第7课　一元二次方程 同德中学羊恒兵

要点梳理 1．定义： 只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式： ，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项． 2．解法： ； ； ； ． 一个未知数 2 ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0) 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法

3．公式： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式： 4．简单的高次方程、二次根式方程的概念、解法： (1)高次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于2的整式方程． (2)无理方程：根号内含有未知数的方程． (3)解高次方程的思想是“降次”，即把高次方程通过因式分解、换元等方法转化为一元一次方程或一元二次方程． (4)解无理方程的思想是通过方程左右两边平方、换元等方法去根号转化为整式方程，要注意验根，舍去增根． x＝ (b2－4ac≥0)．

5．二元二次方程组的概念及解法： (1)二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组． (2)解二元二次方程组的思想是“消元”，即把多元通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解，或“降次”利用因式分解转化为二元一次方程组或一元一次方程来解．

[难点正本 疑点清源] 1．正确理解并掌握一元二次方程的概念 识别一元二次方程必须抓住三个条件： (1)整式方程；(2)含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.满足上述三个条件的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，即三个条件缺一不可． 在确定方程各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明各项系数时不要漏掉前面的符号．一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上把二次项系数化为正整数．

2．正确使用各种方法解一元二次方程 一元二次方程的解法有四种，在解方程时，要注意灵活选择．直接开平方法、因式分解法只适用于特殊形式的方程；而公式法则是最普遍的方法；配方法用的不多，一般根据方程的特征灵活运用． 解一元二次方程要根据方程的特点，选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法，一般没有特别要求的不用配方法． 用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义；因式分解法解方程的依据是：若ab＝0，则a＝0，或b＝0，方程的右边一定要化为0，才能用因式分解法求解．

运用公式法之前一定要确认两点：其一，该方程是一元二次方程，其二，方程的判别式非负，满足这两点即可使用求根公式． 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系、讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数a提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．

基础自测 1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是( ) C A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1 解析：x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1. C

2．(2011·南充)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是(　　) A．2 B．3 C．－1,2 D．－1,3 解析：(x＋1)(x－2)＝x＋1， (x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0， (x＋1)(x－3)＝0. ∴x1＝－1，x2＝3. D

3．(2011·江西)已知x＝1是方程x2＋bx－2＝0的一个根，则方程的另一个根是(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 解析：当x＝1时，1＋b－2＝0，b＝1. ∴x2＋x－2＝0，x1＝1，x2＝－2，另一个根是－2. C

4．(2011·大理)三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程 x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是(　　) A．9 B．11 C．13 D．11或13 解析：方程x2－6x＋8＝0的根为x＝2或4，而第三边3<x<9， 故x＝4，三角形周长为3＋6＋4＝13. C

5．(2011·武汉)若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根， A．4 B．3 C．－4 D．－3 解析：方程x2＋4x＋3＝0，x1＝－1，x2＝－3， 所以x1x2＝(－1)×(－3)＝3. (或根据根与系数的关系直接得出x1x2＝ ＝3.) B

题型分类 深度剖析 题型一 一元二次方程的解法 【例 1】 解下列方程： (1)3x2－75＝0 题型一　一元二次方程的解法 【例 1】 解下列方程： (1)3x2－75＝0 解：3x2－75＝0，x2＝25，x＝±5，x1＝5，x2＝－5. (2)x(x＋5)＝24 解：x(x＋5)＝24，x2＋5x－24＝0，x1＝－8，x2＝3.

(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2 解：(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2，y－3y2＋3－9y＝1＋2y2， ∴5y2＋8y－2＝0，y＝ ＝ ， ∴y1＝ ，y2＝ . (4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0 解：(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0， (3x＋5－1)(3x＋5－4)＝0， (3x＋4)(3x＋1)＝0， 3x＋4＝0或3x＋1＝0， ∴x1＝－ ，x2＝－ .

(5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1 解：解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0， (1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0， (x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0， 2(x－1997)(x－1996)＝0， x1＝1997，x2＝1996. 解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2 ＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)， 所以原方程可化为：1－2(1997－x)(x－1996)＝1， 2(1997－x)(x－1996)＝0，

探究提高　 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法． 知能迁移1　解方程： (1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)； 解：(2x－1)2＝9,2x－1＝±3， ∴x＝ ，x1＝2，x2＝－1.

(2)x2＋3x－4＝0(用配方法)； 解：x2＋3x－4＝0，x2＋3x＝4， x2＋3x＋ ＝4＋ ，(x＋ )2＝ ， x＋ ＝± ，x＝－ ± ， ∴x1＝1，x2＝－4. (3)x2－2x－8＝0(用因式分解法)； 解：x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0， x－4＝0或x＋2＝0， x1＝4，x2＝－2.

(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0. 解：x(x＋1)＋2(x－1)＝0，x2＋x＋2x－2＝0， x2＋3x－2＝0，x＝ . ∴x1＝ ，x2＝ .

题型二　配方法 【例 2】 试说明：代数式2x2－x＋3的值不小于 . 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：2x2－x＋3＝2(x2 － x)＋3 ＝2[x2－ x＋( )2－( )2]＋3 ＝2[(x－ )2－ ]＋3 ＝2(x－ )2－ ＋3＝2(x－ )2 ＋ . ∵不论x取何实数，2(x－ )2 ≥0， ∴2(x－ )2 ＋ ≥ . 即代数式2x2－x＋3的值不小于 .

探究提高　 配方法是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法，在配方前，先将二次项系数2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．

知能迁移2　对于二次二项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11，你是否同意他的说法？说明你的理由． 解：不同意小聪的说法． 理由如下：x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11，当x＝5时，x2－10x＋36有最小值11.

题型三　应用方程根的定义解题 【例 3】(1)(2010·绵阳)若实数m是方程x2－ x＋1＝0的一个根，则m4＋m－4＝________.　 解析： ∵x＝m, ∴m2－ m＋1＝0， ∴m2＋1＝ m，m＋ ＝ ， 两边平方，得m2＋2＋ ＝10，m2＋ ＝8， 再平方，得m4＋2＋ ＝64，m4＋ ＝62， 即m4＋m－4＝62. 62

(2)已知a是方程x2－2009x＋1＝0的一个根，试求a2－2008a ＋ 值． 解：∵x＝a，∴a2－2009a＋1＝0， ∴a2－2008a＝a－1，a2＋1＝2009a， ＝ ＝ . ∴原式＝a－1＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2008.

探究提高　 1.利用方程根的概念，将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程，就可以求出待定系数的值． 2．采用整体的思想方法，结合一元二次方程根的定义及分式加减运算的法则可得(2)中代数式的值．

知能迁移3　(1)已知方程x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值； 解：∵x＝2，∴4＋2k－6＝0，2k＝2，k＝1. ∴x2＋x－6＝0，x1＝2，x2＝－3. ∴方程的另一个根是－3，k＝1.

(2)已知关于x的二次方程x2＋mx＋n＝0的一个解是2，另一个解是正数，且也是方程(x＋4)2－52＝3x的解．你能求出m和n的值吗？ 解：(x＋4)2－52＝3x，x2＋5x－36＝0，x1＝4，x2＝－9， ∴x2＋mx＋n＝0的两根是2和4， 即 解得

(3)(2010·广州)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求 的值． 分析：对于(3)，由于这个方程有两个相等的实数根，因此△＝b2－4a＝0，可得出a、b之间的关系，然后将 化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．

解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根， ∴△＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0，b2＝4a. ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵a≠0，∴ ＝ ＝ ＝4.

题型四　与几何问题的综合 【例 4】已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－4x ＋3＝0的解，求这个三角形的周长． 解：解方程x2－4x＋3＝0得x1＝1，x2＝3. 又三角形的第三边a的范围是2<a<6， ∴x＝3，∴三角形的周长＝2＋4＋3＝9. 探究提高　 这道题将构成三角形的条件“三角形任何两边之和大于第三 边”与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想．

知能迁移4　已知等腰三角形底边长8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长． 解：解方程x2－9x＋20＝0，x1＝4，x2＝5， 当腰长x＝4时，4＋4＝8，不合题意，舍去， ∴腰长x＝5.

答题规范 3．解一元二次方程“失根”现象评析 考题再现 1．解方程：3x(x＋2)＝5(x＋2)． 2．解方程：9x2＋6x＋1＝9.

学生作答　 1．解：3x(x＋2)＝5(x＋2)， 两边同时除以(x＋2)得，3x＝5，∴x＝ . 2．解：9x2＋6x＋1＝9， 左边因式分解，得(3x＋1)2＝9. 两边开平方，得3x＋1＝3. ∴x＝ . 3．解：x2－2x＋1＝0， 配方，得(x－1)2＝0， 两边开平方，得x－1＝0，∴x＝1.

规范解答　 1．解：3x(x＋2)＝5(x＋2)， 3x(x＋2)－5(x＋2)＝0，(x＋2)(3x－5)＝0， ∴x＋2＝0或3x－5＝0， ∴x1＝－2，x2＝ . 2．解：9x2＋6x＋1＝9， 左边因式分解得(3x＋1)2＝9. 两边开平方，得3x＋1＝±3. 即3x＋1＝3或3x＋1＝－3. ∴x1＝ ，x2＝－ .

3．解：x2－2x＋1＝0， 配方，得(x－1)2＝0， 两边开平方，得x－1＝0. ∴x1＝x2＝1.

老师忠告　 1．解方程3x(x＋2)＝5(x＋2)时，方程两边同时除以含x的代数式破坏了方程的同解性，遗失了一个根x＝－2；解方程9x2＋6x＋1＝9，在开平方时，由于只取了一个算术平方根，这样就把未知数的取值范围缩小了，遗失了一个根；解方程x2－2x＋1＝0时，解得的结果应写成x1＝x2＝1. 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式表明，在△＝b2－4ac≥0时，有两个实数根，即△>0时有两个不相等的实数根，△＝0时有两个相等的实数根．但在解题过程中，往往出现只有一个根的现象，这就表明遗失了一个根． 3．规范解答，理解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的规范步骤，才能避免失根.

思想方法 感悟提高 方法与技巧 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b＝0时，方程有两个不相等的实数根的条件是“a、c异号”．用因式分解法解这个方程ax2＋c＝0时，只有当a、c异号，二次式ax2＋c才是可以分解的；用开平方法解这个方程x2＝－ ，只有当a、c异号时，正数－ 才有两个互为相反数的平方根．因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式b2－4ac，在a、c异号时，b2－4ac>0，方程一定有两个不相等的实数根．

2. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． (1)当b＝0，c≠0时，只考虑开平方法，x2＝－ ，x＝± ， 其中a、c异号； (2)当c＝0，b≠0时，用因式分解法(提取公因式x)，x1＝0，x2＝－ ； (3)当b≠0，c≠0时，考虑因式分解(十字分解)法，或利用公式法． 在进行以上思考前，使a为正；把a、b、c都整理为整数；约去a、 b、c的公因数．

3. 解好利用“根的判别式”为工具的有关问题．当给出了根的情况的结论，求a、b、c中所含字母的取值或取值范围，先求出并化简根的判别式△的表达式，然后根据所给的结论，以△≥0或△<0或△>0或△＝0，再解所得的不等式或方程．

失误与防范 1. 对于最高次项系数含有参数的方程，这并不能断定该方程即为一元二次方程，解题时要分一元一次方程和一元二次方程加以讨论．对于二次项系数含有参数的方程，题设已交代了是一元二次方程，不能忽视二次项的系数应为非零实数，这是个隐含条件，最易被忽视．任何一个关于x的一元二次方程中有一个隐含条件：即二次项系数a≠0. 2. 正确理解“方程有实根”的含义．方程有一个实数根或有两个实数根：如有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”、“有两个实数根”等关键文字，要挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．

3. 在运用直接开平方法求一元二次方程的解时，容易出现将平方根和算术平方根混淆的错误，使得在解题时出现失根的现象．例如将x2－9＝0变形为x2＝9后，根据平方根的意义得到方程的根应该是x＝±3，而非x＝3. 用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项的方式，将方程右边化为0.

配方法是指通过配方，利用完全平方式，将一元二次方程左边化成一个含有未知数的整式的平方，方程右边就是一个非负数的形式，然后再用直接开平方法求解．因此用配方法解方程必须注意以下几点：一是要注意配方时必须在方程的左右两边同时加上一次项系数绝对值的一半的平方，二是要注意在配方时所配系数必须是一次项系数的绝对值的一半的平方． 所有的一元二次方程都可以用公式法进行求解，所以一元二次方程有无实数根，就取决于根的判别式△的值，即b2－4ac的大小．如果b2－4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；如果b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；如果b2－4ac<0，则方程无实数根．

完成考点跟踪训练 7