第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式 四、用坐标表示向量的模和方向余弦
一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. z o y x 空间直角坐标系
Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点
两点间的距离公式
空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为
同理可得,点 到 轴和 轴的距离分别为 其中 分别是点 在 轴和 轴上的投影。
例 2 在 轴上求与点 等距离的点。 解 因为所求的点在 轴上,故可以设它为 依题意有 即有 解得 因此,所求的点为
二、向量与向量的线性运算 1、向量的概念 向量: 既有大小又有方向的量. 向量表示: 或 向量的模: 向量的大小. 或 单位向量: 模长为1的向量. 或 零向量: 模长为0的向量.
自由向量: 不考虑起点位置的向量. 相等向量: 大小相等且方向相同的向量. 负向量: 大小相等但方向相反的向量.
2、向量的线性运算 1、向量的加减法 [1] 加法: (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若 ‖ 分为同向和反向
向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律: (2)结合律: (3) [2] 减法
向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律: (2)分配律: 两个向量的平行关系
按照向量与数的乘积的规定, 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
例3 已知平行四边形ABCD的对角线向量为 , ,试用向量a和b表示向量 解 设 的交点为O(图),由于平 行四边形对角线互相平分,故
三、向量的坐标表示式 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
向量的坐标表示 如图所示:
四、用坐标表示向量的模和方向余弦 1、向量的模 设向量 向量模长的坐标表示式
2、方向余弦 空间两向量的夹角的概念: 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
非零向量 的方向角: 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向.
向量方向余弦的坐标表示式 当 时,
方向余弦的和 特殊地:单位向量的方向余弦为
例4 已知点 求向量 的模、方向余弦及与 方向相同的 单位向量. 解 由(2)式和(3)式,得 故
由(11)式知,向量 是与a方向 相同的单位向量,所以与 方向相同的单位 向量为
例5 设向量 的方向角 为锐角, 且 求 向量的坐标表示式 解 因为 于是有 故
所以,向量 的坐标表示式为 例6 设向量 解 因为 ,故由(8)式,得 即 所以
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