第一章 逻辑代数基础 第一节逻辑函数的公式化简法 制作人：高均均 20031014029 数字逻辑 第一章 逻辑代数基础 第一节逻辑函数的公式化简法 制作人：高均均 20031014029

内容： 逻辑函数的公式化简法 目的与要求： 了解逻辑函数的意义和表示方法； 理解化简的意义和标准； 掌握公式化简逻辑函数的几种基本方法并能熟练运用； 重点与难点： 重点：5种常见的逻辑式； 用并项法、吸收法、消去法、配项法对逻辑函数进 行化简。 难点：运用公式化简法对逻辑函数进行化简。

我们以前学过，数字电路的数学基础是布尔代数，也叫开关代数和逻辑代数。数字电路研究的是二值逻辑，逻辑代数中的常量就是0和1、逻辑变量的取值也只有0和1两种可能。0和1不表示数值的大小、表示两种不同的逻辑状态。逻辑代数的基本运算与、或、非的概念大家中学就学过了。还有复合逻辑运算与非、或非、与或非、异或、同或运算。要牢记每一种逻辑运算的表达式、逻辑符号、真值表。牢记逻辑代数的基本公式和常用公式。逻辑运算和公式是数字电路的根本，在今后的学习中常常会用到，所以务必牢记。在使用公式时一定不能自己创造。

根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式。对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器件、降低成本和提高系统的可靠性、提高产品的市场竞争力都是非常重要的。 在化简逻辑函数的时候，我们经常用到的化简方法一般有两种：一种叫公式化简法，就是用逻辑代数中的公式和定理进行化简；另一种叫图形化简法，用来进行化简的工具是卡诺图。 今天我们主要讲述用逻辑函数的公式和定理对逻辑函数进行处理.首先我们看下什么叫逻辑函数?

它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于变量A、B、C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。 一.1.逻辑函数及其表示法 1、逻辑函数的定义 （1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。 逻辑表达式描述了逻辑变量与逻辑函数间的逻辑关系，是实际逻辑问题的抽象表达。 （2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为 注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。 (3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数 它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于变量A、B、C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。 若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表,看它们的真值表是否相同即可。

2、逻辑函数的表示方法 （1）真值表 真值表是由逻辑函数输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。其特点是：直观地反映了变量取值组合和函数值的关系，便于把一个实际问题抽象为一个数学问题。 （2）逻辑函数式 由逻辑变量和与、或、非、异或及同或等几种运算符号连接起来所构成的式子。 由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或逻辑式。写标准与-或式的方法是： ①把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A；B；C三个变量的取值为110时，则代换后得到的变量与组合为。 ②把逻辑函数Y的值为1所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式。 （3）逻辑图 ·将逻辑表达式中的逻辑运算关系，用对应的逻辑符号表示出来，就构成函数的逻辑图。 只要把逻辑函数式中各逻辑运算用相应门电路和逻辑符号代替，就可画出和逻辑函数相对应逻辑图。 另外，后面还将学到的有：波形图、卡诺图等等。 注：这些表示方法各有特点，它们之间既相互联系，又可相互转换。

3、逻辑函数的表示形式 （1）真值表 真值表是由逻辑函数输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。其特点是：直观地反映了变量取值组合和函数值的关系，便于把一个实际问题抽象为一个数学问题。 （2）逻辑函数式 由逻辑变量和与、或、非、异或及同或等几种运算符号连接起来所构成的式子。 由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或逻辑式。写标准与-或式的方法是： ①把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A、B、C三个变量的取值为110时，则代换后得到的变量与组合为 ②把逻辑函数Y的值为1所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式 .

（3）逻辑图 ·将逻辑表达式中的逻辑运算关系，用对应的逻辑符号表示出来，就构成函数的逻辑图。 ·只要把逻辑函数式中各逻辑运算用相应门电路和逻辑符号代替，就可画出和逻辑函数相对应的逻辑图。 另外，后面还将学到的有：波形图、卡诺图等等。 注：这些表示方法各有特点，它们之间既相互联系，又可相互转换。

4. 逻辑函数的公式化简法 一.逻辑函数的标准与或式和最简式 标准与或表达式 例.Y=(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC 重点内容 一.逻辑函数的标准与或式和最简式 标准与或表达式 例.Y=(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC 式中给的就是逻辑函数Y的标准与或表达式. 表达式中,每一个乘积项都具有标准形式.而且,人们常把这种标准形式的乘积项称为最小项. 最小项的性质: 1.每一个最小项都有一组,而且也只有一组使值为1的对应变量取值; 2.任意两个不同的最小项之积,其值恒为0; 3.变量全部最小项之和,值恒为1.

二.逻辑函数的最简表达式 其他的四种最简表达式 最简或与表达式 括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。 ·最简与非-与非表达式 非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。 最简或非-或非表达式 非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。 最简与或非表达式 非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式

逻辑函数的最简表达式可以互相转化 利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑函数式之间的变换。现将Y1的与-或表达式变换为Y2的或-与表达式进行说明如下。 利用摩根定律将Y1式变换为Y2式： 例如:右图的例子就是一个最简与或式

逻辑函数的公式化简法 1、并项法 利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。如 若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量， 而其他因子都相同时， 则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。

2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的 （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的变量。 如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。

３、消去法 利用公式Ａ+ＡB=A＋Ｂ，为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。 1.Y=AB+AC+BD=A+B+AC+BD=A+B+C+D 2.Y=AB+AB+ABC+ABC=A(B+BC)+A(B+BC) =A(B+C)+A(B+C)=AB+AC+AB+AC =AB+AB+C

4、配项法 １）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。 ２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。

４、消去冗余项法 利用冗余律 ，将冗余项ＢＣ消去。

综合例题 例:Y=AD+AD+AB+AC+BD+ACEF+BE+DEF 利用并项法可将AD+AD合并成A,于是得 Y=A+AB+AC+BD+ACEF+BE+DEF 利用吸收法A+AB+ACEF=A Y=A+AC+BD+BE+DEF 利用消去法 A+AC=A+C Y=A+C+BD+BE+DEF 利用消项法BD+BE+DEF=BD+BE 于是得Y=A+C+BD+BE

作业:代数化简法举例 例：化简函数 提示①先求出Y的对偶函数Y＇，并对其进行化简。 ②求Y＇的对偶函数，便得Ｙ的最简或与表达式。