高中数学 必修2 2.3.1 空间直角坐标系 南京市第十四中学
问题情境 平面解析几何的基本思想是什么? 借助平面直角坐标系，用代数方法来研究直线、圆等图形的有关性质． 建立平面直角坐标系，平面上任意一点与坐标建立一一对应关系． 直线、圆等几何图形就与方程f(x，y)＝0建立对应关系，进而利用方程揭 示图形的有关性质． 那么，怎样用坐标来表示空间任意一点的位置呢？
数学建构 z 空间直角坐标系 从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz． 点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面． y O x 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．
数学建构 A O z y x 空间直角坐标系画法与表示. 通常，将空间直角坐标系画在纸上时， x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴． y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等． A y O 对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上 的射影，即通过点A作三个平面分别垂直 于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R．点P，Q，R 在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做 点A的坐标，记为A(x，y，z)． x
数学应用 在空间直角坐标系中，作出点P(5，4，6)． z O y x
数学应用 例2．如图，已知长方体ABCD－ABCD的边长为AB＝12，AD＝18， AA＝5．以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标． A z B D C A B y D C x
数学应用 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 写出正方体各顶点的坐标． z D B C A1 D1 C1 A x z y O 建立适当空间直角坐标系．
数学应用 在正四棱锥S－ABCD中，建立如图所示的空间直角坐标系，根据条件，确定各顶点的坐标． z S 13 D C O A B y x
数学应用 P(3，－2，－1) 点P(3，－2，1)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为_________________； 点Q(－2，－3，1)关于原点的对称点的坐标为_________________； 点R(2，4，1)关于z轴的对称点的坐标为_____________________． Q(2，3，－1) R(－ 2，－ 4，1)
数学建构 空间任一点P(x，y，z)关于原点、轴、坐标平面的对称点的坐标特征. 点P(x，y，z)关于 原点的对称点的坐标为______________________； 坐标平面xOy的对称点的坐标为_______________； 坐标平面yOz的对称点的坐标为_______________； x轴的对称点的坐标为________________________； z轴的对称点的坐标为________________________． P1(－x，－y，－z) P2(x，y，－z) P3(－x ，y，z) P4(x，－y，－z) P5(－x，－y，z)
数学应用 1．下列点中，位于yoz平面内的是( ) B A.(2，2，0) B.(0，2，2) C.(2，0，2) D.(2，0，0) 2．点P(4，2，6)在xOy平面内射影P的坐标是________. 3．点P(－2，－1，4)到xOz平面的距离是____________. B (4，2，0) 1
数学建构 空间内落在坐标轴上或坐标平面内的点的坐标特征. z＝0 平面xOy内点的坐标特征为________________； 平面yOz内点的坐标特征为________________； 平面xOz内点的坐标特征为________________； x轴上点的坐标特征为_____________________； y轴上点的坐标特征为_____________________； z轴上点的坐标特征为_____________________． z＝0 x＝0 y＝0 y＝0，且z＝0 x＝0，且z＝0 x＝0，且y＝0
数学应用 例3．(1)在空间直角坐标系O-xyz中，画出不共线的3个点P，Q，R，使得这3个点的坐标都满足z＝3，并画出图形； (2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件． z y O x
数学应用 如图，已知四棱锥P－ABCD中，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M是PC的中点，N在PB上，且PN＝3NB，已知AB＝4，AD＝3，PA＝5， 建立如图所示坐标系，写出点P，A，B，C，D，M，N的坐标． z P M N D A y B C x
小结 1．右手坐标系的建立； 2．坐标轴、坐标面； 3．根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标的方法．
作业 课本122-123页习题2.3第1，6.