a  b= axbx+ayby+azbz

2.平面方程 (1) 一般式 Ax + By + Cz + D = 0. (2) 点法式 A(x - x0) +B (y - y0) +C (z - z0) = 0. (3) 截距式 (4) 三点式 过M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), 的平面方程为 (5) 法式方程 cos  x+ cos y+ cos z + p = 0 式中cos , cos, cos为平面上点 (x, y, z) 处法向量的方向余弦,  p 为原点到平面的距离.

3.直线方程 一般式 (2) 对称式 (3) 参数式 (4) 向量式 r=r0+st . 式中 (5) 两点式 4.点到平面的距离

5.重要的二次曲面 (1) 球面 (x – x0)2+ (y – y0)2+ (z – z0)2 =R2 (2) 椭球面 (3) 锥面 (4) 椭圆抛物面 ( p, q异号). (5) 双曲抛物面 (6) 柱面 F ( x, y )=0 (7) 单叶双曲面 (8) 双叶双曲面

6.夹角 (1) 两平面的夹角 设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2 : A2x +B2y +C2z+D2=0, (2) 两直线的夹角 (3) 直线与平面的夹角 设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0,

（三）结论补充 1.非零向量a, b互相垂直的充要条件是a  b=0, 互相平行的充要条件是a  b=0. 2.非零向量a, b, c共面的充要条件是(a  b)  c=0. 3.过两平面A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0交线的平面束方程为:  (A1x+B1y+C1z+D1)+ (A2x+B2y+C2z+D2) = 0. 4.设M0是直线L外一点, M是直线L上任一点, 且直线的方向向量为s, 则M0到直线L的距离 5.Prj(a+b)=Prja+Prjb,

6. 向量积的运算 (1) a (b c) = (a  c) b - (a b) c (2) (a b) c = (a  c) b - (c b) a (3) a (b  c) + b (c  a) +c  (a b) = 0 7. 不共线的空间三点A, B, C所决定的平面面积为: 8. 空间异面直线L1, L2的方向向量为s1, s2, A, B分别为L1, L2上的两点, 则L1与L2之间的距离为:

二、归类解析 （一）向量代数 例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(a  b). 二、归类解析 （一）向量代数 例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(a  b). 例6-2 设A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b, 试问: (1) k为何值时, A  B; (2) k为何值时, 以A, B为邻边的平行四边形 的面积为6. 例6-3 从点A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取线段 长AB =34, 求点B的坐标. 例6-4 已知 p, q 和 r 两两垂直, 且p =1, q =2, r =3, 求 s=p+q+r的长度.

例6-5 已知p =2, q =3, (pq)=/3, 求以A=3p-4q 和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长. 例6-6 证明恒等式[(a+b) (b+c)] (c+a)=2 (a b) · c. 例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于 一点.

（二）空间平面与直线 1.空间平面 例6-8 求通过直线 , 且平行于直线 的平面方程. 例6-9 经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线 作一平面, 使之与平面2x-y+5z=0垂直. 例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0 所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面, 其中的一 个经过点(4, -3, 1).

例6-11 一平面通过两直线L1: 的公垂线L, 且平行于向量 s=(1, 0, 1),求此平面方程. 例6-12 在过直线L: 的所有平面中, 求一平面, 使原点到的距离最长.

2. 空间直线 例6-13 推导两异面直线间的距离公式, 并用此公式求 两直线之间的距离. 例6-14 设有直线 求平行于L1而分别与L2, L3都相交的直线方程. 例6-15 在平面x+y+z+1=0内, 作直线通过已知直线 , 与平面的交点且垂直于已知直线. 例6-16 坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个ABC, 从z轴上的一个顶点C作对边AB的垂线, 求它的方程. 例6-17 已知入射光线路径为, 求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反射线方程.

3. 点、线、面的其他问题 例6-18 求点(1, 2, 3)到直线 的距离. 例6-19 试证曲线 是两条相交直线, 并求其对称式方程. 例6-20 一直线过点(2, -1, 3)且与直线 相交, 又平行于平面3x-2y+z+5=0, 求此直线. 例6-21 求过直线 , 且垂直于平面 x+4y-3z+7=0的平面. 例6-22 已知直线 求其在平面 2x+z+4=0上的投影直线方程.

（三）二次曲面与其他问题 例6-23 一条直线通过坐标原点, 且和连接原点与点(1, 1, 1)的直线成45角. 求此直线上点的坐标满足的关系式. 例6-24 求曲线 平行于z轴的投影柱面. 例6-25 若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴,且点A(-1, -2, 2)和B(1, 1, 1)在该曲面上, 求此曲面方程.

例6-26 求通过直线 且切于球面 x2+y2+z2=4的平面方程. 例6-27 求以A(0,0,1)为顶点, 以椭圆 为准线的锥面方程. 例6-28 试证在单叶双曲面 上可以配置无数条直线.

三、同步测试 测试6-1 (一)、填空题（3分4=12分） 1. 已知a=(2, 1, -1), a//b, a  b=3, 则b= 2. 已知A(1, 0, 1), B(2, 3, -1), C(-1, 2, 0), 则ABC的 面积S= 3. 通过曲面 , 作一柱面, 使其母线垂直 于xoy平面, 则的方程为 4. 点A(-1, 2, 0)在平面x+2y-z+3=0的投影为

(二)、选择题（4分3=12分） 1. 非零向量a, b 的数量积a  b为[ ]. (B) a  Prjba; (A) a Prjba; 答案：(C) (C) a Prjab; (D) b Prjab; 2. 设有直线 则L1与L2的夹角为[ ]. (A) /3; (B) /2; (C) /6; (D) /4. 答案：(A) 3. 旋转曲面x2-y2-z2=1是[ ]旋转所得. 答案：(B) (A) xOy平面上双曲线x2-y2=1绕y轴; (B) xOy平面上双曲线x2-y2=1绕x轴; (C) xOz平面上双曲线x2-z2=1绕z轴; (D) xOz平面上双曲线x2-z2=1绕x轴.

(三)、计算题（7分6=42分） 1. 求与向量a=2i-j+2k共线且满足方程a  x=-18的向量x. 2. 在空间直角坐标系中, l1, l2, l3分别为坐标面xOy, yOz, zOx上各坐标轴之间夹角的平分线, 求他们之间的夹角. 3. 一平面经过点M0(2,-1,1), 且垂直两平面3x-y-z+1=0 与x-y+2z+1=0的交线, 求此平面方程. 4. 求直线 在xOy面的投影直线方程. 且平行于直线L2:x=y=z 5. 求通过直线 的平面方程. 6. 求与直线 都垂直相交的直线方程. 1: x= 2i+2j-4k 2: = /3 3: 3x+7y+2z=1 5: 3x-y-2z-4=0

(四)、综合题（9分2=18分） , (a,^b)= /4求极限 1. a, b为非零向量, 且a =1, 答案: 1 2. 求z轴绕直线 旋转所得的锥面方程. (五)、证明题（8分2=16分） 1. 试证: 三平面x=cy+bz, y=az+cx, z=bx+ay经过同一条 直线的充要条件是: a2+b2+c2+2abc=1. 2. 利用向量代数的方法证明余弦定理.

测试6-2 (一)、填空题（3分4=12分） 答案：2 1. 已知a =3, b =1, 则a  b= 2. 已知a=(0, 2, -1), b=(1, 0, 0), 那么a在b上的投影为 Prjba= 答案： 2 3. 经过两点A(1, 3, 4), B(0, 1, 2)的直线方程是 4. 已知平面x+ky-2z=9经过点M(5, -4, -6), 则k= 答案： 2

(二)、选择题（4分3=12分） 答案：(A) 1. 设a//b, 且a与b方向相反, a > b >0, 则必有[ ]. (A) a+b = a - b ; (B) a+b = a – b ; (C) a+b = a - b ; (D) a - b = a - b . 2. 设空间中有三直线 答案：(B) 则必有[ ]. (A) L1// L2; (B) L1 L2; (C) L2 L3; (D) L2// L3. 3. 以曲线 为母线, 以z轴为旋转轴的旋转 答案：(C) 曲面的方程是[ ]. (A) 2y2+(x2+z2)=a2; (B) x2+2(y2+z2)=a2; (D) 2(x2+z2)+y2=a2. (C) 2(x2+y2)+z2=a2;

(三)、计算题（7分6=42分） 1. 向量a的方向向量平行于向量c=(7, -4, -4)与向量 b=(-2, -1, 2)之间的角平分线, 且 , 求向量a. 2. 设a =1, b =1, (a,^b)= /6, 求以向量a+2b和 3a+b为邻边的平行四边形的面积. 3. 求过点M(3, -1, 2),且平行于两直线 的平面方程.

4. 求过直线 和平面x-4y-8z+12=0相交 成/4角的平面方程. 5.求点M0(1,2,3)到直线 的距离. 6. 在平面: x+y+z+1=0内作直线通过已知直线 与已知平面的交点, 且垂直于直线L0, 求该直线的方程.

(四)、综合题（9分2=18分） 1. 求直线 在平面: x-y+2z-1=0上的 投影直线L0的方程, 并求L0饶y轴旋转一周所生成的 曲面方程. 4(x2+z2)=17y2-2y+1 2. 试在平面 x+y+z=1与三坐标面所围成的四面体内 求一点, 使它与四面体个侧面的距离相等, 并写出内切 于四面体的球面方程.

(五)、证明题（8分2=16分） 1. 非零向量a, b, c不共线, 试证: a+b+c=0的充要条件 是a  b= b  c = c  a. 2. 设点M为线段AB外一点, 试证: 点C在AB所在直线 的充要条件是存在, , 使+=1, 且 MC=MA+MB

例6-1 设2a+5b与a-b垂直, 2a+3b与a-5b垂直, 求(ab). 即 2a 2+3a  b-5 b 2=0, 2a 2+7a  b-15 b 2=0. 解出 a  b= - b2 , a = 2b . 则

例6-2 设A=2a+b, B=ka+b, 其中a =1, b =2, 且a b, 的面积为6. 解 (1) AB=(2a+b)(ka+b) = 2k a2+(2+k)ab+ b2=2k+4 可知当k=-2时, AB=0, 亦即A  B. (2) AB = (2a+b)(ka+b) = 2k (aa)+2(ab)+k(ba)+bb = 2-k ab =2-k 2sin(/2) = 4 -2k 令4 -2k =6, 得k= -1和k=5.

例6-3 从点A(2, -1, 7)沿向量=8i+9j-12k的方向取 线段长AB =34, 求点B的坐标. 解 设B=B(x, y, z), 则AB=(x-2, y+1, z-7), 依题意有 令 , 求得=2. 从而x=18, y=17, z=-17. 故B点的坐标为(18, 17,-17).

例6-4 已知p, q和r两两垂直, 且p =1, q =2, r =3, 求 s=p+ q+ r的长度. 解法一 s 2= ss=(p+ q+ r)(p+ q+ r) = pp + qp + rp + pq + qq + rq + qr + rr = pp+ pq + rr = p 2+ q 2+ r2. 解法二 记 p0, q0, r0分别表示与p, q, r方向一致的 单位向量, 则 s=p0+ 2q0+3 r0 . 故

例6-5 已知p =2, q =3, (p  q)=/3, 求以A=3p-4q 和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长. 解 A 2=AA=(3p-4q)(3p-4q) =9 p 2-24pq +16 q 2 =9×22 -24×2×3×cos(/3)+16×32 =108. B 2=BB=(p+2q)(p+2q) = p 2+4pq +4q 2 =22 + 4×32 +4×2×3cos (/3) = 52. 故 设周长为L, 则

例6-6 证明恒等式[(a+b) (b+c)] ·(c+a)=2 (a b)·c. = (ab + ac + bb + bc) ·(c+a) = (ab) · c + (ab) · a + (ac) · c + (ac) · a + (bc) · c + (bc) · a = 2(ab) · c

例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于 一点. A E F B C H D 证 作ABC, 如图所示. ADBC, BEAC, AD与BE交于点H, 连接CH并延长交AB于F. 只要证明CFAB即可. 由于ADBC, 从而AH BC, 有AHBC=0 同理, BHAC=0, 于是 CH  AB=(CA+AH) (AH+HB) = CA  AH+CA  HB+AH  AH+AH  HB = AH (CA+AH+HB) =AH  CB=0 故CHAB, 从而CFAB.

例6-8 求通过直线 , 且平行于直线 的平面方程. 解 设所求平面的法向量为n, 则 而M0(1,-2,-3)是平面上的一点, 故所求平面方程为 2(x-1)+0(y+2)-(z-3)=0 故 2x-z-5=0.

例6-9 经过两平面4x-y+3z-1=0和x+5y-z+2=0的交线 解 为交线方程, 分别令z=0和x=0, 得到交线上的两点 两交点连线的方向向量为 平面2x-y+5z=0的法向量为 n1=2i-j+5k. 设所求平面的法向量为n, 则 所求平面为 , 即7x+14y+5=0.

例6-10 在由平面2x+y-3z+2=0和平面5x+5y-4z+3=0 所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面, 其中的一 个经过点(4, -3, 1). 解 由已知两平面决定的平面束方程为 2x + y - 3z + 2 + (5x + 5y - 4z + 3)=0 经过点(4, -3, 1)的平面应满足条件 2×4+1×(-3) - 3×1+2+ [5×4+5×(-3)- 4×1+3=0, 即=1. 故过点(4, -3, 1)的所求平面方程为3x+4y-z+1=0. 另一平面也在平面束内, 故 (2+5)x+(1+5)y-(3+4)z+(2+3)=0 应满足条件 (2+5)×3+(1+5)×4+(-3-4)(-1)=0, . 所求的另一平面方程为x-2y-5z+3=0.

例6-11 一平面通过两直线L1: 的公垂线L, 且平行于向量s=(1, 0, 1), 求此平面方程. 解 已知两直线的方向向量为s1=(1, 2, 1), s2=(1, 3, 2), 令s3=s1s2, 则s3=(1, -1, 1). 设所求平面的法向量为n, 则应有n=s3s, 计算可得n=(1, 2, 1). 下面求公垂线L上的一点. 设此公垂线与L1, L2分别 交于A(t+1, 2t-2, t+5)和B(, 3-3, 2-1), 则AB//s3, 从而, 解出t=6, =5. 故点A为(7, 10, 11). 所求平面方程为 (x-7)+2(y-10)+(z-11)=0, 整理得 x+2y+z+8=0.

例6-12 在过直线 , 的所有平面中, 求一平面, 使原点到的距离最长. 解 平面2x+y+z=0过原点, 也过直线L, 它不是所求的 平面. 故可设过L的平面束方程为 (x+y+z+1)+ (2x+y+z)=0. 即 (1+2)x+(1+)y-(1+)z+1=0. 原点与它的距离的平方 距离最长. 所求平面为x-y-z-3=0.

例6-13 推导两异面直线间的距离公式, 并用此公式求 两直线之间的距离. 解 设直线L1的方向向量为s1, 直线L2的方向向量为s2 M1是直线L1上的点, M2是直线L2上的点, 两直线L1, L2 间的距离就是M1M2在s1s2上投影的大小, 即

s1=(-4, 1, 1), s2=(2, 2, -3), M1M2 =(-5, -1, 6),

例6-14 设有直线 求平行于L1而分别与L2, L3都相交的直线方程. 解 设过L2的平面方程为 5x-z-6+ (4y-z+3)=0. 由所求平面平行于L1, 则必有5×4+4×1+2+ (-1-)×1=0, 此平面即为15x-76y+16z-75=0. 同理可求过L3而平行于L1的平面方程为 4x-23y+7z-43=0. 所求直线即为

例6-15 在平面x+y+z+1=0内, 作直线通过已知直线 , 与平面的交点且垂直于已知直线. 解 化已知直线为对称式, 有 在直线上取一点(0, -1, 0), 则对称式方程为 参数式为 带入平面x+y+z+1=0, 得t=0. 故直线与平面的交点为(0, -1, 0).

以s=2i+j-k为法向量过点(0, -1, 0)的平面为2x+y-z+1=0. 所求直线方程即为 注 直线与平面的交点还可利用求解线性方程组得到.

例6-16 坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个ABC, 从z轴上的一个顶点C作对边AB的垂线, 求它的方程. 解 把已知平面写成截距式, 有 从而可知ABC三顶点的坐标为 A(4, 0, 0), B(0, -12, 0), C(0, 0, 3). 设垂线为CD, 则可令CD=CA+AB, 于是 4(1-)(-4) -12 (-12)+(-3)z0=0. 从而 垂线CD的方程为

例6-17 已知入射光线路径为, 求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反射线方程. 解 将L写成参数式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+t, 带入 平面方程, 得t=-2, 从而求得L与的交点Q(-7,-5,0). 点P(-7,-5,0)是L上的一点, 过P作垂直于平面的直线 化l为参数式, 有x=1+t, y=1+3t, z=2+5t, 带入中, 得t=-1, 从而求得l与的交点R(0,-1,-3). 由P(-7,-5,0), R(0,-1,-3), 得P的对称点为P’(-1,-3,-8). 过P’, Q的直线为 为所求的反射线方程.

例6-18 求点(1, 2, 3)到直线 的距离. 解法一 先求点(1, 2, 3)在该直线上的投影. 为此先以 n=i-3j-2k为法向量, 过点(1, 2, 3)做平面, 有 (x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0, 即x-3y-2z+11=0. 已知直线写成参数式, 有x=t, y=4-3t, z=3-2t, 代入平面 方程得 所求距离就是点(1, 2, 3)与点 间的距离.

解法二 记M0(1, 2, 3), M(0, 4, 3), s=(1, -3, -2), 则所求距离为

例6-19 试证曲线 是两条相交直线, 并求其对称式方程. 证 在原曲线方程中消去z得(x-5)(y+4)=0. 于是得两直线方程分别为 容易求其方向向量分别为s1=(0, 2, -1), s2=(5, 0, 2). 说明L1与L2共面不平行. 因此, 他们是两条相交直线, 进一步可写出其对称式方程, 为

例6-20 求过直线 , 且垂直于平面 x+4y-3z+7=0的平面. 解 过点(2, -1, 3)做平行于已知平面的平面, 有 3(x-2)-2(y+1)+(z-3)=0, 即3x-2y+z+11=0. 把已知直线的参数式x=2t+1, y=-3t, z=t-2代入此平面得 从而得交点 所求直线为 化简得

例6-21 求过直线 , 且垂直于平面 x+4y-3z+7=0的平面. 解 现将已知直线化成一般式, 有 再写出过L的平面束方程为2x-5y+9+ (2y-z+7)=0. 此平面与已知平面垂直, 故2+4(2-5)+3=0. 解出 故所求平面为 即 22x-19y-18z-27=0.

例6-22 已知直线 求其在平面 2x+z+4=0上的投影直线方程. 解 过已知直线L的平面束方程为 x-2y+z-1+ (x+2y-z+3)=0. 即(1+)x+(-2+2)y+(1-)z+(-1+3)=0. (1) 若(1)为投影平面, 此平面应与已知平面垂直. 有 2(1+)+(1-)=0, 得= -3. 代入(1)得x+4y-2z+5=0. 投影直线方程为

点(1, 1, 1)的直线成45角. 求此直线上点的坐标满足 例6-23 一条直线通过坐标原点, 且和连接原点与 点(1, 1, 1)的直线成45角. 求此直线上点的坐标满足 的关系式. 解 设此直线上的点为A(x, y, z), 由于AOM= 45, 故OA=xi+yj+zk, OM=i+j+k. 两边平方, 整理得x2+y2+z2 - 4yz - 4zx - 4xy = 0. 注 这实际上是半顶角为45, 以OM为对称轴的正圆锥面.

例6-24 求曲线 平行于z轴的投影柱面. 解 将式(2)代入式(1), 有 整理得4x2-9y2=36, 即为所求.

例6-25 若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴, 且点A(-1, -2, 2)和B(1, 1, 1)在该曲面上, 求此曲面方程. 解 设所求的曲面方程为 其中a, b为 待定参数. 将点A, B坐标代入曲面方程得 所求曲面方程为

例6-26 求通过直线 且切于球面 x2+y2+z2=4的平面方程. 解 过已知直线的平面束方程为 (4+2)x+(2+)y+3z-6=0. 此平面切于已知球面. 故球心至此平面的距离为 解得=2. 所求平面为[4+2×(-2)]x+(2-2)y+3z-6=0, 即z=2.

解 设M0(x0, y0, z0)为椭圆上的一点, 则连接A, M0 为准线的锥面方程. 解 设M0(x0, y0, z0)为椭圆上的一点, 则连接A, M0 两点的直线方程为 M(x, y, z)为直线 M(x,y,z) x 3 A(0,0,1) M0(x0,y0,z0) z y 上任一点, 如图所示. 由于M0(x0, y0, z0)在椭圆上, 故适合其方程,

将 代入上面的方程, 得 故所求锥面方程为

例6-28 试证在单叶双曲面 上可以配置无数条直线. 证 把原曲面方程改写成 它可以看作两直线 两边相乘得到的. 而后者是直线方程, 随着k的变化, 而成为不同的直线, 这些直线在原曲面上.