第30课　视图与投影

基础知识 自主学习 要点梳理 1．三视图： (1)主视图：从 看到的图； (2)左视图：从 看到的图； (3)俯视图：从 看到的图． 正面 基础知识 自主学习 要点梳理 1．三视图： (1)主视图：从 看到的图； (2)左视图：从 看到的图； (3)俯视图：从 看到的图． 正面 左面 上面

2．画“三视图” 的原则： (1)位置：主视图；左视图； 俯视图． (2)大小：长对正，高平齐，宽相等． (3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓通常画成实线， 看不见部分的轮廓线通常画成虚线．

3．投影： 物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影 子，这就是投影现象． (1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线 所形成的投影称为平行投影． 在同一时刻，物体高度与影子长度成比例． 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直 于投影面的平行光线)下的平行投影． (2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看 成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称 为中心投影． (3)像眼睛的位置称为视点．由视点出发的线称为视线．两 条视线的夹角称为视角．看不到的地方称为盲区．

4．判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体 或实物原型． 5．直棱柱﹑圆锥的侧面展开图分别是矩形和扇形．能根据 展开图判断和制作立体模型．

[难点正本　疑点清源] 1．明确三视图之间的关系 大小关系：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平 齐，左视图与俯视图宽相等． 2．理解三类投影的性质 (1)物体所处的位置、方向及时间都对该物体的平行投影产生 影响：不同时刻，同一地点，同一物体的影子的长度不同；同一 时刻，同一地点，不同物体的影子的长度与物体长度成比例． (2)光源和物体所处的位置及方向对物体的中心投影产生影响： 一般来说，同一物体相对同一光源的距离近时的影子比距离远时 的的影子短；光源或物体的位置改变，一般来说该物体的影子的 位置也改变，但光源和物体的影子始终分居在物体的两侧． (3)正投影的性质：当线段平行于投影面时，它的正投影长度 不变；当线段倾斜于投影面时，它的正投影线段变短；当线段垂 直于投影面时，它的正投影缩为一个点．点的正投影还是点；线 的正投影可能是线，也可能是点；面的正投影可能是面，也可能 是线；几何体的正投影是面．

基础自测 1．(2011·福州)在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是( ) 答案 A 1．(2011·福州)在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是(　　) 答案　A 解析　几何体A的三视图都是圆形，故选A.

2．(2011·金华)如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　B 解析　该几何体的俯视图如图所示，其面积是5.

3．(2011·舟山)两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是(　　) A．两个外离的圆 B．两个外切的圆 C．两个相交的圆 D．两个内切的圆 答案　D 解析　观察图形可知，组成几何体的两球都与水平面相切，所以这个几何体的左视图是内相切的两圆．

4．(2010·黄石)一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，则在该正方体中，和“崇”相对的面上写的汉字是(　　) A．低 B．碳 C．生 D．活 答案　A 解析　假设“崇”为正方体的前面，则“尚”、“碳”是这个正方体的右面与左面，正方体的后面是“低”．

答案　C

题型分类 深度剖析 题型一 由几何体判断其三视图 【例 1】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( ) 答案 A 题型分类 深度剖析 题型一　由几何体判断其三视图 【例 1】　某几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(　　) 答案　A 探究提高　掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案．

探究提高　掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案．

知能迁移1　(1)根据下面的三视图描述所对应的物体． 解　长方体上放置一个圆锥．

(2)(2011·安徽)下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图是(　　) 答案　A

题型二 由三视图确定原几何体的构成 【例 2】 下图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图． 题型二　由三视图确定原几何体的构成 【例 2】　下图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图． (1)请在几何体的俯视图中用数字标上各个位置的小立方体的个数，并说明原几何体中小立方体的总个数； (2)若以上每一个小正方形的面积为1，则整个几何体的表面积为多少？

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)该几何体的俯视图上每个小立方体 的个数应如图所示，搭成这个几何体 的立方体的个数为8.[4分] (2)表面积为30.[2分] 探究提高　确定一个几何体由多少个小立方体组成，往往需要把三个视图组合起来综合考虑，并把结果在某一视图中表现出来，考查空间想象能力和分析问题的能力．

知能迁移2　(1)下图是几何体的俯视图，所标数字为该位置立方体的个数，请补全该几何体的主视图和左视图． 解

(2)(2011·日照)如图表示一个由相同小立方 块搭成的几何体的俯视图，小正方形中 的数字表示该位置上小立方块的个数， 那么该几何体的主视图为(　　) 答案　C

题型三　根据三视图进行计算 【例 3】　如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据所示数据计算这个几何体的表面积； (3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬 到AC的中点D，请求出这个路线的最短路程．

探究提高　将立体图形与平面图形对照来看，将所给的数据标注到立体图形上，本题考查空间想象能力．

知能迁移3　一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积．

题型四　平行投影的综合应用 【例 4】　如图，王华晚上由路灯下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米． (1)在图中确定路灯A的准确位置； (2)求路灯A到直线CD的距离．

探究提高　连接物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到相交直线，即为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本方法．

知能迁移4 (1)一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子(用线段CD表示)； (2)图2是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置(用点P表示)，并在图中画出人在此光源下的影子(用线段EF表示)． 图2 图1

(2)如图2，点P是影子的光源；EF是人在光源PF的影子． 解　(1)如图1，CD是木杆在阳光下的影子． (2)如图2，点P是影子的光源；EF是人在光源PF的影子． 图2 图1

易错警示 19．对立体图形展开后的邻面、对面观察不仔细 试题　如图，A、B、C三个立方体中，有一个立方体展开后就是D图，这个立方体是________．

学生答案展示　C 剖析　本题给出了立方体的展开图，可将D图进行折叠，把握好两个关键点：①能否折叠，如出现“田”字形，“凹”字形的图案就一定不能折叠；②折叠后是否不重不漏，刚好形成一个封闭图形．同时，在观察图形时，最好能将正方形的六个面分别取不同的名字，如分别叫做：前、后、上、下、左、右，并且在图形上标示出每一个面的名称，这样就不会将重复的面漏掉而产生错误的答案． 有些同学将D图中1为“前”，这时发现“上”为5，“右”为2，与A不同；同样，以2为“前”，则“上”为3，“右”为4，与B也不同，这时就只好猜测最像的一组C，从而得到错误的答案．

本题怎么会出现这样的情况呢？原因很简单，大家都知道，立方体是能够旋转的，而这里我们仅仅只以一个面为标准是不够的，也就是说，当我们以1为“前”时，与1相邻的四个面都可以作为“上”，那么“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”的写法就有四种，那怎样解决这个问题呢？我们只需同时确定两个面就不会出现旋转的问题，如将D图中1作为“前”，2作为“上”，则“右”为6，故A错；以6为“前”，4为“上”，则“右”为1，故C错；以2为“前”，3为“上”，则“右”为6，故B对．

正解　B 批阅笔记　当遇到立方体展开图的问题时，最好先确定两个面，这样其他的面也就跟着确定了，不会因为旋转的原因而导致错误．

思想方法 感悟提高 方法与技巧 1. 根据主视图和左视图确定俯视图的规律： (1)主视图与俯视图的列数相同，其每列方块数是俯视图中该 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1. 根据主视图和左视图确定俯视图的规律： (1)主视图与俯视图的列数相同，其每列方块数是俯视图中该 列中的最大数字； (2)左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯 视图中该行中的最大数字； (3)利用三视图可以计算一些几何体的表面积． 2. 在三视图画图时，看得见部分的轮廓通常画成实线，看不 见部分的轮廓线通常画成虚线；摆放位置不同，一般情况下视图 也不同；画圆锥的俯视图时，应注意画上圆心(表示圆锥的顶 点)；球体不论哪个方向的视图都是圆．

失误与防范 1．画三视图的基本方法： (1)确定主视方向．一般选取最能反映物体形状结构特征的一 面作为主视方向； (2)布置视图．按三视图的位置关系，画各视图的定位线，如 中心线或某些边线； (3)一般从主视图画起，按投影规律，再画另两个视图； (4)按线型要求，描粗加深物体轮廓线，完成三视图绘制． 2．连接物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为 平行投影；如果得到相交直线，则为中心投影，这是判断平行投 影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本方法． 另外，应注意：若中心投影的光源在两个物体同侧时，图中 的两个物体的影长不可能同时与物体高度相等．

完成考点跟踪训练30