第12章 气体动理论 热现象是在自然界中是十分普遍的，它是大量分子不规则运动的宏观表现，要认识热现象的本质，必须研究分子的微观运动。 扫描隧道显微镜（STM） 热现象是在自然界中是十分普遍的，它是大量分子不规则运动的宏观表现，要认识热现象的本质，必须研究分子的微观运动。

第四章 气体动理论 本章内容 §4.1 宏观与微观 统计规律 §4.2 理想气体的压强与温度 §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 §4.1 宏观与微观 统计规律 §4.2 理想气体的压强与温度 §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率

本节学习指导： §4.1 宏观与微观 统计规律 1、什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量与微观 量之间有什么关系？ §4.1 宏观与微观 统计规律 本节学习指导： 1、什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量与微观 量之间有什么关系？ 2、什么是统计规律？他对个别或少量事件成立吗？ 3什么是平衡态？他与力学中的平衡概念有何不同？

§4.1 宏观与微观 统计规律 宏观与微观 宏观量：热力学研究的对象是由大量分子组成的热力学系统，我们把体积、压强、温度等描述系统宏观状态的物理量称为宏观量，这些量反映了大量分子的集体特性。 平衡态：容器中一定质量的气体，与外界无能量交换，系统内部也无能量交换，足够长的时间后，系统的密度、温度、压强都处处相同，系统的这种状态称为平衡状态。 微观量：我们把描述单个分子性质和状态的物理量称为微观量。如分子的质量、位置、速度、动量、和动能等。 统计规律：一定条件下，大量偶然随即事件的整体具有的确定的规律称为统计规律。 概率：在相同条件下重复进行N次试验中，某事 件i的出现次数为Ni次，则事件i出现的概率是： 概率的性质：① 0≤Pi≤ 1事件i的概率只可能在0和1之间； ② 表示各种可能事件出现的概率的和等于1，这称为概率的归一化条件。

§4.1 宏观与微观 统计规律 分子运动的基本观点 1. 宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在 一定的空隙 2. 分子在永不停息地作无序热运动 (1) 气体、液体、固体的扩散 水和墨水的混合 相互压紧的金属板 例如： (1) 1cm3 的空气中包含有 2.7×1019 个分子 (2) 水和酒精的混合 (2) 布朗运动 A B C §4.1 宏观与微观 统计规律

§4.1 宏观与微观 统计规律 ( 布朗运动 ) 3. 分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作 用(分子力)可近似地表示为 ( 布朗运动 ) §4.1 宏观与微观 统计规律

§4.1 宏观与微观 统计规律 由分子力与分子距离的关系，有 ( 平衡位置 ) 结论 式中r 表示两个分子中心的距离，  、  、 s 、 t 都是正数，其值由实验确定。 斥力 引力 (分子力与分子间距离的关系) 分子力表现为斥力 分子力表现为引力 由分子力与分子距离的关系，有 ( 平衡位置 ) 一切宏观物体都是由大量分子组成的，分子都在永不停息地作无序热运动，分子之间有相互作用的分子力。 结论 §4.1 宏观与微观 统计规律

§4.1 宏观与微观 统计规律 气体分子运动的规律 1. 气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动 (1) 由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小， 除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分 子间相互作用的分子力是极其微小的。 (2) 由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可 以忽略。 2. 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子大约要碰撞几十亿次(109次/秒) §4.1 宏观与微观 统计规律

§4.1 宏观与微观 统计规律 3. 气体分子热运动服从统计规律 统计的方法 物理量M 的统计平均值 状态A出现的概率 归一化条件 Ni 是M 的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为N §4.1 宏观与微观 统计规律

例如平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为 气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有 §4.1 宏观与微观 统计规律

§4.1 宏观与微观 统计规律 又如平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为 由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概 率相等，故有 又如平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为 §4.1 宏观与微观 统计规律

§4.1 宏观与微观 统计规律 伽耳顿板实验 若无小钉：必然事件 若有小钉：偶然事件                  若无小钉：必然事件 若有小钉：偶然事件 一个小球落在哪里有偶然性 实验现象 少量小球的分布每次不同 大量小球的分布近似相同 (1) 统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律 (2) 统计规律和涨落现象是分不开的。 结论 §4.1 宏观与微观 统计规律

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本节学习指导： §4.2 理想气体的压强与温度 1、理想气体的微观模型是怎样的？推导压强公式时，哪些地方用到这一模型？ 2、注意理想气体压强公式推导的条件、思路和方法，推倒重哪些地方用到了统计假设？假设的内容是什么？ 3理想气体压强和温度这两个宏观量与哪些微观量的统计平均值有关？如何理解这两个宏观量的微观本质？ 4、为什么说理想气体的压强和温度这两个概念仅具有统计意义？

§4.2 理想气体的压强与温度 一. 理想气体的微观模型 二. 平衡态气体分子的统计性假设 (1) 不考虑分子的内部结构并忽略其大小 (2) 分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了 碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。 (3) 碰撞为完全弹性 理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没有相互作用的弹性球。 二. 平衡态气体分子的统计性假设 1. 每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化 §4.2 理想气体的压强与温度

§4.2 理想气体的压强与温度 三. 理想气体的压强公式 2. 分子按位置的均匀分布（重力不计） 在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同, 容器内 各处的分子数密度相同 3. 分子速度按方向的分布均匀 由于碰撞, 分子向各方向运动的概率相同，所以 三. 理想气体的压强公式 气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的。 例: 雨点对伞的持续作用 1. 从气体分子运动看气体压强的形成 §4.2 理想气体的压强与温度

· §4.2 理想气体的压强与温度 2. 理想气体的压强公式 设体积为V 的容器, 内贮分子总数为 N， 分子质量 为μ，分子 速度为 的分子 数为 , 分子数密 度为 在dt 时间内，速度为 vi 的分子与 面元dA 碰撞的分子数为 · z y x O §4.2 理想气体的压强与温度

· §4.2 理想气体的压强与温度 在dt 时间内，与面元dA 碰撞的所有分子所受的冲量dI 为 由压强定义得 说明 (1) 压强 p 是一个统计平均量。它反映的是宏观量 p 和微 观量 的关系。对大量分子，压强才有意义。 说明 (2) 压强公式无法用实验直接验证 §4.2 理想气体的压强与温度

一容积为 V=1.0m3 的容器内装有 N1=1.0×1024 个 氧分子N2=3.0×1024 个氮分子的混合气体， 混合气体的压强 p =2.58×104 Pa 。 (1) 由压强公式 , 有 例 求 (1) 分子的平均平动动能； (2) 混合气体的温度 解 (2) 由理想气体的状态方程得 §4.2 理想气体的压强与温度

§4.2 理想气体的压强与温度 结束 返 回

本节学习指导： §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 1、什么是自由度？单原子、刚性双原子、多原子分子的自由度是多少？ §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 本节学习指导： 1、什么是自由度？单原子、刚性双原子、多原子分子的自由度是多少？ 2、什么是能量均分定理？为什么能量会按自由度均分？ 3、注意理想气体内能的概念、公式及其特点。

z o y x 一、气体分子的自由度： §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 在讨论理想气体分子热运动时把分子看成质点，只考虑分子平动。 §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 一、气体分子的自由度： 在讨论理想气体分子热运动时把分子看成质点，只考虑分子平动。 决定分子位置所需要的独立坐标的数目称为分子的自由度。 x y z o α β θ 单原子分子有三个自由度，三个平动自由度； 刚性双原子分子有五个自由度，三个平动自由度，两个转动自由度； 多原子分子有六个自由度，三个平动自由度，三个转动自由度。

二、能两按自由度均分定理 §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 二、能两按自由度均分定理 理想气体分子的平均平动动能为 在温度为T热平衡状态下，气体分子的动能（平动动能和转动动能）均匀地分配在每一个自由度（平动自由度和转动自由度）上 。这个结论称为能量均分定理。它是一条关于物质分子热运动动能的统计规律。 每个平动自由度上平动动能为

二、能两按自由度均分定理 §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 §4.3 能量均分定理 理想气体的内能 二、能两按自由度均分定理 根据能量均分定理，自由度为i的气体 ，在温度为时达到平衡则该分子的平动动能为： 单原子分子 刚性双原子分子 多原子分子

§4.3 能量均分定理 理想气体的内能 三、理想气体的内能 气体内部所有分子的动能和势能的总和，叫做气体的内能。理想气体可以忽略分子间的相互作用，因此理想气体的内能是所有分子的动能的总和。 设某种理想气体的自由度为i，1mol的气体含有NA各分子，则1mol的气体德内能为 由此得质量为m，摩尔质量为M的理想气体的内能为 当温度改变ΔΤ时，内能的改变量是：

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本节学习指导： §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 1、什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量与微观 量之间有什么关系？ §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 本节学习指导： 1、什么是宏观量？什么是微观量？系统的宏观量与微观 量之间有什么关系？ 2、什么是统计规律？他对个别或少量事件成立吗？ 3什么是平衡态？他与力学中的平衡概念有何不同？

· · §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 一. 分布的概念 2000 问题的提出 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 一. 分布的概念 · 问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按速率的分布。 · 分布的概念 例如学生人数按年龄的分布 年龄 15 ~16 17 ~ 18 19 ~20 21~22 人数按年龄 的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按 年龄的分布 20% 30% 40% 10%

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 二. 速率分布函数 f (v ) … 速率 例如气体分子按速率的分布 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 例如气体分子按速率的分布 速率 v1 ～ v2 v2 ～ v3 … vi ～ vi +Δv 分子数按速率 的分布 ΔN1 ΔN2 ΔNi 分子数比率按速率的分布 ΔN1/N ΔN2/N ΔNi/N ｛ ΔNi ｝就是分子数按速率的分布 二. 速率分布函数 f (v ) 设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区间内分子数的比率为 f (v ） 称为速率分布函数

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 三. 气体速率分布的实验测定 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总 意义： 分子数的比率。 三. 气体速率分布的实验测定 1. 实验装置 2. 测量原理 (1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件 通过改变角速度ω的大小， 选择速率v §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 四. 麦克斯韦速率分布定律 (3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 (3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 沉积在检测器上相应的金 属层厚度必定正比相应速率 下的分子数 四. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数 ( 麦克斯韦速率分布函数 ) 式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量 k = 1.38×10-23 J / K 1. 麦克斯韦速率分布定律 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为 说明 (1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。 (3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。 理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为 这一规律称为麦克斯韦速率分布定律 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率

· · · §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 f(v) 2. 麦克斯韦速率分布曲线 T 由图可见，气体中 速率很小、速率很 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 f(v) 2. 麦克斯韦速率分布曲线 T · 由图可见，气体中 速率很小、速率很 大的分子数都很少。 · 在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布 在v～v+ dv 中的分子 数与总分子数的比率 · · v O v1 v v2 v＋dv ( 速率分布曲线 ) · 在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间 的分子数与总分子数的比率

· §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 f(v) 曲线下面的总面积， 等于分布在整个速 T 率范围内所有各个 速率间隔中的分子 O T ( 速率分布曲线 ) · 曲线下面的总面积， 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子 数与总分子数的比 率的总和 最概然速率v p f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率 (归一化条件) f(v) 不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 ① μ 一定,T 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, 这时曲线向左移动 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 ① μ 一定,T 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, 这时曲线向左移动 v p 越大, v p 越小, T1 f(v) v O T2(> T1) μ1 μ2(> μ1) 由于曲线下的面积不变,由此可见

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 五. 分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 五. 分子速率的三种统计平均值 1. 平均速率 式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量 思考： 是否表示在v1 ~v2 区间内的平均速率 ？

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 3. 最概然速率 2. 方均根速率

· §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 说明 f(v) (1) 一般三种速率用途各 不相同 T 讨论速率分布一般用 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 (1) 一般三种速率用途各 不相同 讨论分子的碰撞次数用 说明 讨论分子的平均平动动 能用 讨论速率分布一般用 T f(v) v O (2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: ·

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 氦气的速率分布曲线如图所示. 例 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况， 氦气的速率分布曲线如图所示. 解 例 求 (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率 O (2)

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 例 有N 个粒子，其速率分布函数为 (1) 作速率分布曲线并求常数 a 求 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 (1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数 解 有N 个粒子，其速率分布函数为 例 求 (1) 由归一化条件得 O

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 (2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 (2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以 因此，v>v0 的分子数为 ( 2N/3 ) 同理 v<v0 的分子数为 ( N/3 ) 的分子数与总分子数的比率为

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 例 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。 解 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。 根据平均值的定义，速率倒数的平均值为 解 例

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 例 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vp~vp+Δv 区间内的分子数与温度 成反比( 设Δv 很小) 将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有 例 证

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率在v~v+dv 之间的几率为 式中A 为常数 解 例 求 该电子气的平均速率 因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 五. 气体分子按平动动能的分布规律 麦克斯韦速率分布定律 代入上式得 §4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 五. 气体分子按平动动能的分布规律 麦克斯韦速率分布定律 上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在  ~ + 区间内的分子数与总分子数的比率。 意义： 代入上式得 思考 最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能? 两边微分

§4.4 麦克斯韦速度分布律 波尔兹曼能量分布率 结束 返 回