第一篇 力 学 第三章刚体力学 (6学时)

第一篇 经典力学 描述物体的运动 状态——运动学 寻求物体具有某种运动 状态的原因——动力学 万 有 引 力 定 律 质点 运动 学 刚体 第一篇　经典力学 描述物体的运动 状态——运动学 寻求物体具有某种运动 状态的原因——动力学 万 有 引 力 定 律 质点 运动 学 刚体 运动 学 静力学 动力学 质点 力平 衡 刚体 力矩 平衡 质点 动力 学 刚体 动力 学 内容结构

第三章 刚体力学 刚体动力学 刚体运动学 内容结构 已学过 瞬时效应 时间累积 空间累积 1. 建立物理模型 ——刚体模型 第三章　刚体力学 已学过 刚体运动学 刚体动力学 1. 建立物理模型 　——刚体模型 2. 引入物理参量 　——角参量 3.刚体运动学规 　律的应用 瞬时效应 时间累积 空间累积 1.保持转动状态 的原因 2. 改变转动状态 3. 刚体转动定律 (相当牛二律) 1.冲量矩,角动量 冲量矩定理 (相当冲量定理) 2.角动量定理、 角动量守恒 (相当动量定理) 1.力矩作功、转 动动能、势能 转动动能定理 转动势能定理 (与平动对应) 2.机械能守恒

A.将刚体看作刚性连接的特殊质点、质点系，以质点、质点系 　的运动规律来研究刚体的转动规律。 B.将一般刚体运动看作为平动和转动的组合，而转动又看作为 　绕固定转轴转动的组合。因此，研究刚体的转动，只需要研 　究绕固定转轴的转动这样简单的情形。 C.考虑到前面已反复处理由单质点向质点系过渡方法，本章我 　们直接按质点系方法处理问题) 研究方案 §3.1　力矩的瞬时效应——刚体的转动定律 内容结构请与平动对应章节比较 一　绕固定转轴的刚体转动定理 1.改变物体转动状态的原因——力矩 2.绕固定轴转动的刚体转动定理 3.刚体转动惯量的求解 二　绕定轴转动的转动定理的应用

一　绕固定转轴的刚体转动定理 1.改变物体转动状态的原因——力矩 L 力矩：力与力臂的乘积，称为力矩。 或 记 讨论：A.力矩是使物体转动状态发生改变的原因(相当于平动问 　　题中的合外力) B.力矩是矢量：大小： 　方向：按矢积定义，由右手螺旋法则决定 运算法则：矢量合成法则，并满足独立性原理。

2.绕固定轴转动的刚体转动定理 任意形状刚体绕固定轴转动，如图，将刚体看作质点系。设位 矢为ri的质点受到质点j的内力为fij，受到合外力为Fi，由牛顿 第二定律： 考虑到刚体绕固定z 轴转动 将上式两边同时乘以ri并利用矢量矢 积的定义有： 考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力 上式成为 当微元趋于无限小时

定义转动惯量 绕定轴转动的转动定理 讨论：A.关于转动惯量 转动惯量的物理意义：保持刚体原有转 动状态的原因，是转动惯性的量度。转动惯量的求法： 连续体 离散体 (ri是质点到转轴的垂直距离，考察推导过程) B.关于绕定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动定律的地位等同于平动问题中的牛顿第二定律 适于研究刚体转动的瞬时效应，对于有固定转轴的刚体转动， 转动定理可以写为标量式，此时，外力、位矢应当分解到与转 轴垂直的平面内。(仔细考察推导过程)。适用条件：惯性系

3.刚体转动惯量的求解 例：如图，三个质量相等的小球等间距地分布在x-y平面的角 　平分线上，且绕y轴转动。 求：系统的转动惯量 解：由 得 说明：A.本题的目的是要求能正确求解离散体的转动惯量， 　理解转动惯量中r的物理含义 B.简单计算可知，转动惯量依赖质量大小，依赖质量分布 。 例：(连续体的转动惯量)如图，线密度为、质量为m的均匀 　　细杆与转轴的夹角为. 求:其转动惯量。

解：由 在杆上l 处任取微元dm，显然 : 而杆的总长度： ，于是 说明：求解连续体的转动惯量，关键问题是统一r 和dm 的积分 　变量。并注意r 的物理含义。 例：(连续体与离散体的混合转动惯量)。将上述两个例题结合 　起来，设杆上等间距地套上三个质量相等的小球，且杆的质 　量也与小球质量相等。　求：系统的转动惯量 解：如果系统中既有连续体，又有离散体，只需要将连续体看 　作为若干离散体中的一个，再用求离散体的转动惯量的方法 　就可以求出系统的转动惯量。

杆的转动惯量 三个小球的转动惯量 系统的转动惯量 例：转动惯量的平行轴定理： 　其中，Ic是转轴过质心的转动惯量。l是与过质心转轴相距为 　l且与之平行的另一转轴。 证明：首先，绕固定轴转动的刚体模 　型都可以转化为图示模型，因为只 　有垂直于转轴的作用力才对刚体转 　动状态的变化有影响。 因

考虑到质心坐标的求解方法 且Ic是转轴过质心的转动惯量，于是 定理得证 例：转动惯量的垂直轴定理：一个平面薄板刚体对垂直于平面 　的任一转轴的转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴 　相交的任二正交轴转动惯量之和。 证明：因 定理得证

例：求均匀分布、质量为m的球体绕其直径作定轴转动的I. 解：球体的质量密度 采用球坐标系 : 于是 二　绕定轴转动的转动定理的应用 刚体转动定律的应用与平动问题中牛顿定律的应用的完全相似 主要类型：A.已知刚体所受力力矩求刚体转动状态 　 B.已知刚体转动状态求刚体所受力矩 C.已知刚体部分转动状态和部分力矩求解未知力矩和未知转 　　动状态。

刚体转动定律应用的解题步骤 A.确定研究对象，分析刚体所受力、力矩 B.建立坐标系，列转动动力学方程及必要的平动动力学方程 C.解算及讨论 例：电风扇开启电源时，经t1时间达到额定转速0，关闭电源 　时经时间t2停止。设电风扇的转动惯量为I，且电机的电磁力 　矩与摩擦力矩为恒量。 求：电机的电磁力矩 解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为M、Mf 电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即 当电风扇达到额定转速时 电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即

达到停止时 解此联立方程组，得 例6-6(p143)：(已知运动状态求力矩) 说明：A.如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，对转 　动物体，存在线量与角量的自然连接条件。 　　　B.如果系统中既有物体平动又有物体转动，那么，转动 　物体与平动物体连接处，存在摩擦力。如本题中，滑轮左右 　两边绳子的张力不再相等。 例6-7(p144)：(已知力矩求运动状态) 说明：A.可作定理使用的重要结论：对于有固定转轴的刚体， 　重力对转轴的力矩，等于将重力集中在 　质心对转轴所产生的力矩。

B.重要的数学技巧 C.熟悉关于转动的运动学公式 例：质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光 　滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳 　子下端挂一质量为m的物体，如图所示。 求：柱体的角加速度及绳中的张力。 R M m T mg  该式对吗？ 错! 因： 解：对柱体 正确的解法是用隔离体法 对m 对柱 解得

例：质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠 求：物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体的速度及 绳的张力 解：各物体受力情况如图所示 T1 T2 mg m1 m2 m R r 1 2 求解联立方程，代入数据，可得：

例：一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑轴o 　在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静止开 　始由水平位置绕o轴转动 求：棒转过角时的角加速度和角速度。 A B o  C mg 解：各物体受力情况如图所示。 又因 所以 完成积分得

讨论: 例：一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘 　面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌 　面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为µ 求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？ 解：摩擦力分布在整个盘面上，计算摩擦力的力矩时，应将圆 　盘分为无限多个半径为r、宽为dr 的圆环积分。故摩擦力矩： r dr o 转动惯量： 于是得：

§3.2 力矩的时间累积效应——刚体的角动量守恒定律 又由　　　　　　　，所以停下来前转过的圈数为 §3.2　力矩的时间累积效应——刚体的角动量守恒定律 内容结构、请与平动对应章节比较 一　冲量矩 二　角动量定理、角动量守恒定律 三　角动量定理、角动量守恒定理的应用

一　冲量矩 冲量矩：力矩在时间上的累计矢量，称为冲量矩。 或 记 讨论：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，(略，自己补充) 二　角动量定理、角动量守恒定律 推导：这一推导过程类似于由牛顿第二定律推导动量定理 由刚体转动定律 定义角动量 于是得到角动量定理：微分形式　 积分形式

讨论：A.适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系；有 　固定转轴的刚体运动。 B.推导过程中，没有强调力矩是内力矩还是外力矩，主要因为 　在推导刚体转动定律时已经证明刚体内力矩之矢量和为零。 　角动量定理中的力矩只有外力矩。I 是系统的总转动惯量。 C. 角动量定义的其它表述形式 (因 ， ， 右手螺旋法则) 大小 夹角是 r 与 v之间的夹角 方向：与角速度方向一致 矢量性与独立性：其合成满足矢量合成法则，独立性表现为

D.刚体的角动量守恒定律：当 　　 　　时， 或 　 例：当I=I0时， ，刚体做匀角速度转动 当I变化时， ，表明转动惯量与刚体转动状态之间 的关系(现象解释) 三 角动量定理、角动量守恒定律的应用

例：如图，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔O，绳的一端系 　有一质量为m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。 　设开始时小球以角速度0 绕孔O 作半径r 的匀速圆周运动, 　现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止 求：这一过程中拉力的功。 解：小球所受的力中，重力和桌面的支持力抵消，只有绳的 　拉力影响小球的运动。这个拉力的作用线通过O点，对O点 　的力矩为零，故小球在运动中对o点的角动量守恒，于是有 F 0 r o m 由动能定理，拉力的功为

例：如图，粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质 　细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由 　转动，杆与桌面间的摩擦系数为µ，起初杆静止。桌面上有 　两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着 　杆的一端，以相同的速率v相向运动，并与杆的两端同时发 　生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短)。 求：(1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ 　 (2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球重力造成的摩擦力矩） 解：(1)对杆和两小球组成的系统：由于有摩擦外力矩的存在 　 碰撞过程中好象角动量不守恒。但由于碰撞时间极短，摩 　擦外力矩与杆和两小球碰撞过程中的内力矩比较起来，完全 　可以忽略，系统角动量仍守恒。 . o m v

解得 其中 (2)摩擦力矩为 dm O x dx fr 由 = o+t 得： o R/2 例：匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为 质点)一起以角速度o绕通过其盘心的竖 直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘 以速率v、沿半径为R/2的园周运动(方向 与盘转动方向相反), 求:(1)圆盘对地的角速度 　(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的 速度大小和方向？

解：系统：圆盘+人。 (1).外力(重力和轴的支撑力)对转轴的力矩为零，所以系统角 　动量守恒，于是有： 系统角动量守恒吗？ 否！ 角动量守恒定律只适用于惯性系。 所以应用角动量守恒求解问题时，应代入人相对于惯性系(地面)的角速度。 o R/2 解出 (2) 欲使盘静止，可令 得 负号表示人的运动方向与o方向相同

§3.3 力矩的空间累积效应——刚体的机械能守恒定律 §3.3　力矩的空间累积效应——刚体的机械能守恒定律 一　力矩的功、功率 内容结构、请与平动对应章节比较 二　绕固定轴转动刚体的动能定理 三　刚体的势能 四　刚体系的机械能守恒 一　力矩的功、功率 设 质点在合外力作用下所作的功： 微分形式

积分形式 讨论：A.在上述讨论过程中，没有记及刚体内力所作的功， 　原因是内力所作功之和为零(内力是作用力和反作用力的关 　系且任意质点都没有相对位移) 。 B.力矩作功的正负符号规定：如果力矩方向与刚体转动方向 一致，则为正，反之为负。这一点可由积分形式或微分形 式数学表述式得到。 C.力矩作功的功率 微分形式 二　绕固定轴转动刚体的动能定理 积分形式

定义绕固定转轴转动的刚体动能： 绕固定转轴转动的刚体的动能定理 讨论：A.绕固定转轴转动的刚体，其动能的改变只与刚体所受 　的合外力矩作功有关。 　B.当合外力矩作功为零时，刚体动能的守恒。 三　刚体的势能 如果刚体受到保守力作用，那么，对该保守力，象质点系一 样，可以引入刚体的势能。 刚体的势能定理：保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量 　　的负值。 这一结论，只要将刚体看作为特殊质点系，那么，结论成立是 　　显然的。

重要结论：刚体的势能，等于将刚体质量全部集中于其质心所 　　得到的质点的势能相等。 例：重力势能 四　刚体系的机械能守恒 刚体系的机械能守恒定律：如果刚体系运动过程中只有保守力 　做功，则刚体系机械能守恒。(同样，这一结论，只要将刚体 　看作为特殊质点系，那么，结论成立是显然的)。 例：在光滑的桌面上，有一质量为M、长2l的细杆，质量为m、速度为v0的小球沿桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性 求：碰撞后求和杆的运动状况以及什么条件下，细杆运行半 　圈后又与小球相撞？

解：设碰撞后小球、杆的质心的速度分别为v1、v2，杆绕质心 　的角速度为，选择小球、杆为系统。 动量守恒 角动量守恒(以杆的质心为参考点) 动能守恒 细杆绕质心转动的转动惯量： 联立求解上述方程组 欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使 (即两者运动一样快)，条件为：M=2m

讨论：A. 对于既有平动，又有转动的物体，将其运动分解为质 　心的平动和刚体绕过质心的轴的转动。运用动量定理时，刚 　体可以看作为质量全部集中于质心的质点。 　　　B.细杆与小球相碰后，一方面，细杆以质心速度v2平 移，同时，细杆绕质心转动。 例：质量、半径相同的a.圆柱b.薄球壳c. 球体从相同光滑斜面 　的相同高度由静止无相对滑动下滑。 求：质心所获得的速度 解：将地球、斜面、m看作为系统， 　由机械能守恒 无滑动的条件

对a 对b 对c 质心获得的速度分别为 例：光滑的水平面上，有一轻弹簧，倔强系数为k=100N/m，一 　端固定于O点，另一端连接一质量为m=1kg的滑块，如图所 　示。设开始时，弹簧的长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度 　v0=5m/s, 方向与弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m 求：此时滑块速度v的大小和方向。 解：对滑块运动有影响的力只有 　弹力，故角动量和机械能守恒  v O l0 l v0 d 解得 v =4m/s， =300

例：质量为m的火箭A，以水平速度v0沿地球表面发射出去，如 　图。地轴oo`与v0平行，火箭A的运动轨道与地轴oo’相交于距 　o为3R的C点。不考虑地球的自转和空气阻力， 求：火箭A在C点的速度v与v0之间的夹角。(设地球的质量为 M、半径为R) 解　火箭运动过程中只受引力(保守力)作用，机械能守恒 v v0 M R O m A C O’  3R 由对o点的角动量守恒，有 解得

例：一质量为m、长为l的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的 　水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置 求：棒转到与水平面成角时的角速度和角加速度。 解： 棒在转动的过程中，只有保守力(重力)作功，故机械能 　守恒。取水平面为零势面，于是有 C hc  O 由此得 讨论：本题也可先由　　　 求出，再用　　　　　积分求

例：如图，有一由弹簧、匀质滑轮和重物M组成的系统，该系 　统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮无滑动 求：(1)重物M下落h时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。 解：(1). 系统在运动过程中只有保守力——重力和弹性力 作功 　所以机械能守恒： h M m r k 零势面 由此解得： (2).弹簧伸长最大时，M 的速度应为零。上式中令v=0，得弹 　簧的最大伸长量为：

例：长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定 　轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图。有一质量为m的子弹以 　水平速度射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3 求：(1)子弹射入后瞬间杆的角速度：(2)杆能转过的最大角度 解：(1).杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生 　力矩，故碰撞过程中角动量守恒： 2l/3 mv0 o A  解得 (2)杆在转动过程中显然机械能守恒

由此得 例：空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量 　为Io ,半径为R，初始角速度为o 。质量为m的小球静止在 　环的最高处A点，由于某种扰动，小球沿环向下滑动 求：小球滑到与环心O在同一高度的B点时，环的角速度及小 　球相对于环的速度各为多少。(设环的内壁和小球都是光滑 　的，环截面很小) A B O R 0 解：系统运动过程中只受到重力的作 　用，重力不产生力矩，故角动量守 　恒；显然机械能也守恒。 (1) (2)

上式中的v是小球相对于地的速度，它应为 vB表小球在B点时相对地面的竖直分速度(相对于环的速度) A B O R 0 由(1)得环的角速度为 由(2)得