第九章 欧 氏 空 间 欧氏空间是通常解析几何中空间的进一步推广,它是在实数域上向量空间里引入“内积”,从而可以合理地定义向量的长度和两个向量的夹角,使空间具有的性质更接近解析几何里的空间.另一方面,在空间中引入“内积”的思想给我们开辟了新的研究领域.
比如对二次型理论的研究,本来它起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类问题. 在解析几何中可以利用坐标变换讨论它的标准形问题 比如对二次型理论的研究,本来它起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类问题.在解析几何中可以利用坐标变换讨论它的标准形问题.然而我们利用空间中引入“内积”研究任意数域上的二次型将得到丰富的结果;特别地实二次型在应用上是最重要的一类二次型,对它的一部分理论的讨论恰可在欧氏空间中进行,这些结果我们将在本章中见到.
这一章比起前两章来说要容易一些,因而容易忽视领会本章研究问题的新特点 这一章比起前两章来说要容易一些,因而容易忽视领会本章研究问题的新特点.在这里,我们不仅要与通常解析几何里空间比较,更重要的是掌握空间引入内积后带来的变化和处理问题的方法.这样也可以为学好下一章做些准备。
实数域Ｒ上带有(满足一定条件的)内积的线性空间称为欧氏空间. 9－1. 向量的内积 Definition 1 设V是实数域R上的线性空间,V上定义一个二元函数,称为内积,记为(ξ,η); Ｖ×Ｖ→Ｒ; 对于任意的ξ,η∈Ｖ, ,a∈Ｒ,满足条件： (1)(ξ,η)=(η,ξ);（对称性） (2)(ξ＋η,ζ)＝(ξ,ζ)＋(η,ζ) (3)(aξ,η)＝a(ξ,η)((2),(3)线性性质) (4)当ξ≠０时,(ξ,ξ)＞０(正定性） 实数域Ｒ上带有(满足一定条件的)内积的线性空间称为欧氏空间.
向量内积的重要性质 1.对任意向量ξ,(ξ,η)=0的充分必要条件是η=0;(证明一个向量为零向量时常常用到) 2.向量的内积是对称的,即
Definition 2 (向量的长度)
Definition 3 (两个向量的夹角)
柯西－施瓦兹不等式 在一个欧氏空间里,对于任意向量ξ,η,有不等式 (ξ,η)2 ≤(ξ,ξ)(η,η)； 当且仅当ξ与η线性相关时,才取等号.由此即得不等式 │ξ＋η│≤│ξ│＋│η│.
长度为1的向量称为单位向量 非零向量的单位化: 是与α同项的单位向量
如果向量α与β正交,则 |α+β|2=|α|2+|β|2 推广得到:| 如果向量α与β正交,则 |α+β|2=|α|2+|β|2 推广得到:|
▲ 两向量ξ,η的距离 d（ξ,η）＝│ξ－η│满足： (1)当ξ≠η时,d（ξ,η）＞０； (2) d（ξ，η）= d（η，ξ）； (3) d（ξ,ζ）≤ d（ξ,η）＋ d（η,ζ). (三角不等式)