§5.2 中心极限定理 定理3（同分布中心极限定理）设随机变量X1, X2, …, Xn, …相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差，即： E(Xk) =，D(Xk) =2，k = 1, 2, … 则随机变量 的分布函数Fn(x)满足： 对任意的x，有
说明： （1）当n较大时，Yn 近似地服从N(0, 1)，即 （2）当n很大时， 近似地服从 N(n, n2), 即不论Xi 具有怎样的分布，只要有有限的期望和方差，当n很大时，其和 就近似地服从正态分布。
定理4（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）设随机变量n服从参数为n , p的二项分布(n=1, 2, …, 0＜p＜1)，则对于任意实数x, 恒有 证 由于服从二项分布的随机变量n可视为n个相互独立的、服从同一参数 p 的 0-1 分布的随机变量 X1, X2, …, Xn 之和: 其中
由独立同分布中心极限定理可得 此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布．当n充分大时，服从二项分布的随机变量n 的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算：
由于当较大n，且p较小时，二项式分布的计算十分麻烦，因此，若用上面的近似公式计算将是非常简洁的．
例1 某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0 例1 某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于200000元的概率． 解 设表示500 辆的士中出事故的车辆数，则 X服从n=500, p=0.006的二项分布, 这时 保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为 即事件{0≤X≤4},从而有
可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781.
例2 设船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于6的概率为 p=1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于的概率是多少？ 解 设X为90000次冲击中纵摇角度大于6的次数, 则 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得
例3 现有一批良种率为0.6的种子，从其中任意抽出1000粒，试问在这1000粒种子中，良种所占的比例在2/5至4/5之间的概率是多少? 解 抽一粒良种看成是一次随机试验，因此抽1000粒种子看作是1000重贝努里试验．若令X表示1000粒种子中的良种数，则X服从n=1000, p=0.6的二项分布，故由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理可得
例4 在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？ 解 设应抽查n件产品，其中次品数为Y．记 则 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得
要使 即 解得 即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．
例5 独立地多次测量一个物理量，每次测量产生的随机误差，都服从(-1,1)内的均匀分布． (1) 若取n次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的差小于正数 的概率； (2) 计算当n=36, =1/6 时概率的近似值； (3) 要使上述概率不小于 =0.95, 应进行多少次测量? 解 (1) 设Xi表示第i次测量值， i表示第i次测量产生的随机误差( i=1,2, …,n) , 表示所测物理量的真值，则 Xi= + i . 由题设 i ~ U(-1,1) ，所以
由题设知X1, …, Xn独立同分布，而且 故当n很大时，由独立同分布的中心极限定理可知，随机变量 近似服从标准正态分布．于是，所求概率为
(2) 当时 时，所求概率为 (3) 由题意可知，现在要求n的值，使概率 令 , 使 , 反查标准正 态分布表得：x=1.96。 因此 ，即 ．由此可知， 当 时，要使概率不小于0.95，至少需增加10次测量．