第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式

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第七章 空间解析几何与向量代数 1、空间直角坐标系; 2、向量及其线性运算; 3、向量的坐标、数量积、向量积;
第七章 向量代数与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的坐标表示 第三节 向量的数量积和向量积 第四节 平面方程
第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
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第七章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
第七章 向量代数与空间解析几何 如同平面解析几何那样,空间解析几何是通过建立空间直角坐标,把空间的点与三元有序数组对应起来,用三元方程及方程组来表示空间几何图形,从而可以用代数的方法来研究空间几何问题,而这又是学习微积分的基础。 §1 向量及其线性运算 一.向量的概念 1.数量与向量:仅有数值大小的物理量称数量或标量,如温度、时间等。不仅有大小,还有方向的量称向量或矢量,如力、速度等。
空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程
第七章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积与叉积 第三节 平面与直线 结束.
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第八章 向量代数 空间解析几何 第五节 空间直线及其方程 一、空间直线的点向式方程 和参数方程 二、空间直线的一般方程 三、空间两直线的夹角.
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第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
第9章 向量与空间解析几何 9.1 空间直角坐标系与向量的概念 9.2 向量的数量积与向量积 9.3 平面方程与空间直线方程
空间直角坐标系 这一章,我们为学习多元函数微积分学作准备,介绍空间解析几何和向量代数。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何,它是平面解析几何的推广。向量代数则是研究空间解析几何的有力工具。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用,同时也是一种很重要的数学工具。
第八章 空间解析几何 与向量代数 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
第七章 空间解析几何 §5 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两空间直线的夹角
第七章 空间解析几何 §3 向量的乘法 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积.
一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组. 一、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组.
第八章 空间解析几何与向量代数 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 —
第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 向量及其线性运算 §7.2 数量积 向量积 混合积 §7.3 曲面及其方程
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第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2空间向量的数乘运算.
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欢迎大家来到我们的课堂 §3.1.1两角差的余弦公式 广州市西关外国语学校 高一(5)班 教师:王琦.
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第四节 向量的乘积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积.
3.2 平面向量基本定理.
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第六章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式 第一节 向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量与向量的线性运算 三、向量的坐标表示式 四、用坐标表示向量的模和方向余弦

一、空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. z o y x 空间直角坐标系

Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点

两点间的距离公式

空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为

同理可得,点 到 轴和 轴的距离分别为 其中 分别是点 在 轴和 轴上的投影。

例 2 在 轴上求与点 等距离的点。 解 因为所求的点在 轴上,故可以设它为 依题意有 即有 解得 因此,所求的点为

二、向量与向量的线性运算 1、向量的概念 向量: 既有大小又有方向的量. 向量表示: 或 向量的模: 向量的大小. 或 单位向量: 模长为1的向量. 或 零向量: 模长为0的向量.

自由向量: 不考虑起点位置的向量. 相等向量: 大小相等且方向相同的向量. 负向量: 大小相等但方向相反的向量.

2、向量的线性运算 1、向量的加减法 [1] 加法: (平行四边形法则) (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 特殊地:若 ‖ 分为同向和反向

向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律: (2)结合律: (3) [2] 减法

向量与数的乘法

数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律: (2)分配律: 两个向量的平行关系

按照向量与数的乘积的规定, 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.

例3 已知平行四边形ABCD的对角线向量为 , ,试用向量a和b表示向量 解 设 的交点为O(图),由于平 行四边形对角线互相平分,故

三、向量的坐标表示式 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

向量的坐标表示 如图所示:

四、用坐标表示向量的模和方向余弦 1、向量的模 设向量 向量模长的坐标表示式

2、方向余弦 空间两向量的夹角的概念: 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.

非零向量 的方向角: 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向.

向量方向余弦的坐标表示式 当 时,

方向余弦的和 特殊地:单位向量的方向余弦为

例4 已知点 求向量 的模、方向余弦及与 方向相同的 单位向量. 解 由(2)式和(3)式,得 故

由(11)式知,向量 是与a方向 相同的单位向量,所以与 方向相同的单位 向量为

例5 设向量 的方向角 为锐角, 且 求 向量的坐标表示式 解 因为 于是有 故

所以,向量 的坐标表示式为 例6 设向量 解 因为 ,故由(8)式,得 即 所以

练 习 题

练习题答案