第12章 气体动理论 扫描隧道显微镜（STM）

§12.1 分子运动的基本概念 分子运动的基本观点 1. 宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在 一定的空隙 例如： (1) 1cm3的空气中包含有2.7×1019 个分子 (2) 水和酒精的混合 A B C 2. 分子在永不停息地作无序热运动 例如： (1) 气体、液体、固体的扩散 水和墨水的混合 相互压紧的金属板 (2) 布朗运动

( 布朗运动 ) 3. 分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作 用(分子力)可近似地表示为

一切宏观物体都是由大量分子组成的，分子都在永不停息地作无序热运动，分子之间有相互作用的分子力。 式中r 表示两个分子中心的距离，  、  、 s 、 t 都是正数，其值由实验确定。 由分子力与分子距离的关系，有 斥力 引力 、 ( 平衡位置 ) 分子力表现为引力 分子力表现为斥力 (分子力与分子间距离的关系) 结论 一切宏观物体都是由大量分子组成的，分子都在永不停息地作无序热运动，分子之间有相互作用的分子力。

§12.2 气体分子的热运动 气体分子运动的规律 1. 气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动 §12.2 气体分子的热运动 气体分子运动的规律 1. 气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动 (1) 由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小， 除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分 子间相互作用的分子力是极其微小的。 (2) 由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可 以忽略。 2. 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子大约要碰撞几十亿次(109次/秒)

· 3. 气体分子热运动服从统计规律 统计的方法 物理量M 的统计平均值 Ni 是M 的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为N 状态A出现的概率 归一化条件

例如平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为 气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有

又如平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为 由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概 率相等，故有

§12.3 统计规律的特征 伽耳顿板实验 若无小钉：必然事件 若有小钉：偶然事件 §12.3 统计规律的特征 伽耳顿板实验                  若无小钉：必然事件 若有小钉：偶然事件 实验现象 一个小球落在哪里有偶然性 少量小球的分布每次不同 大量小球的分布近似相同 结论 (1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律 (2) 统计规律和涨落现象是分不开的。

§12.4 理想气体的压强公式 一. 理想气体的微观模型 二. 平衡态气体分子的统计性假设 (1) 不考虑分子的内部结构并忽略其大小 §12.4 理想气体的压强公式 一. 理想气体的微观模型 (1) 不考虑分子的内部结构并忽略其大小 (2) 分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了 碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。 (3) 碰撞为完全弹性 理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没有相互作用的弹性球。 二. 平衡态气体分子的统计性假设 1. 每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化

三. 理想气体的压强公式 2. 分子按位置的均匀分布（重力不计） 在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同, 容器内 各处的分子数密度相同 3. 分子速度按方向的分布均匀 由于碰撞, 分子向各方向运动的概率相同，所以 三. 理想气体的压强公式 1. 从气体分子运动看气体压强的形成 气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的。 例: 雨点对伞的持续作用

· · 2. 理想气体的压强公式 z 设体积为V 的容器, 内贮分子总数为 N， 分子质量 为μ，分子 数密度 n 的平衡态理想气体 y y z x O · 设体积为V 的容器, 内贮分子总数为 N， 分子质量 为μ，分子 数密度 n 的平衡态理想气体 · 速度为 的分子 数为 , 分子数密 度为 在dt 时间内，速度为 vi 的分子与 面元dA 碰撞的分子数为

· · 在dt 时间内，与面元dA 碰撞的所有分子所受的冲量dI 为 由压强定义得 说明 (1) 压强 p 是一个统计平均量。它反映的是宏观量 p 和微 观量 的关系。对大量分子，压强才有意义。 (2) 压强公式无法用实验直接验证

例 一容积为 V=1.0m3 的容器内装有 N1=1.0×1024 个 氧分子N2=3.0×1024 个氮分子的混合气体， 混合气体的压强 p =2.58×104 Pa 。 (1) 分子的平均平动动能； (2) 混合气体的温度 求 解 (1) 由压强公式 , 有 (2) 由理想气体的状态方程得

· · §12.5 麦克斯韦速率分布定律 一. 分布的概念 2000 问题的提出 §12.5 麦克斯韦速率分布定律 一. 分布的概念 · 问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按速率的分布。 · 分布的概念 例如学生人数按年龄的分布 年龄 15 ~16 17 ~ 18 19 ~20 21~22 人数按年龄 的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按 年龄的分布 20% 30% 40% 10%

二. 速率分布函数 f(v) 例如气体分子按速率的分布 速率 … 分子数比率按速率的分布 ｛ ΔNi ｝就是分子数按速率的分布 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv 分子数按速率 的分布 ΔN1 ΔN2 ΔNi 分子数比率按速率的分布 ΔN1/N ΔN2/N ΔNi/N ｛ ΔNi ｝就是分子数按速率的分布 二. 速率分布函数 f(v) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区间内分子数的比率为 f(v) 称为速率分布函数

三. 气体速率分布的实验测定 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总 意义： 分子数的比率。 1. 实验装置 2. 测量原理 (1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件 通过改变角速度ω的大小， 选择速率v

四. 麦克斯韦速率分布定律 (3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 (4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数 (3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 (4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数 四. 麦克斯韦速率分布定律 1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数 ( 麦克斯韦速率分布函数 ) 式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量 k = 1.38×10-23 J / K

理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为 这一规律称为麦克斯韦速率分布定律 说明 (1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。 (3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。

· · · f(v) 2. 麦克斯韦速率分布曲线 T 由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。 在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布 在v～v+ dv 中的分子 数与总分子数的比率 · · v O v1 v v2 v＋dv ( 速率分布曲线 ) · 在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间 的分子数与总分子数的比率

· · · f(v) 曲线下面的总面积， 等于分布在整个速 T 率范围内所有各个 速率间隔中的分子 数与总分子数的比 率的总和 O v ( 速率分布曲线 ) (归一化条件) · 最概然速率v p f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 · 不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系

由于曲线下的面积不变,由此可见 ① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, v p 越小, 这时曲线向左移动 f(v) f(v) μ2(> μ1) T1 μ1 T2(> T1) v O v O

五. 分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率 式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量 思考： 是否表示在v1 ~v2 区间内的平均速率 ？

2. 方均根速率 3. 最概然速率

· · · 说明 f(v) (1) 一般三种速率用途各 不相同 T 讨论速率分布一般用 讨论分子的碰撞次数用 讨论分子的平均平动动 O v 能用 v O (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系:

(1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， 氦气的速率分布曲线如图所示. 例 求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 解 (2) O

例 有N 个粒子，其速率分布函数为 (1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数 求 解 (1) 由归一化条件得 O

(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以 的分子数与总分子数的比率为 因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) 同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 )

例 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。 解 根据平均值的定义，速率倒数的平均值为

例 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 成反比( 设Δv 很小) 证 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有

金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率在v~v+dv 之间的几率为 式中A 为常数 例 求 该电子气的平均速率 解 因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以

五. 气体分子按平动动能的分布规律 麦克斯韦速率分布定律 代入上式得 上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在 意义： 两边微分 代入上式得 上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在  ~ + 区间内的分子数与总分子数的比率。 意义： 思考 最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?