万物皆数 — 毕达哥拉斯 方法就是把我们应注意的事物进行适当的整理和排列. — R.Descartes

数学实验 个人住房抵押贷款及其它金融问题 上海交大数学科学学院

实验目的 矩阵及其运算、方程的求根 矩阵等运算  学习相关问题建模  复习：数列及其极限、线性代数方程组、  介绍差分方程  学习相关问题建模  复习：数列及其极限、线性代数方程组、 矩阵及其运算、方程的求根  运用 Matlab 进行迭代运算、求根、 矩阵等运算

实际案例 1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列: 贷款期限 半年 1年 3年 5年 5年以上  中国人民银行再次调整存、贷款利率 1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列: 贷款期限 半年 1年 3年 5年 5年以上 利率/ ％ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 (当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.)

上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表  上海个人住房商业性贷款利率再次降低 上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表 个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（％） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660 个人住房商业抵押贷款(万元)还款表 贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71

个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？ 提出问题 个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？ 分析一下年利率和月还款额表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（％） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660 贷款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71

建立模型与求解 设贷款后第k 个月时欠款余数为Ak ,月还款额m 元 则由Ak 到Ak+1，应有 Ak+1-Ak＝rAk- m 即得模型 Ak+1＝(r＋1)Ak -m (k = 0,1,…) 其中 r 为月利率 r ＝0.06255/12＝0.0052125 尝试自己推导 表达式 作业1 Ak＝A0(1+ r)k－[(1+ r)k－1]m/r

M＝[A0(1+ r)k r]/[(1+ r)k－1]  考虑二年期情况： A0＝10000, k＝24 ,A24=0 r＝0.0052125 M＝[A0(1+ r)k r]/[(1+ r)k－1] 利用Matlab function m2_0(R,k) A0=10000; r=R/12; m=A0*(1+r)^k*r/((1+r)^k-1) 可以验证还款表的各项数据

有数字相同：6.12％、6.66％，年限不同 优惠 中间年限的利率如何得出 (线性插值) 任务1：制定住房商业性贷款利率表和还款表  年利率如何得到 比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款， 有数字相同：6.12％、6.66％，年限不同 优惠 中间年限的利率如何得出 (线性插值) 任务1：制定住房商业性贷款利率表和还款表  还款周期越短越好吗 如果逐年还款，对二年期贷款用公式(r应为年利率)算得年还款额，5473.867元,本息总额10947.63元，比逐年还款本息总额10664.54元多 任务4：讨论还款周期问题

任务2 请自己到银行了解最新住房贷款利率 试制作一张为期1－20或30年的贷款利率 表和还款表 参考数据： 2011年的上海某银行住房贷款利率 半年：6.1 1年：6.56 3年：6.65 5年：6.90 5年以上：7.10

其它金融或经济问题 交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生) (注意：显然结果依于投保人寿命)  养老保险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.  问题 交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生) (注意：显然结果依于投保人寿命)

设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的 累计总额为Fk，那么易得到数学模型为分段表示的 差分方程 Fk+1=Fk(1+ r)＋ p, k = 0,1,…, N Fk+1=Fk(1+ r)－ q, k =N+1,…, M 其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率，N, M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).显然 M 依赖于投保人的寿命,取 M = 75(岁) （统计平均值） 以25岁起投保为例,则有 P = 200, q = 2282; N = 420, M = 600

Fk = F0 (1+ r )k ＋[(1+ r )k－1] p/r, k = 0, 1,…, N 可推出差分方程的解(自己推导一下) Fk = F0 (1+ r )k ＋[(1+ r )k－1] p/r, k = 0, 1,…, N Fk = FN (1+ r )k －N ＋[(1+ r )k－1] q/r, k =N+1,…, M 注意 F0 = FM = 0，消去FN ， (1+ r )M－ (1+ q/p ) (1+ r )M－N + q/p ＝0 作业2 记 x＝ 1+ r， 代入数据 x600－12.41x180＋11.41＝0 ( Newton 法,方程求根)

使用Matlab 制作m文件 键入  交保险费所得月利率为 0.00485 年利率为 0.0582 function y=m2_1(x) p=200; q=2282; y=x.^M-(1+q/p)*x.^(M-N)+q/p; 键入 format long g fsolve(@m2_1,1.01)  交保险费所得月利率为 0.00485 年利率为 0.0582

任务 3 一个购房贷款的比较 小李夫妇曾经准备申请商业贷款100万元用于购置住房，每月还款8806.6元，25年还清. 房产商介绍的一家金融机构提出：贷款100万元，每半月还款4403.3元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付40000元. 小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3 2万元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的. 试分析情况是否这样？

试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？ 任务5：一个人寿保险计划的利率分析 某保险公司的推出结合养老的寿险 计划，例子为：若40岁的男性投保人每 年交保险费1540元，交费期20年至60岁 则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元 试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？

资金流动趋势？ 总额$540万基金,放置A公司和B公司 要求：周末结算时总额仍为$540万 每过一周 A 城公司基金10％ → B 城公司 金融公司的支付基金的流动 (形式推广的 新问题) 总额$540万基金,放置A公司和B公司 要求：周末结算时总额仍为$540万 每过一周 A 城公司基金10％ → B 城公司 A 城公司 ← B 城公司基金12％ A公司基金额A0＝$260万 B公司基金额B0＝$280万  问题 资金流动趋势？ 会否少于警戒数＄220(万)

通过对数据的观测估计结论 ak+1= 0.9ak + 0.12 bk 差分方程组 bk+1= 0.1ak + 0.88 bk (12周数据) 数学模型 设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有 ak+1= 0.9ak + 0.12 bk bk+1= 0.1ak + 0.88 bk 差分方程组  观察数据 通过对数据的观测估计结论 (12周数据)

利用Matlab 可看到变化趋势，能不能求出方程解？ (分别求出an,bn 与n 的关系式) function m2_2(n) a(1)=0.9*a0+0.12*b0; b(1)=0.1*a0+0.88*b0; for k=1:n-1 a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k); end a b 可看到变化趋势，能不能求出方程解？ (分别求出an,bn 与n 的关系式)

ak是否有上界、bk是否有下界? bk是否会小 于220？ 12周的变化数据 k ak bk ak bk 1 267.6000 272.4000 7 288.4773 251.5227 2 273.5280 266.4720 8 289.8123 250.1877 3 278.1518 261.8482 9 290.8536 249.1464 4 281.7584 258.2416 10 291.6658 248.3342 5 284.5716 255.4284 11 292.2993 247.7007 6 286.7658 253.2342 12 292.7935 247.2065 任务 6 完成这个问题的分析： ak是否有上界、bk是否有下界? bk是否会小 于220？

关于任务6 (分别求出an,bn 与n 的关系式) 可导出表达式 由此式讨论 k→∞ 的情况  能不能求出方程解？  利用矩阵形式  能不能求出方程解？ (分别求出an,bn 与n 的关系式)  利用矩阵形式 可导出表达式 作业3 由此式讨论 k→∞ 的情况

任务7 根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应地B城公司的支付基金减少$6万. 此时，机构中一位的职员 (他曾就读于某大学数学系)向 机构负责人建议将增减数额改 为$5.5万. 试问机构负责人是否应该采纳这个建议，为什么？

 2.投保人每月交保险费p，交了m个月后每月领养老费可领n个月，若所领款全由交费及其利息产生(月利率r)，求投保人每月领养老费额 在完成任务时所附的作业  1.贷款A0，月利率r，月还款额m ，推导第k 个月后时欠款余数Ak 的表达式  2.投保人每月交保险费p，交了m个月后每月领养老费可领n个月，若所领款全由交费及其利息产生(月利率r)，求投保人每月领养老费额  3.若

任务 8 2002年10月24日发行的面值100元年利率 2.65%的5年期记帐式国债，期内每年10月24日派 发利息2.65元. 设在2005年3月31日，该国债的收盘价格F ＝99元，投资者购买该国债需要支付上次派息 日到购买日的利息(依天数计息)，还需上两项 总数的0.1%为手续费. 如果投资者到期再取出本息，其间获得的利息也按年利率2.65%计息，那么他购入的国债平均年收益率是多少？

怎样完成实验任务 积极思考 有所选择 合作讨论 自己动手 谢谢各位!