卡方檢定 11.1 基本概念 11.2 多項式母體比例的檢定 11.3 齊一性檢定與獨立性檢定 11.4 適合度檢定 11.1 基本概念 11.2 多項式母體比例的檢定 11.3 齊一性檢定與獨立性檢定 11.4 適合度檢定 11.5 常態母體的檢驗 11.6 電腦軟體操作說明 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

11.1 基本概念 例題 11.1 將一樣本觀察值區分成若干類別 11.1 基本概念 例題 11.1 將一樣本觀察值區分成若干類別 在一項市場調查分析中，研究某一產品之市場佔有率的情形。根據過去資料顯示，A、B、C三家公司之市場佔有率比值為1：2：1。今調查100位購買該產品的顧客，結果發現購自三家公司的人數如表11.1所示，請問這些資料是否顯示三家公司之市場佔有率已有改變？ 表 11.1 購買三家公司之產品的顧客人數 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

H0：兩種品牌奶粉對嬰兒健康的效果並無差異 例題 11.2 1/4 獨立樣本之分類 　 欲比較兩種品牌之奶粉A、B對嬰兒健康的影響效果，茲調查150個嬰兒，並自其中隨機抽出80位餵食A牌奶粉，另70位則以B牌奶粉餵食。經過一段時間，檢查每一位嬰兒的健康情況；假設將嬰兒的健康情況分為三類：優良、正常與不良，各類之嬰兒人數列於表11.2。於是，我們所欲檢定的虛無假設為： H0：兩種品牌奶粉對嬰兒健康的效果並無差異 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.2 2/4 表11.2中兩列數據來自獨立樣本，惟由於總數(150)為固定，且餵食A或B奶粉事前即已確定，因此不適合做各列相對次數的比較，故將之轉換為表11.2(a)。此外，若將母體之有關比例或機率列示於表11.2(b)，則結合11.2(a)與11.2(b)，將可更清楚地描述虛無假設。 表 11.2 以A、B品牌奶粉餵食嬰兒的健康情形 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.2 3/4 表 11.2 (a) 表11.2之相對次數 表 11.2 (b)母體比例或機率 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.2 4/4 上述虛無假設「奶粉A、B對健康效果無差異」，乃意指每一種健康情形之類別下，食用奶粉A與B之機率均相同，亦即： 注意：本例中每一行之機率值的和並不具任何意義。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.3 1/2 根據兩種特徵分類 一組500人之隨機樣本，每一人均被詢及是否支持租稅改革方案，根據實際調查結果，將觀察次數列於表11.3。本例所欲檢定的問題是：這些資料是否足以說明，兩地區居民對改革方案之意見相同？ 表 11.3 兩地區居民對租稅改革方案之意見 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.3 2/2 與例題11.2不同的是，本例只有一個單一隨機樣本，但樣本內被抽出的個體則可分為二類：A地區與B地區居民。就此而言，本例中虛無假設「無差異」乃指此兩個不同地區居民表示之意見為「獨立的」。換句話說，每一居民對改革方案的態度與該居民住哪一地區並不相關（亦即獨立）。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

11.2 多項式母體比例的檢定 1/2 表 11.4 多項式母體比例檢定的資料結構 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

多項式母體比例的檢定 2/2 多項式母體比例卡方檢定（大樣本） 虛無假設：H0:p1=p10, p2=p20, …, pk+pk0 拒絕域：　　　，其中　為df=k1之χ2分配中尾面積（機率）為α的χ2值。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.4 以表11.1之資料來討論多項式母體比例檢定的問題。假定虛無假設如同例題11.1所示： 試在α=0.05下做此檢定。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 表11.5 χ2統計量之計算 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

11.3 齊一性檢定與獨立性檢定 齊一性檢定 例題 11.5 1/9 在例題11.2中，已建立「齊一性」(homogeneity)或「兩種品牌奶粉之效果無差異」的虛無假設，即： 為討論方便，再將表11.2重繪如表11.6。如同前述，表中各列的總計分別為80與70，乃是事先設定的樣本大小。若以p1、p2、p3代表在H0下兩個不同母體（兩種品牌奶粉）之共同機率(common probability) 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 2/9 ，則每一列各方格(cell)之期望次數應等於這些機率值分別乘以每一列的樣本大小，亦即第一列各方格之期望次數分別為80p1、80p2、80p3，而第二列則為70p1、70p2、70p3。然而，H0並未設定p1、p2、p3之值，因此需先估計這些參數。 表 11.6 例題11.2中的 2×3列聯表 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 3/9 由表11.6知，各行總和分別為54、57、39，而總樣本大小為150。因此，在H0下各個機率之估計值為： 根據這些估計的機率值，第一列各方格的期望次數分別為： 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 4/9 相同地，第二列各方格之期望次數亦可依相同方式求得。由此，我們可歸納出計算各方格之期望次數的法則如下： 茲將依(11-3)式所計算出來的各方格期望次數列示於表11.7，表11.7中各方格之數據包括觀察次數fi（未括弧者）與期望次ei（括弧者）。然後計算各方格之「觀察次數」與「期望次數」的差異： (11-3) 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 5/9 並將結果列示於表11.8。最後，將表11.8每一方格之數據加總，可得χ2統計量之值： 表 11.7 觀察次數fi與期望次數ei 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 6/9 接著，計算χ2分配的自由度。有關列聯表之自由度的計算，其公式如下： (11-4) 表 11.8 (fi-ei)2/ei之值 (11-4) 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 7/9 (11-4)式的觀念可參考表11.9。由於r×c列聯表共有rc個方格（觀察資料），故有自由度rc，然每一列及每一行的總數在抽樣完後，其為固定值，因此每一列及每一行皆將失去一個自由度（如表11.9中劃×者），故共失去(r+c)個自由度；但是其中有一自由度乃重複計算者（如表11.9中劃××者），故最後再加上一個自由度，亦即： 列聯表之自由度=總方格數(rc)列數(r) 行數(c)+1 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 8/9 表 11.9 列聯表之自由度的計算 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.5 9/9 本例中，由於包含r=2列、c=3行，故自由度為df=(2-1)(3-1)=2。在df=2, α=5%下，查表得知　　 (2)=5.99，此值小於觀察所得之χ2統計量值8.224，故虛無假設在α=0.05水準下將被拒絕。換句話說，表11.6所列資料顯示以兩種品牌奶粉餵食嬰兒對其健康效果有顯著的差異。 上面既已檢定得知具有顯著差異，接著可從表11.7與11.8找出顯著差異的原因。由表11.7與11.8可發現，如此大的χ2值可歸因於「優良」那一類，因為該類別中，奶粉A的相對次數為37/80或46%，而奶粉B的相對次數則為17/70或24%。僅就此而言，即足以顯示奶粉A對健康效果較有幫助。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

列聯表之齊一性χ2檢定 虛無假設：H0：某一理論分配所得出之現象（各類別出現之機率） 檢定統計量： fi：觀察次數 ei：期望次數= (11-3)式 自由度df=（列數-1）‧（行數-1） 拒絕域： 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.6 一項對各行業職員酒精中毒的研究，調查對象包括牧師、教育界人士、行政部門與商人，實際觀察之資料列示於表11.10。試檢定此4種行業職員酒精中毒之比率是否相同？ 表 11.10 酒精中毒與行業別之列聯表 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 表11.11 表11.10之(fi-ei)2/ei的值 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.7 欲探討某一化學處理對於種子發芽比例的可能效果。茲栽種100顆經過化學處理的種子，以及150顆未經過處理的種子。觀察種子發芽情形如表11.12所示；根據此組資料，是否足以證明經過處理與未經處理的種子，其發芽比例不同？ 表 11.12 例題11.7之觀察次數fi與期望次數ei 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

獨立性檢定 例題 11.8 1/9 參考例題11.3，茲再將表11.3繪製如表11.14，此時500人的單一隨機樣本分類為6個方格(cell)。 表 11.14 兩地區居民對租稅改革方案之意見的列聯表 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 2/9 將每一方格的次數除以樣本大小500，即為其相對次數，如表11.14(a)所示。此時列邊際總計為0.570與0.430，分別代表A地區與B地區之居民的樣本比例。同理，行邊際總計亦分別代表三種態度類別的樣本比例。 表 11.14 (a)每一方格觀察值的比例 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 3/9 假定整個母體皆已分類，則未知的母體比例（即方格機率）可用表11.14(b)中的元素代表，其中下標A與B代表A地區與B地區，而1、2與3則代表「贊同」、「無意見」與「反對」的類別。 表 11.14 (b) 方格之機率結構 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 4/9 表11.14(b)與表11.14(a)來自類似母體，其所代表的意義如下： 方格機率pA1=p（A地區且贊同） 　　　　行邊際機率p1=p（贊同） 我們所要探討的是，檢定二種分類互為獨立的虛無假設。根據事件獨立的機率性質，可知若態度類別與地區類別互為獨立（亦即人們對租稅改革方案的意見與其來自A或B地區無關），則pA1=pA×p1, pA2=pA×p2…餘此類推。於是，有關獨立性檢定，其虛無假設可界定為： H0：每一方格機率=相對應的列與行邊際機率的乘積 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 5/9 進行χ2檢定時，我們仍然先求出在H0下，每一方格的期望次數： 這些期望次數均含有未知的邊際機率，故應先由觀察資料求出邊際機率的估計值（參考表11.14）： 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 6/9 於是可求出各方格的期望次數，例如第一個方格的期望次數為： 由此可知，各方格的期望次數之計算公式如下： 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 7/9 此與齊一性檢定相同。表11.14(c)列示各方格的觀察次數fi與期望次數ei，後者列於括弧內。另外，「觀察次數」與「期望次數」之差異的衡量仍同於一般χ2檢定的觀念，即　　　 。表11.14(d)列出各方格的差異值，並算出所有差異值的總和。 表 11.14 (C) 觀察次數與期望次數 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 8/9 此時χ2分配的自由度亦與前述齊一性檢定的問題相同，亦即df=(r1)(c1)=(21)(31)=2。在顯著水準α=0.05下，查表得知 。由於觀察的χ2統計量值為22.153遠大於 ，故在α=0.05水準下，拒絕獨立性的虛無假設。換句話說，民眾所表示的意見與其來自的地區有關。 表 11.14 (d) 之值 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.8 9/9 若詳細觀察表11.14(d)，可發現χ2值大部分歸諸於邊角的方格（亦即這些方格的差異值(fi-ei)2/ei較大）。此外，比較表11.14(c)之觀察次數與期望次數，亦可發現支持此項改革方案的A地區居民遠多於B地區居民。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.9 某公司想瞭解員工對現行的獎勵制度是否滿意，於是調查210名員工，所得資料依性別與滿意度繪示如表11.16所示。請在α=0.05水準下，檢定性別與滿意度無關。 表 11.16 2×2列聯表 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

11.4　適合度檢定 例題 11.10 調查100戶家庭，發現其所擁有的小孩人數之資料分布如表11.17所示。試檢定此組資料是否屬於p=0.4的二項分配(α=0.2)？ 表 11.17 100戶家庭所擁有的小孩人數 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 表11.17(a) 期望次數之計算 表11.17(b) χ2統計量的計算 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.11 設某公司過去50週來，每週所銷售的高科技設備套數如下表所示： 試以α=0.1，檢定上述資料是否來自poisson分配的母體。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 表11.18 期望次數、觀察次數及　　 值 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

11.5 常態母體的檢驗 常態機率紙檢驗 圖11.1 常態機率圖的轉換觀念 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

圖11.2 常態機率紙：證明當X的分配為N(μ, σ2)時，P(X≤x)的圖形 常態機率紙檢驗 2/2 圖11.2 常態機率紙：證明當X的分配為N(μ, σ2)時，P(X≤x)的圖形 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

建構常態機率圖的步驟 (1)將n個觀測值依大小次序排列。 (2)選擇一個適當的橫軸尺度，以便安置所有的觀測值。 (3)在縱座標上描繪出對應於橫座標上第i個觀測值的修正累積相對次數，即 (4)檢驗所描繪圖形與一直線偏離的情況；若呈系統性的偏離，則表示缺乏常態性。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

繪圖於常態機率紙 圖11.3 繪圖於常態機率紙 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.12 隨機抽查某工廠生產的50個零件，測量其長度(cm)如下： 請問，能否認為該工廠生產的零件長度服從常態分配？ 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 圖 11.4 例題 11.12 的常態機率圖 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

適合度檢定之檢驗 例題 11.13 設抽自一母體的隨機樣本(n=106)，其觀察值的次數分配如下表所示。試在α=0.01的水準下，檢定此母體是否為常態分配： 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 圖 11.5 標準常態各區域的面積（機率） 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 表 11.19 期望次數、觀察次數與(fi-ei)2/ei之值 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.14 某公司招募職員，設有50 位應徵者，其性向測驗成 績如下表所示，試以α= 0.10檢定此組資料是否為 常態分配。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 圖11.6 N(68.64, 10.41)分為10個等機率的區間 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 表11.20 期望次數、觀察次數及(fiei)2/ei之值 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

例題 11.15 以適合度檢定法，重做例題11.12 (α=0.05)。 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定

解： 統計學導論 Chapter 11 卡方檢定