第七章 向量代数与空间解析几何 如同平面解析几何那样，空间解析几何是通过建立空间直角坐标，把空间的点与三元有序数组对应起来，用三元方程及方程组来表示空间几何图形，从而可以用代数的方法来研究空间几何问题，而这又是学习微积分的基础。 §1 向量及其线性运算 一.向量的概念 1.数量与向量：仅有数值大小的物理量称数量或标量，如温度、时间等。不仅有大小，还有方向的量称向量或矢量，如力、速度等。 2.向量的表示：一般用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向。

3.向量的记法： ①用粗体字母，如a、I；或上面加箭头的字母，如 的模记为 4.向量的模：即向量的大小， 特殊情形： 单位向量：模等于1；零向量：模等于0，记为0， 其方向可以是任意的；负向量：与a大小相等方向相反的向量，记为-a. ②用顺序写出始点和终点的记法，如 而其属性不变，本章中只研究自由向量。 5.自由向量：与始点位置无关的向量，可以对其进行平 移

若a与b在同一条直线上或在两条平行直线上， 6.平行向量： 若a与b在同一条直线上或在两条平行直线上， 称为平行向量，也称为共线，易知其方向相同或相反。 7.向量相等：大小相等，方向相同，记a=b. 二.向量的线性运算： 1.向量的加法：（即向量的合成，可参照力的合成法则） ①定义：将a、b的始点放在一起，以a、b 为邻边作 平行四边形，则从始点到对角顶点的向量称a、b 的和， 记a+b（称平行四边形法则）。 a b a+b

②平行向量的和：当a与b方向相同时，其和向量的模 等于两向量模之和，其方向与a、b 方向相同；当a与b 方向相反时，其和向量的模等于两向量模之差，其方 向与a、b 中模较大的向量的方向相同； ③特殊情况： a+0 = a ； a +（- a ）= 0. ④三角形法则：向量的加法还可以使用三角形法则， 如图： a b a+b ⑤运算律： 1）交换律：a+b=b+a 2）结合律：（a+b）+c= a+(b+c)

2.向量的减法：两向量a与b的差a-b规定为a+（-b）， 可使用三角形法则求出，如图：

a. 3.向量与数的乘法： ①定义：向量a与数 的乘积仍为一向量，记为 其模： 其方向：当>0时与a相同，当<0时与a相反， =0时为零向 量；特别：1· a= a，（-1） a= - a. ②两个非零向量平行充要条件：存在≠0，使a= b. ③非零向量单位化：设a ≠0，与a同向的单位向量记为 ao，易知ao=

=a, ④运算律： 结合律：(a)=( a )=() a 分配律：（+） a =  a + a ；（ a + b)=  a + b =a, 三.向量在轴上的投影 1.两非零向量的夹角：设a 、b≠0，将其始点移至 同一点O，设 =b,则规定向量 与 之间不超过的夹角为 向量a 与b之间的夹角，记作（ a ,^b),或（ b，^ a). 如图： B a b A O  类似地可规定向量与一坐标轴的夹角或空间两轴的夹角.

①点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，则与u的交点A’称为A在轴u上的投影. 如图： 2.向量在轴上的投影： ①点在轴上的投影：过A作轴u的垂直平面，则与u的交点A’称为A在轴u上的投影. 如图： A A’ ②向量在轴上的投影： 设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2）， 则x2-x1称为向量 在x轴的投影，记作 同样

令 分别为x轴上的单位向量，则有 或 将投影 ， 分别叫做向量 的坐标 再设C点的坐标 ，则 不难证明 即和的投影等于投影的和 一般地有： 个向量之和在 轴上的投影等于各个向 量在 轴上投影之和

其中= 3.关于向量投影的定理： 定理1：向量 在轴 上的投影等于向量的模 乘以轴与向量的夹角的余弦。 即 定理1：向量 在轴 上的投影等于向量的模 乘以轴与向量的夹角的余弦。 其中= 即 注：①相等向量在同一轴上的投影相等。 ②易知，当向量与轴成锐角时投影为正；成钝 角时投影为 负；成直角时投影为0. B AA’ u B’ B” u’ 

 任何一个向量可在坐标轴上的分解，即 分别称为 在 轴， 轴上的向量 称为投影，或坐标，或数量 若已知向量的坐标 ,则向量的大小和 方向就被确定由 可得 称为 的方向余弦

总之，我们将数量和向量这一对 矛盾统一在 之中 定理：数与向量的乘积在轴上的投影等于向量在轴上 的投影与数的乘积 §2 空间直角坐标系与向量的坐标 一.空间直角坐标系： 1.定义：由过同一原点O作三条相互垂直的数轴（分别 称ox轴、oy轴、oz轴，又称横轴、纵轴、竖轴，按右手 法则排列）所组成的坐标系称为空间直角坐标系，记为 Oxyz。

2.有关概念：在上面定义中的点O称为坐标原点； Ox轴、Oy轴、Oz轴称坐标轴；由每两条坐标轴所确 定的平面称为坐标平面，其中由Ox轴和Oy轴所确定 的平面称为xOy面，依次类推；三个坐标平面把整 个空间分为八个部分，每个部分称为一个卦限， 其中以三坐标轴正向确定的称第Ⅰ卦限，按逆时针方向依次称第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，第Ⅰ卦限下面称第Ⅴ卦限，再按逆时针方向依次称第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限。 3.点的坐标：设有空间中点M，过M作三个平面分别垂直于Ox、Oy、Oz轴，并分别交三轴于点P、Q、R，设这三点在三轴上的坐标分别为x、y、z，则称M点的在该空间坐标系中的坐标为（x,y,z)，并记M点为M(x,y,z).如图：

其中x、y、z分别称M点的横坐标、纵坐标和竖坐标。 4.坐标特征：点的坐标有以下特征： O Q P z y x M R 其中x、y、z分别称M点的横坐标、纵坐标和竖坐标。 4.坐标特征：点的坐标有以下特征： 坐标原点：（0,0,0）； 坐标轴：x轴上为（x,0,0)，y轴上为（0,y,0)， z轴上为（0,0,z)； 坐标平面：xOy面上为（x,y,0)，yOz面上为（0,y,z)，zOx上为 （x,0,z)； 坐标卦限：在第Ⅰ―Ⅷ卦限中的点的坐标的符号依次为 (+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,+),(+,-,-).

二.向量的坐标： 1.基本单位向量： 正向相同的三个单位向量 与x轴、y轴、z轴 分别记为i、j、k. 2.点M的向径的坐标： 设有空间中点M（x,y,z)， 为点M的向径， 称向量 此向量的坐标为 也可记为

3.向量 的坐标： 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中两点， ={x2-x1,y2-y1,z2-z1} 易知： 4.i、j、k的坐标： 易知i、j、k的坐标分别为{1,0,0},{0,1,0},{0,01} 5.向量线性运算的坐标（代数）表示： 设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有 ab=(ax bx)i+(ay by)j+(az bz)k a=(ax)i+(ay)j+(az)k

6.两向量平行的充要条件： 我们已知两向量a与b平行的充要条件是a= b, 即ax= bx,ay= by,az= bz,从中消去得 即两向量平行的充要条件是 其坐标对应成比例， 其中若上式中某个分母为0，则其分子也为0.

例1 已知两向量a=6i-4j+10k,b=3i+4j-9k, 求a+2b,3a-2b. 解 a+2b=(6+6)i+(-4+8)j+(10-8)k=12i+4j-8k 3a-2b=(18-6)i+(-12-8)j+(30+18)k=12i-20j+48k 三.模与方向余弦的坐标表示： 1.模：

称a与三坐标轴正向的夹角、、为该向量的方向角， 2.方向余弦： 称a与三坐标轴正向的夹角、、为该向量的方向角， 其余弦称为该向量的方向余弦。 易知 3.方向余弦的性质： ① ② 4.两点之间距离公式： 设有空间中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)， 则此两点之间的距离为