第12讲 向量空间,齐次线性方程组的结构解 主要内容： 1. 向量空间 (1) 向量空间的定义 (2) 向量空间的基 2. (最重要内容)齐次线性方程组的结构解

3.4 向量空间 给定向量组A及其极大无关组B，由于A与B等价，A中的每个向量都是B的线性组合. 现在的问题是，是否B的任意线性组合都属于A? 回答是否定的. 若A是向量空间，则答案是肯定的. 向量空间的几何背景是解析几何中的R2和R3，直到19世纪上半叶才推广到一般的向量空间.

3.4.1 向量空间的定义 Def 3.9 设V是向量组，若V满足以下两个条件，则称V为向量空间. (1) 任意,   V, 有 +   V. (V关于向量的加法运算封闭) (2) 任意  V,以及任意   R，有  V. (V关于向量的数乘运算封闭) 为了简单，我们忽略了向量空间所在的数域，通常在实数范围内讨论.

例如Rm是向量空间，因为Rm是所有m维向量构成的向量组，它关于向量的加法运算和数乘封闭. 例3.14 设 则V是向量空间.

例子中的V实际上是R3中的xOy坐标面，但 不是向量空间，因为取 = 2,

例3.15 设a和b是R3中的两个线性无关的向量，如 令 则V是向量空间.

V是由向量a和b生成的向量空间，在R3中，它是通过a和b的平面. 一般地，设向量组为1, 2,…, n,则 是向量空间，称为由1, 2,…, n生成的向量空间,可表示为 Span{1, 2,…, n}

3.4.2 向量空间的基与坐标 由于向量空间是特殊的向量组，把 Def 3.10 向量空间V的极大线性无关组称为是向量空间的基(basis)，极大线性无关组中所含的向量个数称为是V的维数(dimensionality)，记为dim(V). 显然，若V = {0}，V不存在基，这时dim(V) = 0.

由于 是R3的极大无关组，所以它是R3的一个基. 实际上，i, j, k是空间直角坐标系的三个坐标向量. 于是，dim(R3) = 3，即R3是3维空间.

容易验证 是R3的一个基. 由定理3.5知，对于维数为n的向量空间V，若V存在n个线性无关的向量1, 2, …, n ，则1, 2,…, n一定是V的基.

例3.16 设V是向量空间， 1, 2,…, n是V的基, 则 Proof

取R3中的基为i, j, k，对于任意 x, y, z为该向量在基i, j, k下的坐标. Def 3.11设V是向量空间, 1, 2,…, n是V的一个基，对于任意  V, 令 则称(x1, x2,…, xn)为向量在基1, 2,…, n下的坐标.

例3.17 计算向量 =(x, y, z)T在基 下的坐标.

3.5 线性方程组的结构解 本节在前面建立的向量空间的基础上讨论线性方程组解与解之间的联系，它可以看作是向量空间理论的一个应用. 对于非齐次线性方程组Amnx = b的讨论，可归结到其对应的齐次线性方程组为Amnx = 0的讨论，此讨论方法可用于诸如非齐次线性微分方程(组)的解的讨论等. 本节涉及内容较多，解题方法灵活，是本章的重点内容之一. 首先对齐次线性方程组进行单独讨论.

3.5.1 齐次线性方程组的结构解 Theorem 3.6 设S是n元齐次线性方程组Amnx = 0的所有解向量组成的集合，即S = {x|Ax = 0}. 则S是向量空间，称为Ax = 0的解空间(solution space). Proof 显然0  S  . (1) S关于向量的加法运算封闭: 任意1, 2  S,这时A1= 0, A2= 0.

于是, A(1 + 2) = A1 + A2 = 0 + 0 = 0.因此,1 + 2  S. (2) S关于向量的数乘运算封闭: 任意  S,以及任意   R，由于A = 0, 所以A() =  (A) =  0 = 0,因此有  S.

从定理3.6的证明过程知，齐次线性方程组Amnx = 0具有下列性质. 性质1 若A1= 0, A2= 0, 则A(1 + 2) = 0. 性质2 若A = 0,   R，则A() = 0. 推而广之，齐次线性方程组Amnx = 0若干个解的线性组合仍是它的解.

为了方便，将解空间S的基称为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系(system of fundamental solutions). 根据定理3.6知，只要得出Ax = 0的一个基础解系，则S是由这个基础解系生成的向量空间，就可得出Ax = 0的所有解，即通解.

求出基础解系，实际上是得出齐次线性方程组解的一个框架结构，这样得出所有的通解称为Ax = 0的结构解(structural solutions of Ax = 0)，它也是通解的一种形式. 首先证明

Theorem 3. 7 设S是n元齐次线性方程组Amnx = 0的解空间，若R(A) = r，则dim(S) = n – r Theorem 3.7 设S是n元齐次线性方程组Amnx = 0的解空间，若R(A) = r，则dim(S) = n – r. 换句话说，n元齐次线性方程组Amnx = 0的基础解系中含解向量的个数为n – r. Proof 若R(A) = n，由定理1.2知，齐次线性方程组Amnx = 0只有零解，这时dim(S) = 0，结论成立. 假设R(A) = r < n，则Amnx = 0有n – r个自由未知量，不妨设为

按1.3节,令 则Amnx = 0的所有解为

令

一方面，由于 另一方面，S中任意向量可写成(3.9)式，即S中任意向量都是 的线性组合. 因此，它是齐次线性方程组Amnx = 0的基础解系，其中含n – r个解向量.#

设R(A) = r,只要得出任意的n – r个线性无关的Amnx = 0的解向量,它就是Amnx = 0的基础解系，进而S是由其基生成的向量空间. R(A) = r，求解Ax = 0的基础解系的方法： Step1 将系数矩阵化成行最简形. Step2 确定出n – r个自由未知量. Step3 得出类似于(10)式n – r个线性无关的向量组，进而可得出类似于(3.8)式的n – r个线性无关的解向量，它就是齐次线性方程组Amnx = 0的基础解系.

例3.19 求下列齐次线性方程组的结构解. Solution 可确定x2和x4为自由未知量.

令 结构解为

Remark 1. 最后得到的结构解(3.12)与在第1章用高斯消元得到的通解 是完全一致的.

2.若在Step 3令

令

由向量空间理论知,任意两个基础解系都是解空间S的基,它们是等价的,因而(3. 12)、(3. 13)和(3. 14)都是齐次线性方程组(3 结构解是通解的一种形式,它与第1章1.3节用高斯消元法得出的通解本质相同. 对于非齐次线性方程组有同样的结论,见下面的讨论.

实际上,若不要求给出结构解,按第1章高斯消元法得出其通解更方便. 容易知道,求结构解比用高斯消元法得出通解更灵活,只需要得出一个基础解系即可. 在下一章计算方阵的特征向量时就需要这种基础解系,换句话说,基础解系本身也是非常重要的. 利用线性方程组的有关理论,主要是定理3.7,可以证明一些关于矩阵秩的重要结论.

Theorem 3.8 设AmnBnk = 0，则R(A) + R(B)≤n. Proof