第四章 随机变量的数字特征 随机变量的分布是对随机变量的一种完整的描述，知道随机变量的分布就全都知道随机变量的所有特征。然后随机变量的概率分布往往不容易求得的。 随机变量的这些统计特征通常用数字表示的。这些用来描述随机变量统计性的数字称为随机变量的数字特征。其中最重要的是数学期望（均值）和方差二种。 §4.1 数学期望与方差 一.数学期望

随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值. (一)离散型随机变量的数学期望 定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....) 若级数 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 =

例1 甲在机床上生产某产品,若一等品能赚5元,二等品赚3元, 次品亏2元.甲生产时一等品、二等品及次品的概率为0.6,0.3,0.1 .问生产每件产品平均能创造多少财富? 分析: x -2 3 5 p 0.1 0.3 0.6 数学期望为3.7元.表示生产一件产品能创造3.7元

ò 随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和. = (1) (二)连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量 有概率密度 若 绝对收敛,则 称为 的 数学期望 ) 2 3 ( - = ò µ dx x E j

例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望 可见均匀分布的数学期望为区间的中值.

2.随机变量函数的数学期望 定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数) (1)若X是离散型随机变量,它的分布律为P{X=xk}=pk. K=1,2,.. 若 (2)若X是连续型随机变量,它的概率密度为f(x). 定理1表示:求E(Y)时,不必知道Y的分布,而只要知道X的分布

定理2 设Z是随机变量X和Y的函数,Z=g(X,Y)(g是连续函数),那么Z也是一个随机变量,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则 这里假设上式右边的积分绝对收敛. 若(X,Y)为离散型随机变量,其分布律为 P{X= , Y= }= ,i,j=1,2,... 则

例3 已知X在[-a,a]上服从均匀分布,试求Y=X3-kX和Y2=(X3-kX)2的数学期望 解:由(8)式,得到

3. 数学期望的性质 (1) E(C)=C. (2) E( +C)=E +C 证明：对离散型随机变量 对连续型随机变量

（3） 证明：若C=0，则 是一个常数0，由性质1可知它成立。

å h x E p y xp + = （4） （5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学 期望的和。 证明：设 是离散型随机变量 证明：设 是离散型随机变量 h x E p y xp j i ij + = å µ ) 2 ( 1 这个性质可以推广到有限多个

推理： （6）两个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学 期 望的乘积。 证明：因为 相互独立， 连续型随机变量

例7 仪器由二部分组成，其总长为二部分长度的和。 求 9 10 11 p 0.3 0.5 0.2 分析: 6 7 p 0.4 0.6 因为 不独立,只能用(3-6)式进行计算.

下面介绍几个常用的公式

(一) 方差的定义 定义 如果随机变量 的数学期望 存在,称 为随机 变量 的离差,显然 不论正偏差大或是负偏差大,同样是离散程度大,用 来 定义 如果随机变量 的数学期望 存在,称 为随机 变量 的离差,显然 不论正偏差大或是负偏差大,同样是离散程度大,用 来 衡量 和 的偏差 定义3-4 随机变量离差平方的数学期望,称为随机变量的方差, 记 或 而 称为 的标准差

随机变量的方差是一个正数, 当 的可能值在它的期望值 附近,方差小,反之则大.方差表示随机变量的离散程度. 若 是离散型随机变量,且 若 是连续型随机变量,有概率密度 随机变量的方差是一个正数, 当 的可能值在它的期望值 附近,方差小,反之则大.方差表示随机变量的离散程度.

例8 甲乙两个射手，射击点和目标的距离分别为 ，且分布律 80 85 90 95 100 85 87.5 90 92.5 95 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 p 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 求 甲,乙双方的数学期望相同,表示他们的准确度相同.由于乙的方 差小,表示乙射手比甲射手好

(二) 方差的性质 1、常数的方差等于0 证明： 2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明： 3、常数和随机变量乘积的方差等于这个常数的平方和随机 变量方差的乘积。 证明：

4. 两个独立的随机变量之和的方差等于两个随机变量方差的 和 4. 两个独立的随机变量之和的方差等于两个随机变量方差的 和 证明： 若 独立

) 17 3 ( - = x E D 进一步可得到：n个相互独立的随机变量算术平均数的方差等于 其方差算术平均数的1/n倍。 5、任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望和它期 望的平方之差，即 ) 17 3 ( 2 - = x E D 证明： 这个公式用来简化方差计算。且说明随机变量平方的数学期望 大于期望的平方。

例9 计算在区间[a，b]上服从均匀分布的随机变量 的方差

对于二维随机变量(X,Y),方差D(X,Y)=[D(X),D(Y)] (20)

§4.2 几个重要分布的数学期望及方差 （一）两点分布 x 1 0 pk p 1-p

（二）二项分布（具有独立和‘是与否’二种结果的条件。 当n=1时，它为两点分布。）

利用二点分布 也可推出二项分布的期 望及方差。

（3）泊松分布 π(λ) 泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.

（4）指数分布 f(x)= （4-6） 其他

, ) ( 1 > G = - x e r l j （6） 分布 （4-7） 其他 令

（7） 正态分布

（7） 正态分布

几种重要分布的数学期望和方差： 两点分布 p p（1-p） 二项分布 np npq 超几何分布 nN1/N 普哇松分布 指数分布 分布 正态分布

§4.3 其他数字特征 介绍另外一些数字特征,包括矩,协方差与相关系数. 矩的概念 (1). k阶原点矩 §4.3 其他数字特征 介绍另外一些数字特征,包括矩,协方差与相关系数. 矩的概念 (1). k阶原点矩 定义1 设X为随机变量,如果αk=E(Xk),k=1,2,... (1) 存在时,称αk为X的k阶原点矩,简称k阶矩. 由定义1可知,X的k阶原点矩就是Xk的数学期望,所以求原点矩 的问题,就是求随机变量的函数Y=Xk的数学期望.特别地,X的数 学期望就是一阶原点矩.

(2) k阶中心矩 定义2 设X为随机变量,如果E(X)存在,那么,当 = ,k=1,2... (2)存在时,称 为X的k阶中心矩. 显然,X的方差D(X)就是X的二阶中心矩. (3) 混合矩 定义3 设(X,Y)是二维随机变量,如果 = ,k,L=1,2,... (3)存在,则称 为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合(原点)矩.

(4) 混合中心矩 定义4 设(X,Y)为二维随机变量,如果μkl=E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]L} k,L=1,2,.... (4)存在,则称μkL为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合中心矩. 协方差与相关系数

定义5 设(X,Y)为二维随机变量,称1+1阶混合中心矩E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}而 由协方差的定义可得 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E{XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). a,b是常数 (3)Cov( + ,Y)=Cov( ,Y)+Cov( , Y). 协方差具有以下的性质. (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y). a,b是常数 (3)Cov( + ,Y)=Cov( ,Y)+Cov( , Y). 定理1 (1)若X与Y相互独立,则ρxy=0; (2)| ρxy|≤1; (3)| ρxy|=1的充分必要条件是:存在常数a,b使P{Y=aX+b} =1.即X与Y以概率为1线性相关.

证明:(1) X与Y相互独立,我们有E(XY)=E(X)E(Y), 因为Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y- E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y) 所以Cov(X,Y)=0, 有ρxy的公式表示它为0. ) ( , Y D X Cov xy = r (2)先证一个重要的不等式---柯西-许瓦兹不等式:若E(W2) 及E(V2)存在,则[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). (8) 令g(t)=E[(tW-V)2]=t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2)显然大于0的数学期 望 必定大于0.因此对一切实数t,都有(tW-V)2≥0,所以g(t)≥0. 这表示图形在X轴上方.从而二次方程g(t)=0或者没有实根,或者 只有重根.

其判别式 △=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0 得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明. 设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么

由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1

即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1 这等价于 P{Y=aX+b}=1 其中a=t,b=E(Y)-tE(X) W=X-E(X),V=Y-E(Y),tW-V=tX-tE(X)-Y+E(Y)=0 定理证毕. 定理1告诉我们, 当X,Y相互独立时,|ρxy|达到最小值0, 当ρxy=0时称X和Y不相关, 当X和Y线性相关时,| ρxy|达到最大值1, 这说明ρxy在一定程 度上表达了X和Y之间的线性相关程度,称为相关系数.

例2 设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为

所以E(X)=μ1,D(X)=σ12,E(Y)=μ2,D(Y)=σ22,而

令

切比雪夫不等式 设随机变量X 具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 。则任给正 数ε, 有 不等式(14)和(15)称为切比雪夫不等式 它反映了均值与方差的意义,|X-E(X)|≥ξ即X取值不在E(X)附 近的概率不超过.当D(X)较小时, D(x)/ξ2就较小,X取值集中在 E(X)附近故E(X)是X取值的集中点.D(X)反映X在E(X)附近取值 的个数是多还是少.

证明： X 是离散型随机变量 证明完毕

切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下,估计事件{|X-μ|<ε}的概率的方法. 例如取ε=3σ,得所谓“3σ规则”: P{|X-μ|<3σ}≥0.8889, 即事件|X-μ|<3σ的概率大约为0.9.特别是若X是正态随机变量,可算得到 P{μ-3σ<X<μ+3σ}=Φ(3)-Φ(-3)=2Φ(3)-1=0.9974