§7.2 二元选择模型 Binary Choice Model 一、二元离散选择模型的经济背景 二、二元离散选择模型 三、二元Probit离散选择模型及其参数估计 四、二元Logit离散选择模型及其参数估计 五、二元离散选择模型的检验

说明 在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量。 离散被解释变量数据计量经济学模型（Models with Discrete Dependent Variables）和离散选择模型(DCM, Discrete Choice Model)。 二元选择模型(Binary Choice Model)和多元选择模型(Multiple Choice Model)。 本节只介绍二元选择模型。

离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。 1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。 70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。 模型的估计方法主要发展于80年代初期。

一、二元离散选择模型的经济背景

实际经济生活中的二元选择问题 研究选择结果与影响因素之间的关系。 影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方案的属性。 对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品的购买决策问题 ，求职者对某种职业的选择问题，投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的贷款决策。由决策者的属性决定。 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方案的属性共同决定。

二、二元离散选择模型

1、原始模型 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择主体所具有的属性。 左右端矛盾

由于存在这两方面的问题，所以原始模型不能作为实际研究二元选择问题的模型。 需要将原始模型变换为效用模型。 这是离散选择模型的关键。 具有异方差性 由于存在这两方面的问题，所以原始模型不能作为实际研究二元选择问题的模型。 需要将原始模型变换为效用模型。 这是离散选择模型的关键。

2、效用模型 第i个个体 选择1的效用 第i个个体 选择0的效用 作为研究对象的二元选择模型

注意，在模型中，效用是不可观测的，人们能够得到的观测值仍然是选择结果，即1和0。 很显然，如果不可观测的U1>U0，即对应于观测值为1，因为该个体选择公共交通工具的效用大于选择私人交通工具的效用，他当然要选择公共交通工具； 相反，如果不可观测的U1≤U0，即对应于观测值为0，因为该个体选择公共交通工具的效用小于选择私人交通工具的效用，他当然要选择私人交通工具。

3、最大似然估计 欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项选择一种特定的概率分布。 两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑（logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元选择模型—Probit模型和Logit模型。 最大似然函数及其估计过程如下：

标准正态分布或逻辑分布的对称性 似然函数

在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模型参数估计量。 1阶极值条件 在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模型参数估计量。

三、二元Probit离散选择模型及其参数估计

1、标准正态分布的概率分布函数

2、重复观测值不可以得到情况下二元Probit离散选择模型的参数估计

关于参数的非线性函数，不能直接求解，需采用完全信息最大似然法中所采用的迭代方法。 应用计量经济学软件。 这里所谓“重复观测值不可以得到”，是指对每个决策者只有一个观测值。如果有多个观测值，也将其看成为多个不同的决策者。

例7.2.2 贷款决策模型 分析与建模：某商业银行从历史贷款客户中随机抽取78个样本，根据设计的指标体系分别计算它们的“商业信用支持度”（CC）和“市场竞争地位等级”（CM），对它们贷款的结果（JG）采用二元离散变量，1表示贷款成功，0表示贷款失败。目的是研究JG与CC、CM之间的关系，并为正确贷款决策提供支持。

样本观测值 CC=XY CM=SC

输出的估计结果 该方程表示，当CC和CM已知时，代入方程，可以计算贷款成功的概率JGF。例如，将表中第19个样本观测值CC=15、CM=－1代入方程右边，计算括号内的值为0.1326552；查标准正态分布表，对应于0.1326552的累积正态分布为0.5517；于是，JG的预测值JGF=1－0.5517=0.4483，即对应于该客户，贷款成功的概率为0.4483。

模拟预测

预测：如果有一个新客户，根据客户资料，计算的“商业信用支持度”（XY）和“市场竞争地位等级”（SC），代入模型，就可以得到贷款成功的概率，以此决定是否给予贷款。

3、重复观测值可以得到情况下二元Probit离散选择模型的参数估计 思路 对每个决策者有多个重复（例如10次左右）观测值。 对第i个决策者重复观测ni次，选择yi=1的次数比例为pi，那么可以将pi作为真实概率Pi的一个估计量。 建立 “概率单位模型” ，采用广义最小二乘法估计 。 实际中并不常用。

对第i个决策者重复观测n次，选择yi=1的次数比例为pi，那么可以将pi作为真实概率Pi的一个估计量。 定义“观测到的”概率单位

V的观测值通过求解标准正态分布的概率分布函数的反函数得到 实际观测得到的

四、二元Logit离散选择模型及其参数估计

1、逻辑分布的概率分布函数

Börsch-Supan于1987年指出: 如果选择是按照效用最大化而进行的，具有极限值的逻辑分布是较好的选择，这种情况下的二元选择模型应该采用Logit模型。

2、重复观测值不可以得到情况下二元logit离散选择模型的参数估计 关于参数的非线性函数，不能直接求解，需采用完全信息最大似然法中所采用的迭代方法。 应用计量经济学软件。

Probit 0.999999 1.000000 0.447233 0.000000

3、重复观测值可以得到情况下二元logit离散选择模型的参数估计 思路 对每个决策者有多个重复（例如10次左右）观测值。 对第i个决策者重复观测ni次，选择yi=1的次数比例为pi，那么可以将pi作为真实概率Pi的一个估计量。 建立“对数成败比例模型” ，采用广义最小二乘法估计 。 实际中并不常用。

用样本重复观测得到的pi构成“成败比例”，取对数并进行台劳展开，有 逻辑分布的概率分布函数

五、二元离散选择模型的检验

1、计量经济学模型中的两类检验统计量 基于LS 基于ML 原理相同 R2 总体显著性F检验 约束回归的F检验 Wald LR (likelihood ratio) LM (lagrange multiplier) 原理相同

2、拟合检验 P：样本观测值中被解释变量等于1的比例。 L0：模型中所有解释变量的系数都为0时的似然函数值。 LRI=1，即L=1，完全拟合。 LRI=0，所有解释变量完全不显著，完全不拟合。

LnL=－1.639954 LnL0=－52.80224 LRI=0.968942

3、省略变量检验 经典模型中采用的变量显著性t检验仍然是有效的。 如果省略的变量与保留的变量不是正交的，那么对参数估计量将产生影响，需要进一步检验这种省略是否恰当。

如果X2中的变量省略后对参数估计量没有影响，那么H1和H0情况下的对数最大似然函数值应该相差不大，此时LR统计量的值很小，自然会小于临界值，不拒绝 H0。

检验步骤 首先进行约束模型的估计 选择系数检验 引入省略的变量 判断

省略CC，只保留CM，估计模型

选择”Omitted Variables-LR Test”

引入CC

拒绝CC系数为0的0假设

将解释变量分为两类，Z为只与个体特征有关的变量。显然异方差与这些变量相关。 4、异方差性检验 截面数据样本，容易存在异方差性。 假定异方差结构为： 将解释变量分为两类，Z为只与个体特征有关的变量。显然异方差与这些变量相关。 采用LM检验 将异方差检验问题变为一个约束检验问题

一般都存在异方差。 不检验，采用White修正进行估计

5、分布检验 检验关于分布的假设（probit、logit ）。 一般不进行该项检验。 具体见相关教科书（Greene,P682）。

β：模型1的参数，γ：模型2的参数。 组合模型的似然函数： 构造LM统计量，如果不拒绝0假设，表明模型1是适当的。

6、回代检验 当二元离散选择模型被估计后，将所有样本的解释变量观测值代入模型，计算得到每个样本的被解释变量选择1的概率，与每个样本被解释变量的实际观测值进行比较，以判断模型的预测（回代）效果，是一种实际有效的模型检验方法。 概率阈值 朴素选择：p=0.5 (1、0的样本相当时） 先验选择：p=（选1的样本数/全部样本）（全样本 时） 最优阈值：犯第一类错误最小原则

例7.2.2 朴素选择，即以0.5为阈值：除了2个样本外，所有样本都通过了回代检验。 先验选择，即以选择1的样本的比例0.41为阈值：除了1个样本外，所有样本都通过了回代检验。

实例—财务欺诈识别模型 我国上市公司财务欺诈识别模型 样本：年度报告审计意见为“无法发表意见”或者“证监会立案调查”等公司属于财务欺诈样本；年度报告审计意见为“标准无保留意见”和财务报表满足“利润×现金流量＞0”的公司属于配对样本。 解释变量：开始选择11个财务指标；通过T检验，确定6个指标：资产负债率、资产毛利率、资产周转率、营运资金比率、应收账款周转率、经营活动现金流量/资产额。

样本：财务欺诈公司30，非财务欺诈公司30 采用犯第一类错误最小原则确定最优阈值为 0.68 欺诈样本中，p<0.68，26个，占86.7% 非欺诈样本中，p>0.68，25个，占83.3%

实例—上市公司并购 被解释变量：当年发生并购行为为1，反之为0。 解释变量：净利润率、……，全流通虚变量。 试图研究全流通都并购的影响。 样本：1994-2008上市公司，并购样本731，非并购样本9835。 采用先验原则，P=5% 模拟结果： 并购样本中：p>5%占53% 非并购样本中：p<5%占72%