第七章 空间解析几何与向量代数 用代数的方法研究几何问题称为解析几何 平面解析几何 一元微积分 空间解析几何 多元微积分 本章的主要内容 : 第七章 空间解析几何与向量代数 用代数的方法研究几何问题称为解析几何 平面解析几何 一元微积分 空间解析几何 多元微积分 本章的主要内容 : 1 向量和向量的运算; 2 空间曲面和曲线; 3 空间的平面和直线; 4 二次曲面.
第一节 空间直角坐标系 一. 空间直角坐标系 坐标平面 坐标轴 x 轴, 横轴 y 轴, 纵轴 面 z 轴, 竖轴 右手系 坐标原点 第一节 空间直角坐标系 一. 空间直角坐标系 图9-1 空间直角坐标系 右手系 x 轴, 横轴 y 轴, 纵轴 z 轴, 竖轴 坐标原点 坐标轴 面 坐标平面
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 三个坐标面把空间分隔成 八个部分，每个部分称为卦限。 第二卦限: 第三卦限: 第四卦限: 第五卦限: 第六卦限: 第七卦限: 第一卦限: 第八卦限:
点P, Q, R称为点M 在坐标轴 上的投影. 空间一点 唯一确定一个 有序数组 一个有序数组 确定唯一点 P Q R M 点M 的坐标 分别叫做点M 的横坐标, 纵坐标, 竖坐标. 点M 记为:
坐标轴和坐标平面上的点的特征 既不在原点, 也不在坐标轴或坐标面上，
x1 x2 y2 y1 z1 z2 P 二. 空间两点间的距离公式 ------------空间两点间的距离公式。 特殊的
的三角形是一等腰三角形。 例1 求证以 三点为顶点 解 因为 即 为等腰三角形。
例2. 在 Z 轴上求与两点 A(- 4,1,7) 和 B(3,5,- 2)等距离的点。 解 解得 所求的点为
第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法 一. 向量概念 数量或标量：只有大小的量, 如长度, 面积, 体积, 温度等； 第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法 一. 向量概念 数量或标量：只有大小的量, 如长度, 面积, 体积, 温度等； 向量或矢量：不仅有大小, 而且有方向, 如速度, 加速度, 力, 位移等； 有向线段的方向表示向量的方向. 用有向线段来表示向量: 有向线段的长度表示向量的大小, 记作： M1M2 向量用 等表示。
原点 O 为起点, M 为终点的向量 点 M 对于点 O 的向径: 自由向量：与起点无关的向量（简称向量）。 两个向量相等：大小相等， 方向相同。记作 向量的模：向量的大小。记作 单位向量：模等于 １ 的向量。 零向量：模等于零的向量。记作 注：零向量的起点和终点重合， 方向可任意。 两个向量平行：两个非零向量的方向相同或相反。 规定：零向量与任何向量平行。 记作 ∥
向量加法的三角形法则： 则 二. 向量的加减法
向量加法的平行四边形法则： 则 向量加法符合下列规律： (1) 交换律： (2) 结合律：
负向量：与 的模相同而方向相反的向量叫做 负向量。 n 个向量的和： 向量加法的多边形法则 负向量：与 的模相同而方向相反的向量叫做 负向量。 记作
两个向量的差: 规定： 特别地：当 时，有 其中等号当 与 同向或反向时成立。
三.向量与数的乘法（数乘向量） 向量 与实数 的乘积记作 规定： 是一个向量， 它的模: 它的方向: 与 相同 相反 当 时，
数乘的运算规律 : (1) 结合律: (2) 分配律: 定理1 证 充分性 显然(数乘向量及平行的定义)。 设 必要性 取 先证λ的存在性： 当 与 反向时， 取负值。 当 与 同向时， 取正值； 规定: (1) 与 同向;
(2) 大小相等 即有： 再证λ的唯一性： 证毕
设 表示与 同方向的单位向量， 模为1 方向相同； 则（1） 与 由于 的模为： （2） 与 的模也相同。 规定 时， ，则
例1 在平行四边形 ABCD 中，设 求： 其中 M 是平行四边形的对角线的交点。 解
小结： 1．空间直角坐标系、坐标轴、坐标平面、卦限 2．空间内的点及其坐标 3．空间两点间的距离公式 4．向量的概念 5．向量的加法与减法 6．数乘向量