第三章 运动的守恒定律

力和加速度之间的瞬时效应 ----牛顿定律 力的时间累积效应 ----冲量 力的空间累积效应 ----功

§3-1 动量守恒定律 一.质点动量定理(教材§2-5) 由牛顿定律 有 ----牛顿定律的微分形式 力在 时间内的累积量为

定义：外力在一段时间内的累积量称为冲量，即 当质量m不变时： 即质点某一时间内所受合外力的冲量等于质点同一时间内动量的增量

的方向一般不是 的方向，而是微分冲量 的矢量和的方向。 讨论 ： 的方向一般不是 的方向，而是微分冲量 的矢量和的方向。 一维问题、力作用时间很短时，常引入平均冲力 冲力视频

直角坐标系中动量定理的分量形式

物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不变。 车上 地上

二.质点系动量定理 1.两个质点的质点系 相加

即系统所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量 2. n个质点的质点系 总动量 因内力总是成对出现 可得 或 合外力 或 即系统所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量 ----质点系动量定理

三.动量守恒定律(教材§3-4) 当合外力 时 则 =常矢量 即质点系所受合外力为零时，质点系的总动量保持不变(质心保持匀速直线运动状态)。

=常矢量 系统动量守恒定律的分量形式 时 =常量 时 =常量 时 =常量

[例1]质量m=1kg的小球作半径R=2m 的 圆周运动，运动方程为 (自然 坐标), 求小球从 到 所受外 力的冲量。 解： 以O为自然坐标原点 圆周周长 时 时

小球线速度 动量 方向如图

方向

[例2]一质点受合外力作用，外力为 求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在2s末的动量。 (SI) 解： 由冲量定义有

根据动量定理 大小 方向余弦

[例3]一装沙车以速率v =3m/s从沙斗下通过。每秒钟落入车厢的沙为m=500Kg,如果使车厢的速率 保持不变，应用多大的牵引力？(车与轨道的摩擦不计) 解： 设m为t时刻已落入车厢的沙的质量

以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 t+dt 时刻 增量 根据动量定理

[例4]质量为m的人站在一质量为M、长为l的小车一端，由静止走向车的另一端，求人和小车各移动了多少距离?(不计摩擦) 解： 水平方向上车和人系统不受外力作用 所以系统动量守恒

设车和人相对地面速度分别为 和 即 ----运动方向相反 人相对于车的速度为

设人在时间 t 内走到另一端

§3-2 角动量守恒定律 一.质点的角动量(教材§3-6) 大小: 方向: 的右手螺旋前进方向

[例5]根据玻尔假设,氢原子内电子绕核运动的角动量只能是 的整数倍,其中h是普朗克常数。已知电子圆形轨道的最小半径为 ，求此轨道上电子运动的频率 。

解： 由于是最小半径，所以有 于是

二.力矩和角动量定理 1.质点 定义 ---- 对参考点的力矩

----质点角动量定理 力矩的大小 力臂 *2.质点系

内力矩两两相消，即 ----质点系的角动量定理

三.角动量守恒定律 当 时，则 =常矢量 质点(系)所受外力对某点O的力矩为零，则质点(系)对O点的角动量保持不变 ----角动量守恒定律

讨论: 角动量是相对于参考点而言的，不同的参考点有不同的角动量。 对0 大小 方向垂直向上不变 对0’ 大小 方向一直变化

质点在有心力作用下角动量守恒。 力的作用线始终通过一点(力心)----对力心的力矩为零。 作用在质点系上的合力矩在某转轴上的分量为零时，质点系绕该轴的角动量守恒。

[例6]证明：一个不受外力作用的运动质点，对任一固定点的角动量保持不变。 解： 质点作匀速直线运动 设质点的质量为m，运动速度为 相对于0 =常矢量 大小 方向

[例7]证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解： 行星受到的引力对太阳的力矩为零 角动量守恒 (1)角动量方向不变 和 所决定的平面的方位不变

行星的轨道是一个平面轨道 (2)角动量的大小

§3-3 机械能守恒定律 一.功和功率(教材§2-6) 1.功 力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积 元功

功为标量，没有方向，但有正负 由a移动到b

在直角坐标系中，功的分量式 2.功率 单位时间内力所作的功

3. 成对力的功 作用力和反作用力： m2相对于m1的位移

作用力和反作用力的元功之和 成对力的总功只与相互作用力及相对位移有关 ----与参考系的选择无关

[例7] 一人从10m深的水井把10Kg的水匀速提上来，由于桶漏水，每升高1m漏0 [例7] 一人从10m深的水井把10Kg的水匀速提上来，由于桶漏水，每升高1m漏0.2Kg，问把水从井的水面提到井口需做多少功 ？(不计桶的质量) 解：

[例8] 质点在力 的作用下，从坐标原点运动到P(2,3)点，求力的功。 解：

二.动能定理 1.质点

定义： ----动能 合外力对物体的功等于物体动能的增量 ----质点动能定理

[例9] 质量为1Kg的物体， 在沿x轴方向的变力作用下，从x=0处由静止开始运动。设变力F与x的关系如图示，求物体在x=4m处的速率。 解：

2.质点系 外力 内力 根据动能定理 对m1 对m2

两式相加

推广到n个质点的质点系 外力和内力对质点系作的功之和等于质点系总动能的增量 ----质点系动能定理

[例10]细绳一端拴着质量为m的小球,另 一端穿过水平桌面上的小孔O。先使小 球在桌面上以速度v1沿半径为r1的圆周 匀速转动，然后非常缓慢地将绳向下 拉，使半径减小到r2。设小球与桌面的 摩擦不计，求此时小球的速度和拉力T 对小球所作的功。

解：绳子拉力对O 点的力矩为零 由角动量守恒有 因缓慢拉绳，忽略小球沿绳方向的速度

三.势能 　 1.保守力 保守力：如果一对力所作的功只与相互作用的质点的始末相对位置有关，而与运动的相对路经无关，这样的一对力称为保守力。 对保守力，沿任一闭合路径l

2.势能 相对于保守力的功，引入势能 (1)重力势能 重力 或

若 则 定义　 ----重力势能 重力势能零点选择是任意的，通常取地面为重力势能零点。

(2)弹性势能 弹性力 若 ，则 若 ，则

当 时 定义: ----弹性势能 弹簧处于自然长度时为弹性势能零点

(3)引力势能 万有引力

若 引力势能

引力势能零点取在无穷远处 讨论： 物体在某一位置的势能只有相对意义，势能之差有绝对意义。 只有保守力才能引入势能的概念

保守力的功等于系统势能增量的负值(系统势能的减少)，即 系统在任一位置时的势能等于它从该位置移动至势能零点时保守力所做的功

四.功能原理 机械能守恒 由系统的动能定理有 内力可分为保守内力和非保守内力

系统机械能

系统外力的功与系统非保守内力的功之和，等于系统机械能的增量。 ----系统的功能原理 当只有保守内力做功时，即 则 ----系统的机械能守恒

[例11]质量为m的质点系在一端固定的绳 子上在粗糙水平面上作半径为R的圆周 运动。当它运动一周时，由初速vo减小 为vo/2。求:(1)摩擦力作的功;(2)滑动摩擦 系数;(3)静止前质点运动了多少圈? 解： 根据动能定理，摩擦力的功

因摩擦力 方向与运动方向相反 可得

设质点运动了n圈 由动能定理有 (圈) 可得

[例12]如图，质量为m的木块，与弹性系数为k的轻弹簧碰撞，木块将弹簧压缩了x米。设木块与斜面之间的摩擦系数为μ，问开始碰撞时木块速率v为多大? 解：设碰撞时及压缩最大时木块高度分别为h1、h2

即

[例13]质量为m1，m2 (m2>m1)的两木 板A和B，用轻弹簧连在一起，如图 所示。问:(1)至少需用多大的压力F加 于上板，才能在该力撤去后，恰好使 m2离开地面?(2)如m1，m2交换位置， 结果如何?

解： 设施加F后弹簧比原长缩短 , F撤去后弹簧伸长 恰使m2提起 取m1处于最低点位置为重力势能的零点 系统机械能守恒

解得  m1，m2交换位置，结果不变。

§3-4 碰 撞 完全弹性碰撞：碰撞前后，机械能守恒 非弹性碰撞：碰撞前后，机械能有损失(转化为热、声等能) §3-4 碰 撞 完全弹性碰撞：碰撞前后，机械能守恒 非弹性碰撞：碰撞前后，机械能有损失(转化为热、声等能) 完全非弹性碰撞：碰撞后两物体不再分开，机械能有损失

恢复系数：碰撞后两球的分离速度与碰撞前两球的接近速度的比值

系统动量守恒 而 可得

能量损失：

一.完全弹性碰撞 即 可得：

讨论 当m1=m2时： ----两球交换速度 当m2>>m1且v20=0时： 当m2<<m1且v20=0时：

二.完全非弹性碰撞 可得 讨论： 能量损失

三.二维碰撞 一般情况下，采用分量形式计算

*讨论： 一个物体与另一个质量相等且静止的物体发生完全弹性碰撞时： 由动量守恒和机械能守恒可得： ----毕达哥拉斯定理

[例12]两质量不同的球A和B相互碰撞，A球原来静止，B球速率为v，碰撞后B球速率为v/2，并沿与原来路线垂直的方向运动。求碰撞后A球的运动方向 解：由动量守恒