第七章 空间解析几何 §5 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两空间直线的夹角 第七章 空间解析几何 §5 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两空间直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、平面束
一、空间直线的一般方程 如图7－23所示， 空间直线 可视为两平面 和 的交线． 若两平面的方程分别为 则方程组 表示空间直线 称之为空间直线的一般方程． 注 通过 的任意两个平面方程所组成的方程组， 都是直线 的一般方程， 它不唯一。
二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线 则称此向 量为这条直线的方向向量． 若直线的一个方向向量为 则称 为该直线的一组方向数。 若已知直线 上的一个点 和它的一 个方向向量 则该直线就完全确定了。 下面我们来建立该直线的方程。 设 为直线上任一 点， 则有 由于
所以 这就是直线 上的点所满足的方程。 反过来，不在 直线 上的点显然不满足方程（2）， 故方程（2） 称之为直线的对称式方程或 就是直线 的方程 点向式方程．
这两种形式实际上就是直线的一般方程. 如果设 则可解得 称之为直线的参数方程．
解 在方程组中令 解得 故得 直线上一个点
又因方程组中两平面的法向量分别是 所以可取直线的方向向量为 于是得直线的对称式方程为 令 得直线的参数方程为
三、两空间直线的夹角 与平面夹角余弦公式类似，有 特别地，有
解 显然, 的方向向量 与 的方向向量 平行， 故可取 又 过点 所以 的对称式方程为
四、直线与平面的夹角 设有空间直线 及平面
由图7-25可知, 或 由此可得 其中 故 特别地，有
解 过点 且与平面 平行的 平面方程为 即 过点 且与平面 平行的 平面方程为 即 显然， 所求直线为上述两平面的交线， 故所求直线 的一般式方程为
解 过点 且与直线 垂直的平面 的方程为 所求投影点 故其坐标 满足
将 代入后一方程，得 故投影点坐标为 从而点 到直线 的距离为
注 点到直线的距离公式还有另外一种推导方法： 如图7－26所示， 过直线 上任一点 作 的方向向量 并作向量 以这两个向量位邻边，作一个平行四边形， 则其面积 故
五、平面束 1．平行平面束 设给定空间中一个平面 则平行于平面 的一族平面称为一平行平面束. 显然，该平行平面束中平面的方程为 其中 为任意实数. 2．有轴平面束
解 设所求平面的方程为
即 其法向量为 又 依题意可得 解之得 或 故所求平面方程为 或 作业：P37 3.(1) (4) (5); 4; 6