第三章 刚体力学 4学时 刚体 一、刚体运动分类及动力学方程 ——外力作用下物体各部分之间相对距离保持不变 刚体的运动分为两类： 第三章 刚体力学 4学时 一、刚体运动分类及动力学方程 刚体 ——外力作用下物体各部分之间相对距离保持不变 刚体的运动分为两类： 平动——其上任意一条直线始终彼此平行 特点：其上任意一点的运动可代表全体——质点 转动——其上所有质点均绕某一直线沿圆形路径运动 特点：其上各点的速度一般不同——不能看成一个质点

更一般的情况——平动与转动兼而有之 可证明刚体的 更一般的情况——平动与转动兼而有之 可证明刚体的 一般运动 其上任一点的平动 +其它各点绕那点的转动 原则上可任取 选哪一点研究最方便？ 1、对定轴转动问题 分解成：o点的平动+各点绕o点的转动 c 2、转轴有平动的问题 质心的平动+ 各点绕质心的转动

一般运动其上任一点平动+其它各点绕 那点 的转动 可以证明：不论刚体做如何复杂的运动，其质心那一点的运动由 质心运动定律 分别为质心点的加速度、速度、位置矢量 c 锥体上滚 注意；质心运动定律只能求出质心点的速度、加速度等等

关于质心 两质点系 推广到n质点系

推广到n质点系 推广到质量连续分布的刚体

质点组 一般运动其上任一点平动+其它各点绕 那点 的转动 用什么方程来讨论转动部分？ 对任何惯性系成立 对定点和质心成立 不论运动与否 上章曾给出一个角动量定理（质点系） 无限细分 质点组 将此式直接推广到刚体 重点——刚体的定轴转动

二、定轴转动 刚体上所有质点的角速度相等 定轴转动特点： [1]转轴方位始终不变 [2] dS/dt=v各不同 1、定轴转动的转动定理 定轴转动特点： [1]转轴方位始终不变 [2] dS/dt=v各不同 [3]所有质点dθ/dt=ω一样 规定：角速度的方向与刚体的转动方向成右手螺旋关系 胡力学-角速度、角加速度 角加速度的方向与角速度的方向不一定相同

定轴转动轴上一点的平动+绕轴的转动

在定轴转动情况下 这相当于 在一维平动问题中 F~M P~Lz 即 v~ω 转动惯量 m~(?) 惯性质量

2、转动惯量 质量元mi对o点的角动量 投影到z方向： 刚体的总角动量取z分量 转动惯量 相比

定轴转动问题中的转动定理 下面求几个简单问题中的转动惯量 mi :刚体上第i 个质点的质量 Ri:第i个质点到转轴的垂直距离 例： 转动惯量与轴的位置有关 转动惯量与质量分布有关

均匀细杆绕z轴的转动惯量。质量m，长度L=a+b 特别： a - 1、当 a=b=L/2 2、当a=0,b=L

平行轴定理与正交轴定理 1、平行轴定理 2、正交轴定理

第三章可以不做的题目： 3-T3

假定绳子在滑轮上不打滑，则a与β之间有关系——约束关系 例：求装置中的加速度 1、画三个物体的受力图 2、标定各物体的加速度方向 3、列运动方程 对滑轮用转动定理 4、找“约束关系” 假定绳子在滑轮上不打滑，则a与β之间有关系——约束关系

约束关系——绳子的速度=m1 ，m2的速度=轮边缘点的速度 由（1）——（4）解出

问题[1]：求滑轮与其上的绳子之间的摩擦系数μ 提示： 问题[2]：既然绳子与滑轮之间有摩擦力，为什么在前面列各自的运动方程时却没有考虑？

例：将杆由θ=600静止释放。 1）求任意θ处杆的角加速度β？ • c 由转动定理 对o点 2）求任意θ处杆的角速度ω ？ 由定义

3）求任意θ处杆质心的速度 和加速度 • c 质心做半径为L/2的圆周运动 任意θ处 问：求任意θ处杆端点的速度和加速度？

4）求水平瞬间杆的

5）求杆水平瞬间杆施加于轴点处的力？ 由 支点对杆的力 力的方向？ 由牛顿第三定律杆对支点的力 力的方向？ 此时转动定理已不便使用？ 可应用质心运动定理 由 支点对杆的力 力的方向？ 由牛顿第三定律杆对支点的力 力的方向？

三、定轴转动的角动量定理及角动量守恒定理 由转动定理 有 积分形式 定轴转动的角动量定理 积分形式 ——力矩在时间Δt内的冲量矩 力矩的时间累积效应是使刚体的角动量发生变化 特别：当Mz=0时有Lz=恒量 定轴转动的角动量守恒定理

瞬时关系 涉及t = t +dt 一段无限小时间间隔 涉及0 — t 一段时间间隔

（1）对单一刚体 J一定时则ω=恒量 当Mz=0时有Lz=Jω=恒量 J变化时ω成反比变化 例如：光滑桌面上杆的定轴转动 对z轴，桌面的支撑力，重力不产生力矩，设轴处光滑（无摩擦力矩）所以Mz=0Lz=Jω=恒量 J不变——ω也不变 但若桌面粗糙有摩擦 摩擦力对o点的力矩将使杆的Lz发生变化 ω发生变化

z 设t=0时ω=ω0 求 t 时刻的角速度ω？或 角速度变为0时的时间t ? ？ 由角动量定理 即 或

设开始的转动角速度为ω0，求当刚体静止下来时所经历的时间 杆与桌面之间的摩擦系数均为μ。 你会求下列问题吗？ 设开始的转动角速度为ω0，求当刚体静止下来时所经历的时间 绕杆上的任意一点旋转 绕杆的中点旋转 桌面上均匀薄圆盘绕中心轴旋转

没有合外力矩使得系统的总角动量不变，但由于内力矩的存在会导致各个部分的角动量发生变化 （2）系统由两部分组成 系统总角动量的z分量 由M=0有Lz=恒量 第一部分的角动量 第二部分的角动量 系统合外力矩的z分量 没有合外力矩使得系统的总角动量不变，但由于内力矩的存在会导致各个部分的角动量发生变化

ω ω 例：刚体-刚体 工程上常用摩擦啮合器使两飞轮的转速达到一致。两轮同轴。 开始ω1ω2 现将两者靠拢。在啮合器之间的摩擦力f 的力矩作用下使两者转速达到一致设为ω.求ω A B 2 w 1 w 1 N 2 N ω ω g m 1 g m 2

ω ω 设两者对轴的转动惯量分别为J1, J2 。+z沿轴向右 接触前： 达到同速后： 令两者相等： w w w w J L + = 若接触前两转轮转动方向如图

？ 又问：在啮合期间0—t A轮受到的冲量矩多大？ 以A为对象：由定义：该时间内A受到的冲量矩为 ——A受到的力矩，即B的啮合器给予A的力矩 M ——A受到的力矩，即B的啮合器给予A的力矩 由角冲量定理： 前已得出 代入即可 又由内力矩之合为0

 - 例：刚体-质点 水平转台轴光滑。开始时盘连人对地以ω0匀速转动 此时系统对z轴的角动量： o 例：刚体-质点 水平转台轴光滑。开始时盘连人对地以ω0匀速转动 w  此时系统对z轴的角动量： 若人垂直盘半径相对盘以v沿与盘转向相反的方向做圆运动，求此后盘对地的角速度ω z o 盘 相对地面的角速度 ——是什么意义？ ——人对盘的角速度 人对地的角速度如何？ 人 人对盘 -

z o  设盘由ω0ω；人由ω0  ω’ 人走动后： z o 系统角动量守恒  盘 // // // 人

[例]质点-质点 两个质量为m的小球用长为l的轻杆连接起来，放在光滑水平桌面上。给其中一球以垂直与杆方向的速度v0,求此系统的运动规律和杆中张力的大小？ 质心点做匀速直线运动 两球绕质心做匀速圆周运动

四、刚体定轴转动的功和能 单一刚体的动能 第i个质点的动能 z 整个刚体的总动能 再看使之转动的力的功

设力F在与z轴平行的平面内。在力的作用下，力的作用点位移 该微小过程中力F的元功dA 由动能定理： z // F r ^ F v 定轴转动的动能定理

若外力F为保守力，可以引入与之相关的势能函数Ep 使 定轴转动的动能定理 若外力F为保守力，可以引入与之相关的势能函数Ep 使 • 则有定轴转动的机械能守恒定理 由平行轴定理 所以定轴转动刚体的机械能可写为

定轴转动的刚体在只有重力势能情况下的机械能有两种表示方法 绕定轴的转动动能 . 绕质心的转动动能 质心平动动能

若m为两个滑冰运动员，现两人同时收拢细杆，当两者之间距离变为 l / 2 时各自的角速度变为多少？每个人在缩短距离时所做的功？ [例]质点-质点 两个质量为m的小球用长为l的轻杆连接起来，放在光滑水平桌面上。给其中一球以垂直与杆方向的速度v0,求此系统的运动规律和杆中张力的大小？ 质心点做匀速直线运动 两球绕质心做匀速圆周运动 若m为两个滑冰运动员，现两人同时收拢细杆，当两者之间距离变为 l / 2 时各自的角速度变为多少？每个人在缩短距离时所做的功？ 单个人对质心的转动惯量

例：杆由水平以静止下摆到垂直瞬间与飞来的小球相碰，碰后以球v’反弹。求碰后瞬间杆的角速度ω’？ 过程1：下摆过程—机械能守恒 水平瞬间： 与小球碰撞前瞬间： v 碰撞结束后瞬间 与小球碰撞前瞬间

- - 杆在与球碰撞前瞬间 杆—球系统碰撞前后对支点有角动量守恒 以垂直纸面向外为+z的方向 碰撞前瞬间： 碰撞后瞬间： 令 o v l w 杆在与球碰撞前瞬间 杆—球系统碰撞前后对支点有角动量守恒 以垂直纸面向外为+z的方向 - 碰撞前瞬间： - 碰撞后瞬间： o l 令 代入速度的大小 相撞前后瞬间球与杆的总动量守恒吗？ 若为“完全弹性碰撞”——相碰撞前后瞬间系统的动能守恒 条件 相撞前后瞬间球与杆的总动能守恒吗？ 条件

五、回转运动 一、什么是回转运动 1º 如果该物体不受外力矩的作用，情况如何？ 惯性运动——[1]转轴的方向将保持不变 现假设有一均匀、对称的物体以很大的角速度ω旋转。我们要问： 1º 如果该物体不受外力矩的作用，情况如何？ 惯性运动——[1]转轴的方向将保持不变 [2]角速度ω大小方向保持不变 2º 如果该物体受外力矩的作用，情况如何？ 1°仍绕对称轴快速旋转 2°对称轴绕竖直轴旋转起来 3°自转方向反向时轴的旋转方向也反4°即使θ=90°也不会倾倒 “进动”

二、回转运动的简单分析 当A的大小始终保持不变则有 当 则 的作用不改变 的大小只改变其方向

设进动角速度大小为 方向 可以证明[1] 力矩 的方向不依赖 及 的方向，故 3°自旋角动量 方向反向， 必然跟着反向 [2] 近似结果 ωp <<ω时成立 ωp与θ无关， 4°即使θ=π/2飞轮也不会倒下

微观领域：研究原子、分子、电子等微观粒子的运动 大范围内：天 体运动的研究 回转效应在技术上有着广泛的应用 如鱼雷、火箭、导弹上的自动导航装置 列车、轮船上的稳定器 微观领域：研究原子、分子、电子等微观粒子的运动 大范围内：天 体运动的研究 如地球除了绕自身轴旋转外就有进动 进动周期为26000年 进动虽然是一个古老的学科，但小到微观领域大到天体运动的研究，从小孩玩的陀螺到许多现代尖端技术都找得到进动现象的应用