二元一次式 二元一次式的化簡 二元一次方程式 自我評量

在第一冊我們學習一元一次方程式時，先學習如何根據題意列出含有 x 的一次式，例如：買每個 10 元的麵包 x 個，一共需付 10x 元。現在為了解決含有兩個未知數的問題，我們先來學習依據題意列出含 x 與 y 的一次式的方法。

1 列二元一次式 媽媽到麵包店為全家購買早餐，買了每個 25 元 的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，她一共要 付多少元？ 解 1 個麵包 25 元， x 個麵包共 25×x＝25（元）； 1 瓶果汁 18 元， y 瓶果汁共 18×y＝18（元）； 所以媽媽一共要付（25x ＋18y）元。

1.為了響應救濟活動，力宏將撲滿中的 x 枚 50 元硬幣與 y 枚 10 元硬幣全部捐出來，力宏一共捐了_________元。

2 列二元一次式 一桶 5000 毫公升的水，倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯後，桶內還剩下多少毫公升的水？

倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，就是倒出了 3x 毫公升的水； 解一 逐一減去先後倒出的量 倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，就是倒出了 3x 毫公升的水； 倒滿每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯，就是倒出了 5y 毫公升的水； 所以桶內剩下（5000－3x－5y）毫公升水。

所以桶內剩下〔5000－（3x＋5y）〕毫公升的水。 解二 一次減去全部倒出的量 因為分別倒出了 3x 毫公升及 5y 毫公升的水， 也就是共倒出（3x＋5y）毫公升的水， 所以桶內剩下〔5000－（3x＋5y）〕毫公升的水。 5000－3x－5y 與 5000－（3x＋5y） 兩個式子代表的水 量相等。

1.志忠有 83 元，買文具花掉了 x 枚 1 元硬幣與 y 枚 10 元硬幣，則志忠還有___________元。 83－x－10y 或 83－（x＋10y） 2.佩君有 200 元，買了每枝 x 元的原子筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後，還剩下____________元。 200－2x－3y 或 200－（2x＋3y）

在例題 1 與例題 2 中，像25x＋18y、5000－3x－5y 這種含有兩種文字符號（二元），且這兩種文字符號的次方都是一次的式子，稱為二元一次式。

由上面的說明，可以發現： 一個含有 x、y 的二元一次式，當 x 和 y 的值給定後，就可求出該式子的值。

3 代入求值 依據下列各小題的 x 、 y 值，分別求出二元一次式 3x －4y 的值。 (1)x＝2，y＝5 (2)x＝－2，y＝3 (3)x＝－ ，y＝－

(1)當 x＝2，y＝5 時， 3x－4y＝3×2－4×5 ＝6－20 ＝－14 (2)當 x＝－2，y＝3 時， 解 (2)當 x＝－2，y＝3 時， 3x－4y＝3 × (－2) －4×3 ＝(－6)－12 ＝－18

(3)當 x＝－ ，y＝－ 時， 3x－4y＝3×（－ ）－4×（－ ） ＝（－2）＋10 ＝8

我們也可以用表格的方式來呈現例題 3，如下表： 2 －2 5 3 3x－4y －14 －18 8 x y 二元一次式

在下表空格中，填入各二元一次式的值。

1 －2 0.6 3 －1 －3 －0.2 2x＋7y 3x－5y 10－x－2y 二元一次式 x y 23 -11 -21 -0.2 -12 -1 15 -14 2.8 3 14 16 9.8

學習一元一次式時，對於同類項會先合併化簡，在二元一次式也是如此。但是，含不同文字符號的項，並不是同類項，是不能合併的。例如在例題 1 中，25x＋18y 是不能再進一步合併的。

4 合併同類項 化簡下列各式： (1)2x＋2y＋4x＋y (2)6x－7y－4＋y－1 (3)3x－4y＋9＋5x－y－7 (4)－4x＋3y－8－y＋5－5x

2x＋2y＋4x＋y ＝ 2x＋4x＋2y＋y ＝ 6x＋3y 解 2x 與 4x 為同類項，2y 與 y 為同類項。

(2) 6x－7y－4＋y－1 ＝ 6x＋（－7y）＋（－4）＋y＋（－1） ＝ 6x＋（－7y）＋y＋（－4）＋（－1） 以「＋」號作區隔，所以 6x－7y＝6x＋（－7y）。

(3) 3x－4y＋9＋5x－y－7 ＝ 3x＋（－4y）＋9＋5x＋（－y）＋（－7） ＝ 3x＋5x＋（－4y）＋（－y）＋9＋（－7） ＝ 8x＋（－5y）＋2 ＝ 8x－5y＋2

(4)－4x＋3y－8－y＋5－5x ＝（－4x）＋3y＋（－8）＋（－y）＋5＋ （－5x） ＝（－4x）＋（－5x）＋3y＋（－y）＋ （－8）＋5 ＝（－9x）＋2y＋（－3） ＝－9x＋2y －3 淺灰色塊內的式子，熟練後可以省略！

化簡下列各式： (1)3x＋4y＋5＋2x＋3y－3 5x＋7y＋2 (2)x＋4y－3x＋2 －2x＋4y＋2

(3)5x－6y－4－6x－2y＋4 －x－8y (4)－7x＋y－6－4y－3－8x －15x－3y－9

當二元一次式中有括號時，化簡的方法也如同一元一次式，可以先利用分配律，即a ×（b＋c）＝a × b＋a × c，去掉括號後，再將同類項合併。

5 去括號再合併 化簡下列各式： (1) 2（－2x＋3y） (2) 5（2x－3y－1） (3)（2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6） (4) 2（3x－y＋9）＋3（x－2y－5）

解 (1) 2（－2x＋3y） ＝ －4x＋6y (2) 5（2x－3y－1） ＝10x－15y－5

(3)（2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6） ＝2x＋4y－5＋4x－5y＋6 ＝6x－y＋1 (4) 2（3x－y＋9）＋3（x－2y－5） ＝6x－2y＋18＋3x－6y－15 ＝9x－8y＋3

化簡下列各式： (1)3（x＋5y） 3x＋15y (2)4（－3x＋y－5） －12x＋4y－20

(3)（4x－5y－9）＋（3x＋4y－8） ＝4x－5y－9＋3x＋4y－8 ＝7x－y－17 (4) 4（－2x＋y＋3）＋3（x－2y－5） ＝－8x＋4y＋12＋3x－6y－15 ＝－5x－2y－3

在例題 5 的第(3)小題，也可以將同類項上下對齊，用直式運算記錄如下： 也就是 2x＋4x＝6x 4y＋(－5y)＝－y (－5)＋6＝1 2x ＋4x －5 4x －5y ＋6 6x －y ＋1 ＋)

化簡下列各式： (1) (2) 7x －y ＋5 3x －5y －9 ＋) 3x －5y －7 －x ＋8y ＋8 ＋) 10x －6y －4 2x ＋3y ＋1

6 去括號再合併 化簡下列各式： (1)－（4x＋2y－5） 　 (2)－5（x－2y＋3） (3)（3x－2y－1）－（2x＋y－3） 　 (4)4（3x－2y＋1）－3（－2x＋4y＋3） (5) （2x－y＋2）－ （3x＋y＋6）

(1)－（4x＋2y－5） ＝（－1）×（4x＋2y－5） ＝－4x－2y＋5 解 括號前面若有「－」號，則去括號時要將括號內的每一項都變號。

(2) －5（x－2y＋3） ＝－5x＋10y－15 (3)（3x－2y－1）－（2x＋y－3） ＝ 3x－2y－1－2x－y＋3 ＝x－3y＋2

(4) 4（3x－2y＋1）－3（－2x＋4y＋3） ＝ 12x－8y＋4＋6x－12y－9 ＝ 18x－20y－5 (5) （2x－y＋2）－ （3x＋y＋6） ＝ 3x－ y＋3－x－ y－2 ＝ 2x－ y＋1

化簡下列各式： (1)－（－3x＋2y－1） (2)－5（－0.4x－y＋1.8） 3x－2y＋1 2x＋5y－9

(3)（5x＋2y－8）－（2x－4y＋3） ＝5x＋2y－8－2x＋4y－3 ＝3x＋6y－11 (4)－3（2x＋3y）－2（5x－4y－9） ＝－6x－9y－10x＋8y＋18 ＝－16x－y＋18

(5) （x－y＋3）－ （3x＋y－5） ＝ x－ y＋ －2x－　y＋ ＝－ x－ y＋

在例題 6 的第 (3) 小題，也可以將同類項上下對齊，用直式運算記錄如下： 也就是 3x－2x＝x 3x －2y －1 2x ＋y －3 x －3y ＋2 －) －2y－y＝－3y (－1) －(－3)＝2

化簡下列各式： (1) (2) 3x －5y ＋2 6x －2y －7 －) －2x ＋5y －7 4x －y －9 －) －3x －3y ＋9 －6x ＋6y ＋2

現在我們來練習將一個二元一次式進一步列成含等號的式子，例如：

(1)在第 6 頁例題 1 中，如果媽媽買了 x 個 25 元的麵包和 y 瓶 18 元的果汁，共花了 147 元，也就是（25x＋18y）與 147 都是指媽媽所花的錢，所以依兩者相等可列得等式： 　也可依兩者相減為 0 列得等式： （25x＋18y）－147＝0 或 147－（25x＋ 18y）＝0 四個方程式的意義皆相同，但習慣上以 25x＋18y＝147最為常用。

(2)在例題 2 中，如果一桶 5000 毫公升的水，倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，及每杯容量 y毫公升的杯子 5 杯後，桶內還剩 2000 毫公升的水，也就是（5000－3x－5y）與 2000 都是指桶內所剩的水，所以依兩者相等可列得等式： 　 5000－3x－5y＝2000 或 2000＝5000－3x－5y 　也可依兩者相減為 0 列得等式： （5000－3x－5y）－2000＝0 或 2000－（5000－3x－5y）＝0

像上面 25x＋18y＝147、5000－3x－5y＝2000、 ……的式子，只含有兩種未知數，且兩種未知數的次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式。

根據下列各問題，列出二元一次方程式︰ (1)欣怡買了每枝 15 元的鉛筆 x 枝及每個 12 元的橡皮擦 y 個，一共花了120 元。可列出二元一次方程式：______________________ 。 (2)建華有 83 元，買文具花了 x 枚 1 元硬幣和 y 枚 10 元硬幣後，還剩下 21 元。可列出二元一次方程式：__________________________ _________。 15x＋12y＝120 83－x－10y＝21或 83－（x＋ 10y)＝21

(3)大小兩整數分別為 x 與 y ，且大數比小數大 10 。可列出二元一次方程式：____________________________________ 。 x－y＝10 或 x＝y＋10 2（x＋y）＝20 或 2 x＋2 y＝20

當二元一次方程式中的未知數（如 x 與 y），以一組特定的值代入，可使等號左右兩邊的值相等時，便稱該組 x、y 的值為此方程式的解。 左式＝5×3＋8×4＝15＋32＝47＝右式 即等號成立，所以 x＝3，y＝4 是方程式 5x＋ 8y＝47 的解。

(2)當 x＝1，y＝2 代入時， 左式＝5×1＋8×2＝5＋16＝21≠右式 即等號不成立，所以 x＝1，y＝2 不是方程式 5x＋8y＝47 的解。`

7 解的判斷 下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式－2x＋y＝ 3 的解？ (1)x＝0，y＝0　　　 (2)x＝0.4，y＝3.8 (3) x＝－ ，y＝ (4)x＝－1，y＝－1

將 x、y 所代表的數代入式子中，檢驗等號是否 成立，如下表： 解 x y 左式＝－2x＋y 右式＝3 是否為解 （－2）×0＋0＝0 3 否 0.4 3.8 （－2）×0.4＋3.8＝3 是 （－2） × （－ ）＋ =3 －1 （－2）×（－1）＋（－1）＝1

1.下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式－2x－3y＝8 的解？ (1)、(2)、(4)

2.已知 x＝1，y＝a 與 x＝2，y＝b 都是方程式 3x＋2y＝5 的解，求 a、b的值。

3.國城與乃麟求方程式 2x－3y＝12的解，國城選了四個 x 值，乃麟選了四個 y值，分別排成下列兩表。

3. x 1 2 3 y －4 － －2 x 6 9 y 1 2 3

由例題 7 及隨堂練習，可發現二元一次方程式的解不只一組，在隨堂練習第3題的方程式 2x－3y＝12 中，當 x 的值繼續由 4、5、6 等數依序代入時，y 的值必可由一個一元一次方程式解得；同樣地，當 y 的值繼續由 4、5、6 等數依序代入時，x 的值也必可由一個一元一次方程式解得。 由此可知： 一個二元一次方程式的解有無限多組。

8 正整數解的應用 七年 5 班上課時進行分組，每組 3 人或 5 人，其中 5 人一組的有 x 組，3 人一組的有 y 組。已知學生共有 37 人，請寫出所有可能的分法。 因為 5 人一組的有 x 組，共 5x 人，3 人一組的有 y 組，共 3y 人，所以總共有學生(5x＋3y)人，因此可列得方程式 5x＋3y ＝37。 解

因為 x 與 y 都表示組數，所以 x 與 y 均為正整數或 0，因此方程式中 x 的值可用 0、1、2、3 等數依序代入，解得 y 值後，再檢查 y 是否也符合正整數或 0 的條件，如下表。（○：符合條件；╳：不符合條件） x 1 2 3 4 5 6 7 8 ...... y 9 －1 負數 檢查 ╳ ○

由上表可知符合條件的解為： (1) x＝2，y＝9，表示 5 人一組的有 2 組，3 人一組的有 9 組。 (2) x＝5，y＝4，表示 5 人一組的有 5 組，3 人一組的有 4 組。 故 5 人一組的有 2 組，3 人一組的有 9 組； 或 5 人一組的有 5 組，3 人一組的有 4 組。

1.丞琳買了兩種卡片共花了 85 元，其中有每張 15 元的卡片 x 張，10 元的卡片 y 張。試問丞琳可能買了幾張 10 元的卡片？ 1 張或 4 張或 7 張 2.已知 x、y 均為正整數，且 5x＋2y＝32，求滿足上述條件的所有解。 x＝2，y＝11 或 x＝4，y＝6 或 x＝6，y＝1

由例題 8 及隨堂練習可知，一個二元一次方程式雖然有無限多組解，但是常因其他條件的限制，而影響了該方程式解的個數。

1.二元一次式：只含有兩種代表數的文字符號，且兩種文字符號的次方是一次的式子，稱為二元一次式。 例如：－2x＋y－5、x－3y 等。

2.項的合併：式子做加減運算時，須掌握同類 項才能合併的原則。 例如：x、3x 是同類項，2y、3y 是同類項， x、2y 不是同類項。 因此（x＋2y＋1）＋（3x＋3y＋5）可以合併 成（x＋3x）＋（2y＋3y）＋（1＋5）＝4x＋ 5y＋6 而 （x＋1）＋（2y＋3）＝x＋2y＋4

3.二元一次方程式：只含有兩種未知數，且兩種未知數的次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式。例如：3x－2y＝5、x＝3y 等。

4.二元一次方程式的解：二元一次方程式中的 x、y，若以一組特定的值代入，可使其等號左右兩邊的值相等時，便稱該組 x、y 值為此方程式的解。一個二元一次方程式的解有無限多組，但在實際問題的情境中，常因未知數受到其他條件的限制，而影響了該方程式解的個數。

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。 ——華羅庚（1910-1985）

1-1 自我評量 1.棒棒堂家族聚餐共點了每份 100 元的 1 號餐 x 份和每份 150 元的 2 號餐 y份，則一共花了_____________元。 100x＋150y

2.請在下表的空格中，填入各二元一次式的值。 1 3 －1 － －3 5x－2y －3x＋5y 12－2x－3y x －0.4 －6 －1 － －3 5x－2y －3x＋5y 12－2x－3y x y 二元一次式 7 15 -4 -24 -8 -9 6.2 3 13 6 13 9.8 33

3.化簡下列各式： (1) 3x＋5y－x－2 2x＋5y－2 (2)－5x＋y－8－4y－3＋9x 4x－3y－11

(3)－（－x＋2y－4） x－2y＋4 (4)2（x－2y＋5）＋3（x＋y－1） 5x－y＋7

(5) 3（2x－y＋5）－2（4x＋y－1） ＝6x－3y＋15－8x－2y＋2 ＝－2x－5y＋17 (6) （x＋2y－4）＋ （3x－y＋5） ＝ x＋3y－6＋ x－ y＋ ＝ x＋ y－

(7) (8) 3x －5y －12 2x －7y － 6 ＋) 5x －3y ＋8 9x －7y －5 －) 5x －12y －18 －4x ＋4y ＋13

4.下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式 3x－4y ＝－2 的解？ (1) x＝－2，y＝－2 (2) x＝2.4，y＝1.3 (3) x＝0，y＝ (4) x＝－ ，y＝－ (3)、(4)

5.已知 x＝3，y＝4 是方程式 ax－ y＝1 的解，求 a 的值。

6.已知協志買每枝 20 元的原子筆 x 枝和每枝 30元的螢光筆 y 枝，一共花了160 元。則 (1) 依題意可列得二元一次方程式： ________________。 (2) 協志可能買幾枝原子筆？（多選） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 枝。 20x＋30y＝160 (A)、(D)

7.已知 x、y 均為正整數，且 3x＋5y＝32，求滿 足上述條件的所有解。 x＝9，y＝1 或 x＝4，y＝4