空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程

自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关. 向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反. 第一节 向量及其线性运算 A B 一、向量概念 向量：有向线段. 符号表示： ， ， ， ，等. 向量的大小：长度的值. 向量的方向：箭头方向. 自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关. 自由向量的相等：大小相等且指向相同. 向量的模：向量的长度. | |， | | 单位向量：模为1的向量. 零向量：模等于零的向量，其方向任意. 向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反. k个向量共面： k( 2)个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上.

二、向量的线性运算 1. 向量的加减法 加法： (1) 三角形法则 (2) 平行四边形法则 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： 多个向量相加，可以按照三角形法则. 负向量： 大小相等但方向相反的向量.

减法 ： 特例：

2. 向量与数的乘法 向量 与实数 的乘积记作 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律：

例1 在平行四边形ABCD中， 设 . 试用 和 表示向量 、 、 和 这里M是平行四边形对角线的角交点. D C , . 试用 和 表示向量 、 、 和 , 这里M是平行四边形对角线的角交点. D C 解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 M 即 于是 A B 因为 所以 又因 所以 由于 所以

设 表示与非零向量 同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 两个向量的平行关系 定理 设向量 ，那么，向量 平行于 的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 .

‖ 证 充分性显然； 必要性 设 取 当 与 同向时 取正值， 当 与 反向时 取负值， 即有 此时 与 同向，且 的唯一性 设 又设 当 与 同向时 取正值， 当 与 反向时 取负值， 即有 此时 与 同向，且 的唯一性 设 又设 两式相减，得 即 故 即

x 点P 向量 ． = xi 实数x O i P x 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 . = xi

Z X Y O Oxyz坐标系可记作[O； ， ， ]坐标系 三、空间直角坐标系 Z 坐标轴：取空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴);点O叫作坐标原点（或原点）.通常取x轴、y轴水平放置； z轴竖直放置，它们的正向符合右手法则. X Y O Oxyz坐标系可记作[O； ， ， ]坐标系 图7-1 坐标面：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOy面、 yOz面、xOz面. 卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.

Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如 . 向量 的坐标分解式： 向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如 . 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点

四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 （ 为实数） 推论：

例2 求解以向量为未知元的线性方程组 其中 解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，可解得 以 的坐标表示式代入，即得

( ) ( ) x1,,y1,z1 x2,,y2,z2 A B l AB M 例 3 已知 和 以及实数 1 - ¹ ，在 直线上求点 ,使 解 设 为直线上的点， 由题意知： 这就是点M的坐标.

五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点的距离公式 向量的模： 设有点 ， 则其距离为 例4 求证以 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解 因为 同理可得 所以, , 即 为等腰三角形.

例5 在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解 因为所求的点M在z轴上,所以设M(0,0,z),依题义有 即 两边去根号,解得 z= 所求的点M(0,0, ). 例6 已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),求与AB 方向相同得单位向量 . 解 因为 AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2), 所以 , 于是

类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. B 2. 方向角与方向余弦 两向量的夹角的概念： 设 A 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

非零向量与三条坐标轴的正向的夹角 方向角： 设非零向量 r =(x,y,z) O z y x r 的方向角： P Q R 方向余弦: M 方向余弦的特征: 单位向量 的方向余弦为:

例7 已知两点 和 ，计算向量 得模、方向余弦和方向角. 解

例8 设点A位于第 卦限,向径OA与x轴、y轴的夹角依次为 和 ，且 ，求点A的坐标。 解 依题意有 由关系式 得 因点A在第 卦限,知 ，故 于是 这就是点A的坐标.

过点 作轴 的垂直平面，交点即为点 在轴 上的投影. 3. 向量在轴上的投影 空间一点在轴上的投影: 过点 作轴 的垂直平面，交点即为点 在轴 上的投影. . 设 ，则数 称为向量 在 轴上的投影，记作 或 . 设 则 或记作

性质1 (即 ), 其中 为向量 与 轴的夹角; 性质2 (即 ); 性质3 (即 ). 例9 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且 , 求OA在OM方向上的投影Prj . 解 记 有 于是Prj 返回