第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题
§5.1 二次型的矩阵表示 一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
问题的引入: 解析几何中 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴 (标准方程)
代数观点下 二次齐次多项式 作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式 (标准形)
一、n元二次型 1、定义：设P为数域， n个文字 的二次齐次多项式 ① 称为数域P上的一个n元二次型．
注意 1) 为了计算和讨论的方便,式①中 的系数 写成 2) 式① 也可写成
2、二次型的矩阵表示 1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有 ②
则矩阵A称为二次型 的矩阵.
于是有
注意: 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 （这表明在选定文字 下，二次型 完全由对称矩阵A决定.) 若 且 ，则 （这表明在选定文字 下，二次型 完全由对称矩阵A决定.) 正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.
例1 1）实数域R上的2元二次型 2） 实数域R上的3元二次型 3）复数域C上的4元二次型 它们的矩阵分别是：
二、非退化线性替换 1、定义： 是两组文字, ，关系式 ③ 称为由 的一个线性替换; 若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.
例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 . 即变换 ∵系数行列式 它是非退化的.
2、线性替换的矩阵表示 则③可表示为X=CY ④ 若|C| ≠0，则④为非退化线性替换. 注 1）③或④为非退化的 为可逆矩阵 .
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型 事实上， ———— ———— 即，B为对称矩阵. 是一个 二次型.
三、矩阵的合同 1、定义：设 ，若存在可逆矩阵 使 ，则称A与B合同. 注: 1）合同具有 反身性: 对称性： 传递性: 即C1C2可逆.
2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与 原二次型矩阵是合同的. 2）合同矩阵具有相同的秩. C可逆 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. 进而，有: 二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY A与B合同.
例2 证明：矩阵A与B合同，其中 一个排列. 证：作二次型
对 作非退化线性替换 则二次型化为（注意 的系数为 ） 故矩阵A与B合同.
练习 写出下列二次型的矩阵 其中
答案
4. 解： - -
四、 小结 基本概念 n元二次型： 非退化线性替换： ，或X=CY， |C| ≠0. 矩阵的合同：
基本结论 1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型. 2、二次型X´AX可经非退化线性替换化为二型Y´BY 3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.