第二章 轨迹与方程 §2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程 §2.3 母线平行于坐标轴的方程 §2.4 空间曲线的方程

第二章 轨迹与方程 2.1平面曲线的一般方程复习(P.67)

§2.2、曲面方程的概念 学习目标：通过本节的学习，系统地 理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参 数方程的求法及关系，了解几种著名的曲 面及它们参数方程的建立. 重点：曲面方程的概念；曲面矢量参 数方程的求法. 难点：曲面参数方程的求法

曲面的坐标方程 空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可 由点的坐标所满足的方程来表达.因此，空间 曲面可由方程来表示，反过来也成立.

为此，我们给出如下定义： 定义2.2.1

以下给出几例常见的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为

解 根据题意有 所求方程为

例4 方程 的图形是怎样的？

解 根据题意有 化简得所求方程

例4 方程 的图形是怎样的？ 解 根据题意有 图形上不封顶，下封底．

思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

思考题解答 方程 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线

2. 曲面的参数方程 设在两个变数 的变动区域内定义了 双参数矢量函数 （2.2-3） 或 当 取遍变动区域的一切值时，其终点 （ 设在两个变数 的变动区域内定义了 双参数矢量函数 （2.2-3） 或 ， （2.2-4） 当 取遍变动区域的一切值时，其终点 （ ）所画轨迹一般为一 曲面(图2-9).

定义2.2.2 如果 （ ） 一切可能取的值，由（2.2-4）表示的径矢 的终点 总在一曲面上；反过来， 这个曲面上的任意点 总对应着以它为终 点的径矢，且此径矢可由 的值（ ）通过（2.2-4）完全决 定，那么把表达式（2.2-4）叫做曲面的矢量 参数方程，其中 为参数.

因为径矢 的分量为 ，所以曲面的参数方程可写为 （2.2-5） 表达式（2.2-5）叫曲面的坐标式参数方程.

例3 求中心在原点，半径等于 的球面的参数方程. . 例3 求中心在原点，半径等于 的球面的参数方程. . 解 设 是球面上的任意一点， 在 xoy 面上的射影为P ，而 P 在 x 轴上的射影为 Q 设OZ轴 ,与 的夹角 （图2-10）， O P Q M x y z

那么 且 ， ， ，所以 . （2.2-6） 为该球面的矢量式参数方程.其坐标式参数方程为

其中 是参数，且 .

2．3母线平行于坐标轴的柱面方程 学习目标：通过本节的学习，系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征. 重点：平行于轴的柱面方程的概念及其方程的求法. 难点：方程的求法.

首先分析一个实例： 例2.3.1 方程 表示怎样的曲面? 解 在xoy面上表示圆心在原点，半径为R的圆. 在空间直角坐标中，该方程不含变量z，即不论z取何值，只要横坐标x

和纵坐标y适合方程的空间点M(x,y,z)均在该曲面上 和纵坐标y适合方程的空间点M(x,y,z)均在该曲面上.也就是说，过圆 上的点且平行于z轴的直线都在该曲面上，因此，曲面是由平行于z轴的直线沿面上的圆移动而形成的（图2-11）. 这一曲面称作圆柱面.xoy面上的 圆称之为准线，那些平行于z轴且过准线的直线叫做母线. 一般地，我们给出柱面的定义如下：

从实例可看出，柱面的方程与对应的准 线方程是同一个方程. 注 ：对一个二元方程，在平面坐标系内 表示一曲线（包含直线）；但在空间坐标系 定义2.3.1平行于z轴并沿xoy面内的定曲线C： ， （2.3.1） 移动的直线L形成的轨迹称之为母线平行于z轴的柱面. 定曲线C称为柱面的准线， 动直线L称为柱面的母线. 从实例可看出，柱面的方程与对应的准 线方程是同一个方程. 注 ：对一个二元方程，在平面坐标系内 表示一曲线（包含直线）；但在空间坐标系 内表示一柱面，不含 中哪一个坐标， 表明柱面的母线平行于该轴.如方程

平面 抛物柱面 平面方程： 抛物柱面方程：

（其他类推） 从柱面方程看柱面的特征： 实 例 椭圆柱面， 母线// 轴 双曲柱面 ， 母线// 轴 抛物柱面， 母线// 轴

椭圆柱面 z x y o b a

双曲柱面 z x y = 0 o y

抛物柱面 z x y o 柱面都是直纹面，而且都是可展曲面

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）

第四节 曲线及其方程 曲线的投影 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、小结

一、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 特点：

方程组 表示怎样的曲线？ 例1 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆.

方程组 表示怎样的曲线？ 例2 解 上半球面, 圆柱面, 交线图

二、空间曲线的参数方程 空间曲线的参数方程

取时间t为参数， 动点从A点出发，经过t 时间，运动到M点 解 螺旋线 取时间t为参数， 动点从A点出发，经过t 时间，运动到M点 解 螺旋线的参数方程

acos t x = y = asin t z = bt 当 t 从 0  2， 螺线从点P  Q 叫螺距 a x 14. 空间曲线——圆柱螺线 点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面 y z x M(x,y,z) x = y = z = acos t asin t bt （移动及转动都是等速进 行，所以z与t成正比。) Q 当 t 从 0  2， 螺线从点P  Q M 叫螺距 a t P N .

螺旋线 的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即 上升的高度 螺距

螺旋线投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 消去变量z后得： 曲线关于 的投影柱面 投影柱面的特征： 曲线关于 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 空间曲线在 面上的投影曲线 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的 投影曲线： 面上的 投影曲线：

15. 空间曲线在坐标面上的投影 y x z o 解 由 得交线L： 1 .

15. 空间曲线在坐标面上的投影 y x z o 投影柱面 解 由 L 得交线L： 1 z =0 . . . . .

求曲线 在坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 （2）因为曲线在平面 上， 所以在 面上的投影为线段 求曲线 在坐标面上的投影. 例4 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 （2）因为曲线在平面 上， 所以在 面上的投影为线段 （3）同理在 面上的投影 也为线段

例5 解 截线方程为

补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面

z C xoy xoy \ 和 设一个立方体,由上半球面 锥面所围成,求它在 面上的投影. 解 半球面和锥面的交线为 得投影柱面 消去 例6 和 设一个立方体,由上半球面 锥面所围成,求它在 面上的投影. 解 半球面和锥面的交线为 z 得投影柱面 消去 则交线 C 在 xoy 面上的投影为 一个圆, 面上的投影为 所求立体在 xoy \

16. 空间曲线作为投影柱面的交线(1) L: x z y y2 = – 4x ( ) 消去z y2 = – 4x

16. 空间曲线作为投影柱面的交线(1) y2+(z – 2)2 = 4 L: z y2 = – 4x ( ) 消去z y2 = – 4x ( ) 消去z y2+(z – 2)2 = 4 (消去x ) y2 = – 4x .

16. 空间曲线作为投影柱面的交线(1) 转动坐标系，有下页图 转动坐标系，有下页图 y2+(z – 2)2 = 4 L: z x z y y2 = – 4x ( ) 消去z L： y2+(z – 2)2 = 4 (消去x ) . L y2 = – 4x 转动坐标系，有下页图 转动坐标系，有下页图 .

16. 空间曲线作为投影柱面的交线(2) y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去x) L： y2 = – 4x (消去z) z 16. 空间曲线作为投影柱面的交线(2) y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去x) L： y2 = – 4x (消去z) x z y y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x L

四、小结 空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线在坐标面上的投影．

思考题

思考题 思考题解答 交线方程为 在 面上的投影为

练 习 题