第1章 二元一次聯立方程式 1-1 代入消去法 一、章節內容

1.方程式的認識: 在一個方程式中，有幾個未知數，就代 表幾個元。次數則看最高次方為幾次。 實例：一次方程式 x+2=6 3y-2=7 5z=10 x+y+z=0 一元一次方程式 一元一次方程式 二元一次方程式 一元一次方程式 三元一次方程式

非一次方程式 x2 +2=6 3xy－2=7 3x2+y=1 一元二次方程式 二元二次方程式 二元二次方程式 分式方程式

2.二元一次方程式： 方程式中含有兩個未知數(二元)，且未 知數的次數為 1 (一次)，我們稱之為 二元一次方程式。 3.二元一次聯立方程式： 兩個二元一次方程式並列在一起 的式子，我們稱之為二元一次聯 立方程式或二元一次方程組。

x=ay+b(或y=cx+d )的關係再代入另外一 式，即可解得y(或x) 4.代入消去法： 將二元一次聯立方程式中的任一式化為 x=ay+b(或y=cx+d )的關係再代入另外一 式，即可解得y(或x) 實例：解方程組

解：由(2)式可得x=y+4代入(1)式得 2(y+4)+y=5 2y+8+y=5 3y+8=5 3y=－3 y=－1 將y=－1代回(1)式得 2x－1=5 2x=6 x=3 所以 x=3，y=－1是原聯立方程式的解。 答：x=3，y=－1

二、範例講解 1.利用代入消去法，解下列方程式：  解：將(1)式x=3代入(2)式得 y=2(3)－4 =6－4 =2 答：x=3，y=2

 解：將(1)式y=2x+5代入(2)式得 4x+3(2x+5)=25 4x+6x+15 =25 10x =10 x=1 將x=1代回(1)式得 y=7 答：x=1，y=7

 解：由(2)式得x=y+1代入(1)式得 y+1+3y=5 4y+1 =5 4y=4 y=1 將y=1代回(1)式得 x=2 答：x=2，y=1

 解：由(2)式得y=11－3x代入(1)式得 5x+3(11－3x)=－3 5x+33－9x=－3 －4x+33=－3 －4x=－36 x=9 將x=9代回(2)式得 27+y=11 即 y=－16 答：x=9，y=－16

 解：由(1)式得2x=21－3y 即 x=(21－3y)/2代入(2)式得 105－15y+4y=50 105－11y=50 －11y=－55 y=5 x=3 答：x=3，y=5

2.一年五班男女學生共30人，在上次考試中，全 班平均分數是73分；女生的平均分數是80分； 男生的平均分數是65分。若一年五班女生有x 人，男生有y人，請依照題意列出二元一次聯 立方程式。

解：全班總分=73 ×30 = 2190 女生總分=80x 男生總分=65y 女生總分+男生總分=全班總分 女生人數+男生人數=全班人數

3.成德國中增購新的桌椅，已知椅子3張與桌子2張 的價錢相等，買5張椅子及4張桌子共付了2200元 ，如果椅子每張x元，桌子每張y元，請依照題意 列出二元一次聯立方程式。

解：3張椅子價錢 =3x 2張桌子價錢=2y 5張椅子價錢 =5x 4張桌子價錢=4y

4.已知父親現年歲數比兒子現年歲數的4倍少7 ， 2年後父親的歲數是兒子的3倍，如果父親現年 x歲，兒子現年y歲，請依照題意列出二元一次 聯立方程式。

解：父親現年 = x 歲 兒子現年的4倍少7 = (4y－7) 歲 父親2年後= (x+2) 歲 兒子2年後= (y+2) 歲

5.一元與五元的硬幣共66個，總共130元。若一元 硬幣有x個，五元硬幣有y個，請依照題意列出 二元一次聯立方程式。

解：一元硬幣x個價值 = x 元 五元硬幣y個價值 = 5y 元

6.已知甲數的3倍比乙數的2倍多6，且甲數的5倍比 乙數的9倍少7。若以x、y分別代表甲、乙兩數， 請依照題意列出二元一次聯立方程式。

解：甲數的3倍 = 3x 乙數的2倍多6 = 2y+6 甲數的5倍 = 5x 乙數的9倍少7 = 9y－7

7.小明參加數學競試共25題，每答對一題得4分，答 錯一題倒扣1分。小明全答，答對x題，答錯y題， 共得70分，請依照題意列出二元一次聯立方程式。

解：小明答對x題得到分數 = 4x 分 小明答錯y題倒扣分數 = y 分 答對題數+答錯題數=總題數 答對得分－答錯扣分=總分

8.某長方形花園，若長減4公分而寬加3公分後，形 成與原長方形同面積的正方形，設長為x公分，寬 為y公分，請依照題意列出二元一次聯立方程式。

解：長方形的長減少4公分 = x－4 公分 長方形的寬增加3公分 = y+3 公分 新的正方形的邊長 = x－4 = y+3 公分 長方形的面積 = xy 平方公分 正方形的面積 = (x－4 )(y+3) 平方公分

三、自我測驗

1.下列何者為二元一次方程式？ (A)3x+5=8 (B)3x+5y=8 (C)3x+5 (D)3x+5y-8 答：B

2.滿足x+3y=9的正整數解x、y有 (A)無限多組解 (B)2組解 (C)3組解 (D)無解 x y 6 1 3 2 答：B

3.二元一次方程式x+y+2=0有 (A)無限多組解 (B)2組解 (C)3組解 (D)無解 答：A

分析：父親10年後為 x+10 歲 兒子10年後為 y+10 歲 答：C 4.父親現年x歲，兒子現年y歲，則10年後兩人年齡和為 (A)x+y 歲 (B)x+y+10 歲 (C)x+y+20 歲 (D)10x+10y 歲 分析：父親10年後為 x+10 歲 兒子10年後為 y+10 歲 答：C

5.若 ，則y= (A) (B) (C) (D) 分析： 答：C

3x-9y=6 分析： x-3y=2 2x-6y=4 2x-6y-1=4-1 答：A 6. 3x-9y=6，2x-6y-1的值等於 (B) 4 (C) 9 (D) 11 3x-9y=6 分析： x-3y=2 2x-6y=4 2x-6y-1=4-1 答：A

7.下列那一個聯立方程式的解是x=2，y=-3？ (A) (B) (C) (D) 答：B

分析： 2(3)+3y=15 6+3y=15 y=3 3(3) –3= a a=6 答：B 8.聯立方程式 的解中，x=3，則a= (A)3 (C)9 (D)12 分析： 2(3)+3y=15 6+3y=15 y=3 3(3) –3= a a=6 答：B

分析：設1包餅乾x元，1個麵包y元，則 3x+2y=105 6x+4y=210 500–210=290 答：A 9.某商店促銷活動，買3包餅乾和2個麵包，僅需105元 。若小芬至此商店購買6包餅乾和4個麵包，付500鈔 票一張，應可找回多少元？ (A)290 (B)395 (C)105 (D)210 分析：設1包餅乾x元，1個麵包y元，則 3x+2y=105 6x+4y=210 500–210=290 答：A

答：A 10.守守到郵局，買了5元與12元的兩種郵票共29張， 花了250元；若5元郵票買了x張，12元郵票買了y 張，下列那一個聯立方程式是正確的？ (A) (B) (C) (D) 答：A

11.羽毛球的售價分成兩種：比賽用球每打300元，練 習用球每打250元。創創共買了10打羽毛球，結帳 時店員將價目看反了，結果使得創創多付了100元。 設比賽用球買了x打，練習用球買了y打，則下列 那一個方程組可用來表示題目中的數量關係？ (A) (B) (C) (D)

分析：正確的價錢=300x+250y 元 看錯的價錢=300y+250x 元 300x+250y=300y+250x-100 答：C

分析： 2(6+8y) －4y=7 12+16y－4y=7 12y=－5 答：6 12.解方程組 得解x=a，y=b， 則6a+24b= 。

13.方程組 的解為x= ，y= 。 分析： 13x=52 x=4 y=6 答：x=4，y=6

答：10x+15y 10(x+4)+15(y-2) 14.鉛筆一枝10元，原子筆一枝15元，甲買了x枝鉛筆、 枝鉛筆，少買了2枝原子筆，則乙共花了 元。 答：10x+15y 10(x+4)+15(y-2)

答： 15.小明到書局購買文具，原本所帶的錢85元剛好 可買3枝原子筆、2枝鉛筆，但是卻買成2枝原子 筆、3枝鉛筆，結果找回15元；已知原子筆一枝 x元，鉛筆一枝y元，依題意列出二元一次聯立 方程式為 。 答：

分析： 5年前父親的年齡= x-5 歲 5年前兒子的年齡= y-5 歲 3年後父親的年齡= x+3 歲 3年後兒子的年齡= y+3 歲 答： 是兒子年齡的2倍，3年後父親的年齡比兒子年齡多 27歲，則依題意列出二元一次聯立方程式為   。 分析： 5年前父親的年齡= x-5 歲 5年前兒子的年齡= y-5 歲 3年後父親的年齡= x+3 歲 3年後兒子的年齡= y+3 歲 答：

分析： a-0.8a=42 0.2a=42 a=210 b=168 答：a=210，b=168

分析： 3(3) – 2(k)=13 9 – 2k=13 k= –2 2(3) – a(-2)=8 6+2a=8 a=1 18.若x=3，y=k為聯立方程式 的解， 則 a-k= 。 分析： 3(3) – 2(k)=13 9 – 2k=13 k= –2 2(3) – a(-2)=8 6+2a=8 a=1 a–k=1–(-2)=3 答：3

分析： 設男生有x人，女生有y人，則 2(y+2)=4y-2 2y+4=4y-2 6=2y y=3 x=5 答：8人 19.校外教學時同學們分組進行參觀活動，創創這一 組的男生比女生多2人，而男生人數的2倍比女生 人數的4倍少2人，請問創創這一組共有 人。 分析： 設男生有x人，女生有y人，則 2(y+2)=4y-2 2y+4=4y-2 6=2y y=3 x=5 答：8人

分析： 答：華氏68度 20.我們用y表示華氏度數，x表示攝氏度數，它們之 間的關係可以寫成 。 間的關係可以寫成 。 (1)如果妳(你)聽到我國氣象報告美國西雅圖的溫 度是20度(攝氏)，那麼當地的氣象報告會是華 氏 度。 分析： 答：華氏68度

(2)如果妳(你)在西雅圖聽到台北氣溫是95度(華氏)， 那麼台北的氣溫是攝氏 度。 分析： 答：攝氏35度

分析： 由(1)知攝氏20度=華氏68度 答：台北 (3)如果洛杉磯的溫度是華氏65度，同一時間台北的 氣溫是攝氏20度，請問那一個城市的氣溫較高？ 答： 。 分析： 由(1)知攝氏20度=華氏68度 答：台北