本章主要内容 §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 第5章 大数定律和中心极限定理 本章主要内容 §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 多个随机变量的算术平均的渐近性质 独立随机变量和的极限分布

【例5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的。 §5.2 中心极限定理 【例5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的。 考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响： (1) 在机床方面有机床振动与转速的影响； (2) 在刀具方面有装配与磨损的影响； (3) 在材料方面有钢材的成分、产地的影响； (4) 在操作者方面有注意力集中程度、当天情绪的影响； (5) 在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响；

【例5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的。 §5.2 中心极限定理 【例5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的。 考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响： (6)在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电压的影响； (7) 在具体场合还可列出许多其他影响因素．

每个因素的出现又都是人们无法控制的、随机的、时有时无、时正时负的 §5.2 中心极限定理 由于这些独立因素很多 每个因素对加工精度的影响都是很微小的 每个因素的出现又都是人们无法控制的、随机的、时有时无、时正时负的 这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差Yn Yn是随机变量：Yn = X1 + X2 +…+ Xn 这里n是很大的，当n时，Yn的分布是什么？

当然，可以考虑用卷积公式去计算Yn的分布 但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现的 §5.2 中心极限定理 Yn = X1 + X2 +…+ Xn 当时n时，Yn的分布是什么？ 当然，可以考虑用卷积公式去计算Yn的分布 但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现的 即使能写出Yn的分布，但由于其形式复杂而无法使用 本节研究 在相当一般的条件下，独立同分布的随机变量的和的分布的收敛问题.

§5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【定理5.5】（独立同分布的中心极限定理）设X1，X2，…，Xn，…为相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且E(Xi) =  ，D(Xi) = 2  0（i = 1，2，…），则对于任意x，有 林德伯格-莱维(Lindeberg-Levy)定理 该定理是这两位学者在上世纪20年代证明的

林德伯格(Lindeberg , 1876-1932) 芬兰数学家，因中心极限定理而著名 林德贝格就读于赫尔辛基大学 §5.2 中心极限定理 林德伯格(Lindeberg , 1876-1932) 芬兰数学家，因中心极限定理而著名 林德贝格就读于赫尔辛基大学 早期对偏微分方程和积分变换感兴趣 从1920年开始转向概率统计，当年发表了第一篇中心极限定理的论文 两年后，他用同样的方法得到了更进一步的结论 林德贝格条件

§5.2 中心极限定理 林德伯格(Lindeberg , 1876-1932) 瑞典数学家克拉美1922年结识了林德贝格，后来克拉美曾向人讲起关于林德贝格和他的美丽农场的故事： 当有人责备林德贝格没有充分开展科学研究的时候，林德贝格就说“我其实是个农夫” 当有人提及他的农场不适合种植的时候，他就会说“当然，我真正的工作是当教授”

莱维(Levy，1886-1971) 法国数学家，现代概率论开拓者之一 曾在巴黎圣艾蒂安矿业学校、巴黎综合工 科学校任教. §5.2 中心极限定理 莱维(Levy，1886-1971) 法国数学家，现代概率论开拓者之一 曾在巴黎圣艾蒂安矿业学校、巴黎综合工 科学校任教. 主要研究概率论和泛函分析 他引入分布律的莱维距离、散布函数和集结函数、鞅、局部时等概念，对极限理论和随机过程理论作出了重要贡献

5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【定理5.5】 含义： 记 ， 为Yn的分布函数，则 这表明，当n充分大时， 从而当n充分大时， §5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【定理5.5】 含义： 记 ， 为Yn的分布函数，则 这表明，当n充分大时， 从而当n充分大时， 11

§5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【定理5.5】 上式说明，不论X1，X2，…，Xn服从什么分布，只要满足定理的条件,当n充分大时,就可以把 近似地作为正态随机变量处理 将上述结论稍作变形，还可以得到定理结论的另外表现形式

§5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【定理5.5】 【推论5.1】设X1 ,X2,…,Xn独立同分布,其均值为 ，方差为 2 > 0，则当n充分大时,有 其中

5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【定理5.5】 【推论5.1】 §5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【定理5.5】 【推论5.1】 由推论可知,无论X1,X2,…,Xn是服从什么分布,只要满足一定条件，当n充分大时，其算术平均值总是近似服从正态分布. 这一结果是数理统计中大样本理论的基础.

§5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【例5.5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望 值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一 箱味精净重大于20400克的概率． 解：设箱中第i袋味精的净重为Xi克, X1, X2,…, Xn是200个相互独立同分布的随机变量，且 由中心极限定理 即

§5.2 中心极限定理 5.2.1 独立同分布的中心极限定理 【例5.5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望 值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一 箱味精净重大于20400克的概率． 解：由中心极限定理 所以，

5.2.2 二项分布的正态近似 现在将定理5.5应用于服从0-1分布的随机变量： §5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 现在将定理5.5应用于服从0-1分布的随机变量： 设X1,X2,…,Xn,…相互独立，且都服从参数为p的0-1分布： P{X = k} = pk(1 – p)1- k，k = 0，1 此时EXi=p, DXi=p(1-p), i=1,2…， 又记 则n~B(n，p)．此时定理5.5的结论可写成 于是，有下述定理： 17

5.2.2 二项分布的正态近似 【定理5.6】（棣莫弗—拉普拉斯定理） §5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 【定理5.6】（棣莫弗—拉普拉斯定理） 设n（n = 1，2，…）服从参数为n，p（0 < p < 1）的二项分布，则对于任意实数x，有 这个定理表明，当n充分大时，服从二项分布的随机变量n的标准化变量近似服从标准正态分布．即有 ，即 18

§5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 【定理5.6】（棣莫弗—拉普拉斯定理） 【实验5.1】 与泊松定理对比 19

5.2.2 二项分布的正态近似 【实验5.1】用Excel验证二项分布逼近正态分布 说明：随着n的增大，二项分布逐渐逼近正态分布 §5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 【实验5.1】用Excel验证二项分布逼近正态分布 说明：随着n的增大，二项分布逐渐逼近正态分布 n=7, p=0.5 n=10, p=0.5 n=100, p=0.5 20

棣莫弗(1667-1754) 法国裔英国藉数学家. 自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一 所天主教学校念书. §5.2 中心极限定理 棣莫弗(1667-1754) 法国裔英国藉数学家. 自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一 所天主教学校念书. 学校不重视数学，但棣莫弗常常偷偷地学习. 在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的《论赌博中的机会》一书，启发了他的灵感. 1686年时棣莫弗到了英国．他对数学的所有贡献全是在英国做出的．

棣莫弗(1667-1754) 1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷 §5.2 中心极限定理 棣莫弗(1667-1754) 1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E．哈雷 哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏 据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多” 1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士． 棣莫弗首次发现二项分布的极限形式为正态分布．

棣莫弗(1667-1754) 后来，拉普拉斯对棣莫弗的结果进行推广，得到了今天的棣莫弗-拉普拉斯极限定理. §5.2 中心极限定理 棣莫弗(1667-1754) 后来，拉普拉斯对棣莫弗的结果进行推广，得到了今天的棣莫弗-拉普拉斯极限定理. 棣莫弗在87岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达20小时.当达到24小时长睡不起时，他在贫寒中离开了人世． 关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说： 在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了.

拉普拉斯(1749-1827) 法国著名数学家和天文学家 天体力学的主要奠基人，天体演化学的 创立者之一，分析概率论的创始人，应用数 §5.2 中心极限定理 拉普拉斯(1749-1827) 法国著名数学家和天文学家 天体力学的主要奠基人，天体演化学的 创立者之一，分析概率论的创始人，应用数 学的先躯 他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页 其中最有代表性的专著有《天体力学》、《宇宙体系论》和《概率分析理论》

拉普拉斯(1749-1827) 因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父. 18岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作. §5.2 中心极限定理 拉普拉斯(1749-1827) 因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父. 18岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作. 带着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见，后寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔. 这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当他的教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书. 以他的名字命名的重要结论和方法颇多： 如拉普拉斯变换、拉普拉斯方程等等.

5.2.2 二项分布的正态近似 一般，当n较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂 §5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 一般，当n较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂 这时可用正态分布来近似二项分布，使概率计算得到简化．对于任意正数n1和n2，有

§5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 【例5.6】设电路供电网内有10000盏相同的灯，夜间每 一盏灯开着的概率为0.8，假设各灯的开关彼此独立，计 算同时开着的灯数在7800与8200之间的概率． 解：记同时开着的灯数为X，则 X~B(10000，0.8)，于是由棣莫弗-拉普拉斯定理，有 27

§5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 【例5.7】某单位内部有260部电话分机，每个分机有4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的 外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95% 的概率满足每个分机在用外线时不用等候? 解：设表示同时使用外线的分机数, 则～B(260，p)，其中p = 0.04．根据题意应确定最小的x使 成立．由棣莫弗—拉普拉斯定理，有 28

§5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 【例5.7】某单位内部有260部电话分机，每个分机有4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的 外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95% 的概率满足每个分机在用外线时不用等候? 解：应确定最小的x使 令 查得 29

§5.2 中心极限定理 5.2.2 二项分布的正态近似 【例5.7】某单位内部有260部电话分机，每个分机有4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的 外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95% 的概率满足每个分机在用外线时不用等候? 令 查得 故取 于是 所以需要16条外线！ 30

§5.2 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：设共调查n个成年男子，记 则Xi独立同分布 n个调查对象中吸烟的人数

§5.2 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：吸烟的人数为X，则有 由大数定理知，当n很大时，频率X/n与概率p很接近，可用频率作为p的估计． 依题意，要保证 而

§5.2 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：依题意，要保证 而

§5.2 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：依题意，要保证 而 令 即

§5.2 中心极限定理 【吸烟率调查问题解答】 要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多少对象？ 解：由 查表得 ，所以 从而 又因 p(1-p)0.25,所以n  270.6 即至少要调查271成年男子.

小 结 1. 独立同分布的中心极限定理 2. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理