第八章 向量代数 空间解析几何 第五节 空间直线及其方程 一、空间直线的点向式方程 和参数方程 二、空间直线的一般方程 三、空间两直线的夹角
一、空间直线的点向式方程和参数方程 设直线 L 过点 M0(x0, y0, z0)， 设 M(x, y, z)是直线 L 上任意一点， 由两向量平行的充要条件可知 ① z L s M 方程组 ① 称为直线的点向式方程或标准方程 (当 m，n，p 中有一个或两个为零时， 就理解为相应的分子是零). M0 y x
若直线 L 的方程为 平面 的方程为 则直线 L 与平面 平行的充要条件是 mA + nB + pC = 0 . 直线 L 与平面 垂直的充要条件是 在直线方程 ① 中， 记其比值为 t ， 则方程组 称为直线的参数方程，t 为参数.
例 1 求过点 M( 2, 0, 3 )且垂直于平面 : 4x + y z + 5 = 0 的直线方程. 解 设所求的直线方程为 所以可取s = n， 由于直线垂直于平面 ， 即 s = m , n , p = 4 , 1 , 1 ， 故所求的直线方程为
M2(x2, y2, z2)的直线方程. 例 2 求过点 M1 (x1, y1, z1)， 解 设所求的直线方程为 由于直线过点 M1，M2 , 所以可取向量 故所求的直线方程为 为直线的方向向量 s .
且平行于两平面 3x y + 5z + 2 = 0 例 3 求过点(1, 3, 2) 及 x + 2y 3z + 4 = 0 的直线方程. 解 设所求的直线方程为 故直线的方向向量 s 垂直于两平面的法向量 因为所求直线平行于两平面， n1 = 3 , 1 , 5 及 n2 = 1 , 2 , 3 . 所以
因此所求的直线方程为 即
与平面 2x + y -z - 5 = 0 的交点. 例 4 显然 P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方程. 解 设所求交点为 P(x, y, z)， 解方程组 得 t = 4 ， 代入参数方程得 x = 3，y = 6，z = 5， 即交点 P 的坐标为(3, 6, 5).
例 5 求点 P(1, 1, 4)到直线 L： 的距离. 过点 P 且垂直于直线 L 的平面 的法向量为 n = 1, 1, 2， 解 则平面方程为 ( x1 ) + ( y 1 ) + 2( z 4 ) = 0， 即 x + y + 2z 10 = 0 . ① 由于 L 的参数方程为 x = 2 + t， y = 3 + t， ② z = 4+ 2t，
将 ② 代入 ①， 得 6t + 3 = 0， 即 ③ 将 ③ 代入 ② 得交点 Q 的坐标为 所以点 P 到 L 的距离
二、空间直线的一般方程 表示这两个平面的交线， 方程组 称为空间直线的一般方程. 表示 z 轴所在的直线方程， 例如方程组 而 表示 y 轴所在的直线方程.
化为点向式方程及参数方程. 例 6 将直线方程 即点( 2, 0, 0 )在直线上. 解 令 z = 0 代入原方程得 x = 2， y = 0， 因为 s 分别垂直于两平面的法向量 n1 = 1, 1, 2， n2 = 2, 1, 3. 所以
所以直线的点向式方程为 令上式等于 t， 得已知直线的参数方程为
例 7 一直线过点 M5, 0, 2， 且与直线 平行，求该直线方程. 所以它的方程为 解 因为所求直线过点(5, 0, 2)， 又因已知直线 的方向向量 s' 为：
即 s = m, n, p =2, 5, 11 ， 因此， 所求直线方程为
三、空间两直线的夹角 两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角. 设直线 L1 和 L2 的方程为 那么 L1 和 L2 的夹角 的余弦为
两直线 L1，L2 垂直的充要条件是: 通常规定， ∈[ 0 , ]. 易知 两直线 L1，L2 平行的充要条件是：
确定下列各方程组所表示的直线或直线与平面间的位置关系： 例 8 解 (3)直线 L3 // 平面 1; (4)直线 L4 在平面 2 上; (5)直线 L5⊥平面 3 .
例 9 求直线 L1 : 和 的夹角. 解 由公式可得 所以