专题1: 概率与统计解答题的解法

概率与统计解答题的解法 试题特点 2005年高考各地的16套试卷中，出现概率统计解答题的有15套，具体 1.近三年高考各试卷概率与统计考查情况统计 2005年高考各地的16套试卷中，出现概率统计解答题的有15套，具体 涉及的知识点是等可能事件、相互独立事件同时发生、独立重复实验的概 率、分布列与期望. 2006年高考各地的18套试卷里，有15道此类型的解答题，其中有3道是 关于概率计算的，1道涉及到正态分布的数据表格（湖北卷），其余的均为 分布列和数学期望. 2007年高考各地的19套试卷中，有16道概率解答题，一般是以实际背 景为载体进行考查，也有一道题是以二次方程根的情况为载体，主要是考 查三种概率，即：等可能事件的概率、独立事件的概率、独立重复实验的 概率、分布列与期望.但广东卷涉及到线性回归方程的应用问题，北京、湖 北卷涉及到抽样统计问题.

概率与统计解答题的解法 试题特点 2.主要特点 (1)概率知识与实际生活密切相关，高考对概率内容的考查， 往往以实际问题为背景，结合排列、组合等知识，考查学生对知识 的运用能力，这既是这类问题的特点，也符合高考发展方向. (2)随机变量的考查稳中求新，稳中求活. 随机变量在命题中涉及的知识及题型有： ①简单随机变量的分布列； ②简单随机变量的期望与方差的计算. 随机变量分布列试题的解法规律性强，但试题涉及的知识面广、设 问方式新，特别是与工农业生产、生活、科研、文化、体育等实际 知识相结合，因此显得形式活泼、内容新颖，解法灵活.

概率与统计解答题的解法 试题特点 (3)统计考查. 此类型题主要考查简单抽样的三种方法，但由于统计的内容在今 后的工作、生活中有很大的应用，在突出应用数学的今天，可能加大 考查力度，在正态分布等内容上作文章. （4）考查“或然与必然思想”，面对随机现象的不确定性（或然 性），我们更要掌握其中的规律性（必然性）.近年来，高考突出了对 概率与统计内容的考查，使学生亲历于“或然”中抓住“必然”的实 践，是符合实际需要的.

应 试 策 略

概率与统计解答题的解法 应试策略 1.正确理解有关概念 (1)随机试验与随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事 件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验；如果试验结果预先无 法确定，这种试验叫做随机试验. (2)频率与概率：对于一个事件来说概率是一个常数；频率则随着试 验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率. (3)互斥事件与对立事件：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不 一定是对立事件. (4)互斥事件与相互独立事件：不可能同时发生的事件叫做互斥事 件；而相互独立事件则是指两个事件发生与否相互之间没有影响.

概率与统计解答题的解法 2.从集合的角度看概率 应试策略 若把一次试验所有可能的结果组成集合I，事件A，B包含的结果分 别组成集合A，B，则事件A的概率就是P(A)= ;事件A与B互斥， 就是A∩B= ，A与B对立就是A=CI B，即 =B. 3.公式的使用 (1)常用公式： ①等可能事件的概率：P(A)= ②互斥事件的概率：P（A＋B）=P（A）＋P（B）.

概率与统计解答题的解法 应试策略 ④相互独立事件的概率：P（A·B）=P（A）·P（B）. ⑤n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率： ③对立事件的概率：P（A＋ ）=P（A）＋P（ ）=1. ④相互独立事件的概率：P（A·B）=P（A）·P（B）. ⑤n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率： Pn(k)=C pk(1－p)n－k. (2)注意事项： ①每个公式都有其成立的条件，若不满足条件，则这些公式将不再成立. ②对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计 算方法.一般题中总有关键语句说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解， 或者运用逆向思考的方法.

概率与统计解答题的解法 应试策略 ξ x1 x2 … xn P p1 p2 pn 4.掌握离散型随机变量的期望与方差的概念及性质： （1）期望：若离散型随机变量ξ的概率分布为 则ξ的数学期望（或平均数、均值、简称期望）为： Eξ=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 数学期望有如下性质： E(aξ＋b)=aEξ＋b(a,b为常数). ξ x1 x2 … xn P p1 p2 pn

概率与统计解答题的解法 (2)方差：如果离散型随机变量ξ的所有可能取值是 应试策略 x1,x2,…,xn，…,且取这些值的概率分别是p1,p2,…,pn,…,那么 Dξ=(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…,叫ξ的方差. Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集 中与离散的程度.（标准差与随机变量本身有相同的单位） 方差的性质：设a,b为常数，则D(aξ＋b)=a2Dξ;Dξ=Eξ2－(Eξ)2. (3)若ξ服从二项分布，即ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=np(1－p).

考 题 剖 析

概率与统计解答题的解法 考题剖析 1.（2008·韶关摸底考试）如图所示, 有两个独立的转盘(A)、(B).两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘(A)指针对的数为x，转盘(B)指针对的数为y.设x＋y的值为ξ,每转动一次则得到奖励分ξ分. (Ⅰ)求x<2且y>1的概率； (Ⅱ) 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？

概率与统计解答题的解法 考题剖析 ［解析］（Ⅰ）由几何概率模型可知： P（x=1）= ，P（x=2）= ，P（x=3）= ； P（y=1）= ，P（y=2）= ，P（y=3）= 则P（x<2）= P（x=1）= ， P（y>1）= P（y=2）＋ P（y=3）= 所以P（x<2且y>1）= P（x<2）·P（y>1）=

概率与统计解答题的解法 考题剖析 ξ 2 3 4 5 6 P （Ⅱ）由条件可知ξ的取值为：2、3、4、5、6.则ξ的分布列为： 他平均一次得到的奖励分即为ξ的期望值： Eξ= 所以给他玩12次，平均可以得到12·Eξ=50分 ξ 2 3 4 5 6 P ［点评］本题主要考查互斥事件的概率、随机变量分布列和期望.注意指针落在1、2、3区域不是一个等可能事件而是与落在区域的面积大小有关，审题要仔细，最后是求12次的平均得分.

概率与统计解答题的解法 考题剖析 2. （2008·昆明质检二）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）.在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （Ⅰ）求点P恰好返回到A点的概率； （Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所 有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返 回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望.

概率与统计解答题的解法 考题剖析 ［解析］ （Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的 出现都是等可能的，其概率为P1= 因为只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、 （3，1）、（2，2）三种结果，其概率为P2= 若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结 果，其概率为P3= 若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字 应依次为：（1，1，1，1），其概率为P4= 所以，点P恰好返回到A点的概率为P=P2＋P3＋P4=

概率与统计解答题的解法 考题剖析 （Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中 的7种， 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . ［点评］在求较复杂事件的概率时往往转化为求某几个事件的 “和事件”或“积事件”，如事件“点P恰好返回到A点”，就分解为“投掷两次点P恰能返回到A点”、“投掷三次点P恰能返回到A点”、“投掷四次点P恰能返回到A点”三个互斥事件的和，而这三个事件又可以进一步分解，但要区分是不是互斥事件或独立事件,否 则容易漏分和重复导致出错.

概率与统计解答题的解法 3. （2008·西安中学三模）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概 考题剖析 率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率； （２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射 击5次后，被中止射击的概率是多少？ （３）若甲连续射击5次,用ξ表示甲击中目标的次数，求ξ的数 学期望Eξ. ［解析］（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验， 故P（A1）= 答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ；

概率与统计解答题的解法 考题剖析 (2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次 射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5）， 则 ，由于各事件相互独立， 故 答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 .

概率与统计解答题的解法 考题剖析 （3）根据题意ξ服从二项分布；Eξ=5× ［点评］概率题常常有如下几种类型：①等可能性事件的概率；②互斥事件的概率；③独立事件同时发生的概率；④独立重复试验事件的概率.弄清每种类型事件的特点，区分使用概率求法，如本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，满足几何显著条件：每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.